2022年初三数学圆知识精讲

1、学习必备欢迎下载初三数学圆知识精讲一. 本周教学内容：圆 1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理：（1）垂径定理及其推论。（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。（5）切线的性质及判定。（6）切线长定理。（7）相交弦、切割线、割线定理。（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。（11）正 n边形的有关计算。圆这一章中的知识点包括5 个 b级，13 个 c级，3 个

2、 d级水平的共21 个知识点， 多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要。二. 中考聚焦：圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：内容圆 的有关性质直 线和圆的位置关系圆与圆 的位置关 系正多边形和 圆所占分数 百分比5%15%8% 16%3%12%2%8%圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。三. 知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

3、 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载圆的有关性质圆的定义点和圆的位 置关系（这是重 点）不在同一直 线上的三点确定 一个圆圆的有关性质轴对称 性垂径定理（ 这是重点）旋转不 变性圆心角、弧、弦 、弦心距间的关 系圆心角定理圆周角定理（这 是重点）圆内接四边形（ 这是重点）直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质 （这是重点）切线的判定 （这是重点）弦切角（这 是重点）和圆有关的 比例线段（这 是重点难点）圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线正多边形和圆正多边形和圆正多边形 定义正多边形 和圆正多边形 的判定及性质

4、正多边形 的有关计算（ 这是重点）圆的有关计算圆周长、 弧长（这是重 点）圆、扇形 、弓形面积（ 这是重点）圆柱、圆 锥侧面展开图 （这是重点）【典型例题】例 1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm ，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？分析： 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载o120m爆破中心安全

5、区域解：导火索燃烧的时间为180 920.( )s相同时间内，人跑的路程为2065130.()m人跑的路程130120mm点导火索的人非常安全例 2. 已知梯形abcd 内接于 o ， ab cd ， o的半径为4，ab 6，cd 2，求梯形abcd 的面积。分析： 要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦ab 、cd间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作oe cd于 e，延长 eo交 ab于 f，证 of ab 。此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。解： 分两种情况讨论：（1）当弦 ab 、cd分别在圆心o的两侧时，如图（1） ：过 o作 oe cd于 e

6、，延长 eo交 ab于 f 连 oc 、ob ，则 ce de ab cd ，oe cd of ab ，即 ef为梯形 abcd 的高在 rtoec 中， ec 1，oc 4 oeocec22224115同理，of7efoeof157sa bcd梯形122615741574 154 7（2）当弦 ab 、cd在圆心 o的同侧时，如图（2） ：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载过 o作 oe cd于 e ，交 ab于 f 以下证法同（ 1） ，略。ef157sa bc

7、d梯形122615741574 154 7梯形的面积为或abcd41574157例 3. 如图，已知ab为 o的直径， p是 ob的中点，求tanctand 的值。分析： 为了求 tanctand 的值，需要分别构造出含有c和 d的两个直角三角形。而ab是直径，为我们寻找直角创造了条件。连bc 、bd ，则得到 rt acb和 rtadb 。可以发现 acd abd ， adc abc ，于是，可以把tanctand 转化为tantan，则可求。abdabcadbdacbcadacbdbc解： 连结 bc 、bd ab是 o的直径，acb adb 90 acd abd ， adc abc ta

8、ntantantancdabdabcadbdacbcadacbdbc作 ae cd于 e，作 bf cd于 f 则 aec adb acaeabadac ad ae ab 同理， bd bc bfab 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载tantancdaeabbfabaebf ape bpf aebfapbpp为半径 ob的中点，apbpaebf313tanctand 3 例 4. 如图，是等边三角形，是上任一点，求证：abcdbcdbdcda分析： 由已知条件，等

9、边abc可得 60角，根据圆的性质，可得adb 60，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段dc 。证明： 延长 db至点 e，使 be dc ，连结 ae abc是等边三角形 acb abc 60， ab ac adb acb 60四边形abdc 是圆内接四边形 abe acd 在 aeb和 adc中，becdabeacdabacaebadcae ad adb 60 aed是等边三角形ad de db be be dc db dc da 说明：本例也可以用其他方法证明。如：（1）延长 dc至 f，使 cf bd ，连结 af，再证 acf abd ，得出

10、ad df，从而 db cdda。（2）在 da上截取 dg dc ，连结 cg ，再证 bdc agc ，得出 bd ag ，从而 db cd da 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 5. 如图，已知四边形abcd内接于 o，ab是直径， ad dc ，分别延长ba、cd交于点 e，bf ec交 ec的延长线于f，若 ea ao ，bc 12，求 cf的长。分析： 在 rtcfb中，已知 bc 12，求 cf，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。解：

