数学中考复习——二次函数周长最小问题(含答案)

1、二次函数中周长最小问题抛物线中三角形周长最小问题的求法：.B砺模或1将军饮马问题(即寻找对称点的方法)/'如图，在直线/的同侧有a 8网点,在/上求作一点尸，使8f+产出 及/的值最小.二7方法：作/点关于，的时称点，连接/田与，的交点F即为所求.j模型应用:如图,已知抛物线尸-2#+3与a轴交于0), 8(-3.0),与尸轴交于点CS, 3),在抛物线的对称轴上，是否存在点。，使得 OIC的周长最小？力法小结：周长最小问题潞径最小问题常化归为.将军饮马”数学模型，两条线段之差最大，常利用三角形三边关系，此时三点共线。专题训练1.如图，已知抛物线 y=ax24x+ c经过点A (0,

2、6)和B (3, 9).(1)求抛物线的解析式；(2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；(3)点P (m, m)与点Q均在抛物线上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称，求 m的值及点Q的坐标;(4)在满足(3)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M,使得4QMA的周长最小.a x 02-4x0+ c= -6解：(1)依题意有2ax324X3+ c= -9c= -6即9a-12+c=-9a= 1 4 分c= -6，抛物线的解析式为：y=x24x6 5分(2)把 y= x2 4x 6 配方，得 y=(x 2)210，对称轴方程为 x= 2 7分顶点坐标(2, 10) 10分(3)由

3、点P (m, m)在抛物线上4 m= m2- 4m- 6 12 分即 m2-5m-6= 0 ，m1=6 或 m2= 1 (舍去) 13 分 P (6, 6) 点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x=2对称 .Q ( 2, 6)15 分(4)连接AP、AQ,直线AP与对称轴x= 2相交于点 M由于P、Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点 M能够使得4QMA的周长最小 17分设直线AP的解析式为y= kx+ bb= -6则6k + b= 6k=2b= - 6，直线AP的解析式为：y = 2x-6 18分设点M (2, n)则有 n= 2X2 6=-2 19 分此时点M (2, -2)能

4、够使得 QMA的周长最小2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-石xV3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2233x+ c (aW0)经过点 A、C,与x轴交于另一点 B.(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标;(2)(3)若P是抛物线上一点，且 ABP为直角三角形，求点 P的坐标;在直线AC上是否存在点Q,使得 QBD的周长最小，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.(1)直线y=一用x-忑3与x轴交于点A,与A (1, 0), C (0, Y)解得.3 a=3c= a/3点A, C都在抛物线上a+"+c=03c= J3抛物线的解析式为y=x23"x

5、g = g(x-1产-迪，顶点D的坐标为(1(2)令停x2AC于点Q,B'y jl则Q点就是所求的点OA-M)P2 (2,口HDQ2 芯=-3k+ b3 k=6联立3.32y = - /3 x - V 3-33.3y= x-62解得3x= 一710. 37L，Q (-10.37)故在直线AC上x '3 = 0 解得 x1 = 1,x2= 3 B (3, 0)3AB2=( 1 + 3)2=16, AC2=12+( J3)2=4, BC2=32+( ,3 )2=12.AC2+BC2=AB2,ABC 是直角三角形. P1 (0, - <3 )由抛物线的对称性可知P2的纵坐标为-

6、；3，代入抛物线的解析式求得：(3)存在.延长 BC到点B',使B'C=BC,连接B,D交直线 过点B'作B'Hx轴于H在 RtABOC 中，BC= &2= 2V3 ,BC=2OC，/ OBC = 30°Bh= - BB = BC=2j§, BH=V3b'h = 6,OH = 32.B'(3, 2向)设直线BD的解析式为y=kx+b,则:10-3、)7存在点Q,使得 QBD的周长最小，Q点的坐标为(373.在平面直角坐标系中，矩形 OACB的顶点O在坐标原点，顶点 A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA3, OB =

