2018寒假半角模型

1、.半角模型过等腰 ABC（AB=AC ）顶角 A 引两条射线且它们的夹角为A，这两条射线与底角顶点的相关直线交于M、N 两点，则 BM、MN 、NC 之间必然存在固定的关系 ，这种关系仅与两条相关直线及顶角A 相关解决办法 ：以 A 为中心，把 CAN （顺时针或逆时针 ）旋转 度，至 ABN，连接 MN结论：1、 AMN AMN，MN =MN2、若 BM 、 MN、 NB共线 ，则存在 x+y+z 型的关系若不共线 ，则BMN 中， MBN必与 A 相关应用环境 ：1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30 °、45°、60°、75 °90 °

2、;，或它们的补角为这些特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线 、腰上的高 、底角的邻补角的两条角平分线 ，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型1且1800.条件：2思路：（ 1）、延长其中一个补角的线段.专业专注.（延长 CD 到 E，使 ED=BM ，连 AE 或延长 CB 到 F，使 FB=DN ，连AF）结论： MN=BM+DN CCMN2ABAM 、AN 分别平分 BMN 和DNM（2）对称（翻折）.专业专注.思路 :分别将 ABM 和ADN 以 AM 和 AN 为对称轴翻折 ，

3、但一定要证明M 、P、N 三点共线 .（B+ D= 1800 且 AB=AD ）例题应用 ：例 1、在正方形 ABCD 中，若 M、N 分别在边 BC、CD上移动，且满足 MN=BM+ DN ，求证： .MAN= 45.CCMN2AB .AM 、AN 分别平分 BMN 和DNM.思路同上略 .专业专注.例 2 拓展：在正方形 ABCD 中，已知 MAN= 45 ，若 M 、N 分别在边 CB、DC 的延长线上移动 ， .试探究线段 MN 、BM 、DN 之间的数量关系 . .求证：AB=AH.（提示）.专业专注.例 3.在四边形 ABCD 中，B+ D= 180 ，AB=AD ，若 E、F分别

4、在边EAF1BAD.、CD上，且满足EF=BE+求证：2BCDF.专业专注.（提示）例 4，在ABC 中， AB=AC ，BAC=2 DAE=120 °，若 BD=5 ， CE=8，求 DE。.专业专注.例五 .请阅读下列材料 ：已知：如图 1 在 Rt ABC 中，BAC90 ， ABAC ，点 D 、 E 分别为线段 BC 上两动点，若DAE45 探究线段 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系小明的思路是 ：把AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到ABE ，连结 E D ，使问题得到解决 请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（ 1）猜想 BD 、 DE 、 EC

5、 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（ 2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时 ，如图 2，其它条件不变 ， 中探究的结论是否发生改变 ？请说明你的猜想并给予证明 AACDCBDEBE图1图 2.专业专注.例6探究：（ 1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、 F 分别是 BC、 CD 上的点，且 EAF 45 °，试判断 BE、DF 与 EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（ 2）如图 2，若把 (1)问中的条件变为 “在四边形 ABCD 中，AB AD ， BD 80°E，、 F 分别是边1 BAD”则

6、，（ 1）问中的BC、 CD 上的点，且 EAF=2结论是否仍然成立 ？若成立，请给出证明 ，若不成立 ，请说明理由 ；（3）在（2）问中，若将 AEF绕点 A 逆时针旋转 ，当点分别 E、F运动到 BC、CD 延长线上时 ，如图 3 所示，其它条件不变 ，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明 .专业专注.练习巩固 1：如图，在四边形 ABCD 中，B= D= 90，AB=AD ，若EAF1BAD. 求证：EF=BEE、F 分别在边 BC、 CD 上的点，且2+ DF.专注.（提示）练习巩固 2，已知：正方形 ABCD 中，MAN45 ，绕点 A 顺时针旋转 ，它的两边

7、分别交 CB、DC（或它们的延长线 ）于点 M 、N （ ）如图 ，当 MAN 绕点A旋转到 BMDN 时，有 BM DN MN 当11MAN绕点A旋转到 BMDN 时，如图 ，请问图1中的结论还是否成立 ？2如果成立 ，请给予证明 ，如果不成立 ，请说明理由 ；（ 2）当 MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时 ，线段 BM ， DN 和 MN 之间有怎样的等量关系 ？请写出你的猜想 ，并证明.专业专注.ADADADNNBCBCMBCMMN练习巩固3 (1)如图，在四边形 ABCD 中， ABAD ,BD 90 ，E,F 分别是边 BC,CD 上的点，且 EAF = 1BAD 求证 ：