11、 连结 od ，bd addcaddc， abc aod od bc odbceoebea ao ， eaao bo bcodod1212238，ab 16，be 24 四边形abcd 内接于 o eda ebc e是公共角 eda ebc adbceaecedeb设 ad dc x，edy，则有xyxy12248解方程组，得：x42ad4 2ab为 o的直径 adb f 90又 dab fcb rtadb rtcfb adcfabbccf，即4 21612cf3 2说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，

12、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载这是解几何问题的一种重要方法。例6. 如 图 ， 已 知 等 腰 abc 中 ， ab ac， 以ab 为 直 径 的 o 分 别 交ac、 bc 于点 、，过作的切线交于，若 ，求的长。fddofceaf7cosbce35解： 连结 fd ab是直径， ad bc ab ac ， bddc ， fad dab 四边形abdf 是圆内接四边形 cfd b c是公共角 abc dfc cdacdfabab ac cd df （也可以证

13、 cfd b， ab ac ， b c， c cfd ， cd df 。 ）de切 o于 d fad edf 又 cde edf fad dab cde dab cde edf cd fd ce ef，de cf cosbbc35，cosc35在中，rtacdccdaccos35设 cd 3x，ac 5x 在中，即rtc dececcdecxcos353ecx95acafce2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载57185xxx5ec 9 例 7. 如图， 相交两圆的

14、公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。解： 公共弦ab 120 ar46120rra6624222212060603oarabo144601202260 2，rraoo44242222260 2606090，sssra ra mbao bao b弓形扇 形229036012180036004244sssra ra nbao bao b弓形扇形11603601224003600 3626 6sssa mbanb阴影弓形弓形42003600 13两圆相交弧间阴影部分的面积为 42003600 132cm例 8. （20xx年黄冈市中

15、考题）一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20 支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径 约为 0.75cm，长约为 8.4cm。（1）试计算烟盒顶盖abcd 的面积（本小题计算结果不取近似值）。（ 2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解题点拨： 四边形 abcd中， ad长为 7 支香烟的直径之和，易求；求ab长，只要

16、计算出如图（ 2）中的 o1e长即可。解： （1）如图（ 2） ，作 o1eo2o3o oo oo o1223310 7534.o e134323 38abcm23 38343 333adcm734214四边形abcd 的面积是：214333463363162cm（2）制作一个烟盒至少需要纸张：263 363163 3348 42148 414409614412.c m例 9. 在直径为 20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。解： 一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9

17、 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载habcog如图， hg为 o的直径，且hg ab ，ab 16cm，hg 20cm ohcmbcabcm10128，ocobbccm22221086chohoccm1064cgocogcm61016故所求弓形的高为4cm或 16cm 例 10. 的直径，过点有两条弦，求oab2cmaac =2cmadcm3cad所夹圆内部分的面积。解： 符合题设条件的图形有两种情况：（1）圆心 o在 cad的内部，如图（1） ，连结 oc 、od ，过 o作 oe ad于点 e oaocac12，oc ab sssaocboc112119

18、01360124扇形oaaead11232，oeoeoa132121222，即sssaodbod212123601360346扇形精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载ssscm122124346234512（2）圆心 o在 dac的外部时，如图（2） ，有：ssscm12212434623412所夹圆的内部的面积为：或cadcmcm2345122341222例 11. 已知圆中，、为两条弦，的度数为，的度数为oabcdacbdoo13090 ,mnabcdmon、分

19、别为、的中点，求的度数。分析：由已知条件可知ab 、cd弦的位置不确定， 所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。解： （1）当 ab 、cd不相交时，且ab 、cd在圆心的两侧，如图（1）连结 od 、ob 。m 、n分别是弦ab 、cd的中点， od 、ob过圆心 o omonabcd、的延长线平分、bommabdonmcd1212，bomdonmabcd12()acbd的度数为，的度数为13090cdab 的度数为36013090140bomdon70bodmbd90mon9070160精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共