7、4,D为边OB的中点.(I )若E为边OA上的一个动点，当 CDE的周长最小时，求点 E的坐标;求点 E、F的坐标.(II)若E、F为边OA上的两个动点，且 EF=2,当四边形 CDEF的周长最小时,DECD. OE/BC,RtAD OERtADBC,OE D OBC D B. E E'A x解：(I)如图1,作点D关于x轴的对称点D；连接CD'与x轴交于点E,连接 若在边 OA上任取点E'(与点E不重合)，连接CE'、DE'、D E'由 DE '+ CE '= D 'e'+ CE > CD '= D

8、 E+ CE= DE + CE可知 CDE的周长最小D为边OB的中点.在矩形 OACB 中，OA=3, OB = 4,BC=3, DO=DO = 2, DB=6OE= DO BC= - x3= 1 D B 6点E的坐标为(1,0)(n)如图2,作点D关于x轴的对称点D；在CB边上截取 CG=2,连接EF = 2,则四边形 GEFC为平行四边形, 又DC、EF的长为定值，此时得到的点得 GE = CF. OE/BC,RtAD QERtADBG, .E、F使四边形CDEF的周长最小OE D OBG D BOE= D-O BG= DO (BC-CG) = 2x1=1OF=OE+EF= - +2=-3

9、.点E的坐标为(13，0)10分EA上截取3.如图，抛物线y=ax2 + bx+4与x轴的两个交点分别为 A ( 4, 0)、B (2, 0),与y轴交于点C,顶点为D. E (1,2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标;(2)(3)4a+ 2b+4=0抛物线的函数解析式为解:在直线EF上求一点H,使4CDH的周长最小，并求出最小周长;若点K在x轴上方的抛物线上运动，当 K运动到什么位置时， EFK的面积最大？并求出最大面积.x x x+ 4 ,顶点D的坐标为(1,)224分(2)设抛物线的对称轴与 x轴交于点M.因为E

10、F垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BDDH +CH= DH+HB = BD= d BM 2+ DM 2 = -v；132得 CE:CO=CG:CB, .CG=V2GO= 32同理可求得直EF的解析式为y= - x+2y= - x+ 32联立3 x=4y=U22解得15 y=I故使 CDH的周长最小的点 H坐标为(323一,4交EF于一点，则这一点为所求点H,使DH + CH最小，即最小为:(3)设 K (t, - 1 t2 1+4) , xFVtVXE.过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N2贝U KN = yKyN = 1t2 -1+4-(1t+ -) = t2 t+ 22

11、2222SaEFK = SKFN + SKNE=1KN(t+3) + 1KN(1-1) =2KN22= -t2-3t+5=-(t+3)2+ 29 10 分24当t= - 3时， EFK的面积最大，最大面积为竺，此时K (-3 ,空)242814分4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A (0, 1)、B ( 373, 1)、c (3J3, 0)、O (0, 0).将4.3此矩形7&着过E (-J3, 1)、F (-丁，0)的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为 B、C .(1)求折痕所在直线 EF的解析式；(2) 一抛物线经过 B、E、B'三点，求此二次

12、函数解析式；(3)能否在直线EF上求一点P,使得4PBC周长最小？如能，求出点 P的坐标；若不能，说明理由.解：(1)由于折痕所在直线 EF过E (一 43, 1)、F( 4，。)，tan/EFO= 33 ,直线EF的倾斜角为60°直线 EF 的解析式为：y- = tan60 1 x- ( - 73 )化简彳导:y= j3x+4.(2)设矩形沿直线 EF向右下方翻折后，B、C的对应点为B' (Xi, y1)，C'(x?, v2 过B'作BAAE交AE所在直线于 A'点1 BE= BE= 2v'3 , / B'EF= / BEF= 60&

13、#176;BEA = 60。，AE=V3, bA'= 3A 与 A'重合,B'在 y 轴上，. x1=0, y1=-2,即 b' (0, -2)【此时需说明 B' (x1, y1)在y轴上】 6分设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c抛物线经过 B (-373, 1)、E ( - ；3 , 1)、B' (0, 2)27a 3.3b+c=14 t-3a V3b+c=1 斛佝 b= -V3 3c= - 2c= -2，该二次函数解析式为：y = - -X2 33 x- 2 9分33(3)能，可以在直线 EF上找到P点，连接BC交EF于P点，再连接BP由于B'P = BP,此时点 P与C、B'在一条直线上，故 BP+