8、EFBEFD ;2.专业专注.ADFBEC(2) 如图在四边形 ABCD 中， ABAD, B+ D 180 ， E, F 分别是边 BC, CD 上的点，且 EAF1BAD ， (1)中的结论是否仍然成立 ？不用证明 2ADFBEC(3) 如图，在四边形 ABCD 中， ABAD， BADC 180 ， E ,F 分别是边BC , CD延长线上的点 ，且 EAF1BAD ， (1)中的结论是否仍然成立 ？若成立，2请证明；若不成立 ，请写出它们之间的数量关系，并证明FADBCE.专业专注.（ 4） 如图 ， 将边长为 4cm 的正方形纸片ABCD 沿 EF 折叠 （点 E、 F 分别在边AB

9、、 CD上），使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，连接 EP（1）如图 ， 若 M 为 AD 边的中点 ，AEM的周长 =6cm ；求证 ： EP=AE+DP ；（ 2 ）随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置 （点 M 不与 A、 D 重合）， PDM的周长是否发生变化 ？请说明理由 （ 5） .如图 17，正方形 ABCD， E、 F 分别为 BC、 CD 边上一点 （ 1）若EAF=45o 求证 ：EF=BE+DF（ 2）若AEF 绕 A 点旋转，保持 EAF=45 o ，问CEF的周长是否随 AEF 位置的变化而变化 ？（ 3

10、）已知正方形 ABCD 的边长为 1，如果CEF的周长为 2 求EAF 的度数 .专业专注.专业专注.练 习 巩 固4 . 如 图 ， 五 边 形ABCDE中 ， AB=BC=CD=DE=EA，1CADBAE ，求 BAE2练习巩固 5.如图，已知在正方形 ABCD 中，MAN=45 °，连接 BD 与 AM ， AN分别交于 E、 F 两点 。求证：（ 1） MN=MB+DN；（2）点 A 到 MN 的距离等于正方形的边长；（3）CMN的周长等于正方形ABCD 边长的 2 倍；S ABCD2AB（4）；S CMNMN.专业专注.（5）若 MAB=20 °，求AMN；（6）

11、若 MAB045 ，求 AMN；（7） EF2EB2DF2 ；（8） AEN与 AFM是等腰三角形 ；S AEF1。（9）2S AMN练习巩固6.在等边ABC 的两边 AB ， AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为ABC 外一点 ，且MDN60 ，BDC120 ， BDCD ，探究：当点 M ，N 分别爱直线 AB ，AC 上移动时 ， BM ，BN ，MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系 NAAAMNNMBBCBCCMDDD图图图（1）如图， 当点 M ，N 在边 AB ，AC 上，且 DMDN 时， BM ，NC ，MN 之间的数量关系式；

12、此时 Q_L（2）如图， 当点 M ，N 在边 AB ，AC 上，且 DMDN 时，猜想 (1)问的两个结论还成立吗 ？写出你的猜想并加以证明 ；（ 3）如图 ， 当点 M ，N 分别在边 AB ，CA 的延长线上时 ，若 ANx ，则 Q用( x ，L 表示 ).专业专注.练习巩固 7.如图所示 ， ABC 是边长为 1 的等边三角形 ， BDC 是顶角为 120 °的等腰三角形 ，以 D 为顶点作一个 60 °的MDN ，点 M ，N 分别在 AB，AC 上，求 AMN 的周长练习巩固 8.如图，在正方形 ABCD 中， BE=3，EF=5，DF=4 ，求BAE+DCF

13、为多少度 。巩 固 练 习9 、 （ 三 新 练 习 册P131 ） 如 图1 ， RtABCRt EDF ，ACB=F=90 °，A=E=30 °EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转， DE，DF 分别交线段 AC 于点 M ，K( )如图2、图 3，当CDF=0 °或 60 °时 ，AM + CK_MK(填“ >”，“或<”“=”)如图 4，当CDF=30 °时， AM + CK_MK(只填 “ >或”“ <” ) (2)猜想：如图 1，当 0 °CDF 60 时°， AM + CK_MK ，证

14、明你所得到的结论.专业专注.(3)如果 MK 2CK 2AM 2 ，请直接写出 CDF 的度数和 MK 的值 AM* 必会结论 -图形研究正方形半角模型【例】已知：正方形 ABCD ， E 、 F 分别在边BC 、 CD 上，且EAF45 ，AE、 AF分别交 BD于H 、G，连EF.一、全等关系（1）求证： DF BEEF ； DG2BHHG2； AE平分BEF ， AF 平分 DFE .二、相似关系（2）求证： CE2DG ； CF2BH ； EF2HG .（3）求证： AB2BGDH； AG2BGHG ；BEDF1.CECF2.专业专注.三、垂直关系（4）求证： AGEG ； AHFH

15、； tanHCFAB .BE（5)、和差关系求证： BGDG2BE ； AD DF2DH ；|BE DF |2|BHDG |.专业专注.中考链接 - 正方形二相关题型 - 半角模型1，（ 2016 石景山 28 ）在正方形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，连接 BE（ 1）请你在图 -1 画出 BEM，使得 BEM 与 BEC关于直线 BE 对称；（ 2）若边 AD 上存在一点 F，使得 AF+CE=EF，请你在图 2 中探究 ABF 与CBE的数量关系并证明 ；（ 3）在（2）的条件下 ，若点 E 为边 CD 的三等分点 ，且 CE<DE，请写出求cosFED 的思路 （ 可以不

16、写出计算结果 ）BABABAFCEDCEDCD图1图2备用图答案石景山 28（ 1）补全图形 ，如图 1 所示 BAMCED 分（ 2）ABF 与CBE 的数量关系 ：ABFCBE45 分.专业专注.证明：连接 BF ， EF ，延长 DC 到 G ，使得 CGAF ，连接 BG 3分AB四边形 ABCD 为正方形 ，FABBC， ABCDABC90 BAF BCG GCEDBFBG ， ABFCBG AFCE EF，EFGE 4分BEF BEG = ABFCBEFBEMBE ABFCBE45 5分（ 3）求解思路如下 ：a 设正方形的边长为3a， AF 为 x ，则 EFx a ， DF3a

17、 x ；b 在 Rt EFD 中，由 EF 2DF 2DE2 ,23a22可得 x ax2a从而得到 x 与 a 的关系 2x3a ；c根据 cosFEDDE2a ，可求得结果 7 分EFxa2，（ 2016 门头沟 28 ）在正方形 ABCD 中，连接 BD（1）如图 1，AEBD 于 E直接写出 BAE 的度数 （ 2）如图 1，在（1）的条件下 ，将AEB 以 A 旋转中心 ，沿逆时针方向旋转 30 °后得到 AB'E'， AB'与 BD 交于 M ， AE'的延长线与 BD 交于 N 依题意补全图 1；.专业专注.BMDNMN32EF BCCD

18、 CEF ABCD AEAF BD MN BMDNMNADADENFMBCBEC287BAE° 1=451212BMDNM NB M2+ N D2= M N231ANDA90° AFBADB=FBA1=3DN = BFAF= ANABCDAEBDADB= ABD=45 ° AD3E'FBM= FBA + ABD1 2NEFMB'= ADB+ ABD=90 ° BCFB2+ BM2= FM2ABEAB'E'E'AB'=45 ° 1.专业专注.2+3=90 ° 45°=45

19、76; 1=32+1=45 ° FAM=45 ° ADNFMGBECFAM =E'AB'=45 ° AM =AMAF=ANAFMANM2FM= MNFB2+ BM2= FM2DN2+ BM2= MN 253BMDNMNa2ADFA90° ABGDF= GBbCEFABCDEF= DF+ BEcDF= GBEF= DF+ BEEF= GEAEGAEFdAEGAEFEAF=EAG=45 ° eMN 2= BM 2 + DN 273.201611EFABCDBCCDEAF=45 ° EFEFBEFDEF= BE+ FDBDAEAFMNMNBMDNMN2BM2DN2.专业专注.（2）在ABC 中， AB= AC，点 D、E 分别为 BC 边上的两点 如图 2，当BAC=60 °，DAE=30 °时，BD、DE、EC 应满足的等量关系是； 如图 3，当BAC=， (0°<<90 °)，DAE= 1时，BD、DE、EC 应满足的2等量关系是【参考： sin 2cos21】BAAAEMNCFDB DECB DEC图1图 2图35（ 1）如图 1， ABC 中，