20、 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载图（ 1）（2）当 ab 、cd不相交，且在圆心o的同侧时，如图（2） ，连结 ob 、oc 同理可证，bommabconmcd1212而monbomconbocmadcdbc121212()addcbcdcbc12121309020()()acbd图（ 2）（3）当 ab 、cd相交于点p，且圆心o在 dpa的内部时，如图（3） ， dpa是圆内角，则dpamadbcacbd121236070()()omponpmon9018070110图（ 3）（4）当 ab 、cd相交于点p，且圆心o在 dpa的外部时，如图（4）dpamad

21、bcacbdonp12122090()()，又nqpmqomon90207020，综上所述，的度数为或或。mon20110160精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载图（ 4）例 12. （长沙市， 2000）已知：如图，圆心a （ 0，-3 ） ，圆 a与 x 轴相切，圆b的圆心 b在x 正半轴上，且圆b与圆 a外切于点p。两圆内公切线mp交 y 轴于点 m ，交 x 轴于点 n ： （1）求证 aob npb ； （2）设圆 a半径为 r1，圆 b半径为 r2，若

22、 r1：r23：2，求点 m 、n的坐标及公切线 mp的函数解析式； （3）设点 b（x1，0） ，点 b关于 y 轴的对称点b（ x2，0） ，若 x1x2-6 ，求过 b、 a、b三点的抛物线解析式； （4）若圆 a的位置大小不变，圆心b在 x 正半轴上移动，并始终有圆b与圆 a外切，过点m作圆 b的切线 mc ，c为切点， mc 3 3时， b点在x 轴的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？解： （1）ao xmpababonbp轴，aobnpb（ ），2033aoaap()又r rap pb1232:pbabbo2553422，abnbbobpnbabbpbo52452on45232

23、点的坐标为（， ）n320由rt apmrt aobamabm502，点的坐标为（ ， ）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载设直线 mp的解析式为y kxb，则有，解得，20032432kbkbkbmpyx的函数解析式为432（3）设抛物线为yax2bxc（a 0）令 y0，则有 ax2bxc0 b与 b关于 y 轴对称，x1x20，即 b0，又点 a（0， -3 ） ， c=-3 xxcaa1236a12抛物线的解析式为yx1232（4） mc mp 可证 ap

24、m aob mcmpbo3 3点的坐标为（， ）b3 30猜想：圆心 b在 x 轴的正半轴上任一位置时，都有切线 mp的长等于点b的横坐标或四边形mobc 是长方形。【模拟试题】一. 选择题：（本题共24 分，每小题4 分，每道题只有一个正确答案） 1. 已知 ab是 o的直径，半径eo ab于 o ，弦 cd eo于 f点，若 cdb 120，则cd的度数为（） a. 10b. 15 c. 30 d. 60 2. 如图，已知 o中，m是弦 cd的中点， n为弦 ab的中点， 并且acbd、的度数为130、90，则 mon 的度数为（） a. 70b. 90 c. 130 d. 160 cmd

25、bona 3. 已知 abc中， a、b、c 是 a、 b、c的对边，若r 是内切圆半径，则abc的面积可精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载以表示为（） a. 14abc rb. 12abc r c. abcrd. 2 abc r 4. 已知两圆的半径分别为r、r ，且圆心距为d，若rdrrd2222，则这两圆的位置关系为（） a. 外离或外切b. 相交或内切 c. 外切或内切d. 内切或内含 5. 已知正多边形的边长为a 与外接圆半径r之间满足12ar，则这个多

26、边形是 （） a. 正三边形b. 正四边形c. 正五边形d. 正六边形 6. 已知正方形abcd边长为 5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（） a. 522b. 522c. 5221d. 521二. 填空题：（本题共16 分，每小题4 分） 7. 已知 abc ， c90， b28，以 c为圆心， 以 ca为半径的圆交ab于 d，则ad的度数为 _。 8. 已知 abc内接于 o， f、 e是ab的三分之一点， 若 afe 130，则 c _度。 9. 已知 pa切 o于 a ， apo 30， 若pa12 3， op交于 o于 c， 则 pc _。 10. 两圆半径之比为2：1，

27、大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_。三. 求解下列各题： （本题共 18 分，每小题6 分） 11. 已知 ab是 o的直径，弦 cd ab于 e ， 若弦 cd把 o分为 2： 1 的两部分，且cd4 3，求 o的直径及ae长。 12. 已知等边 abc内接于 o，e是bc上一点， ae交 bc于 d，若 bd ：dc 2：1，且 ab 6，求 de长。 13. 如图所示， ab是 o的弦， ef切 o于 b，ac ef于 c。求证：abacao22精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - -

28、- - - - -学习必备欢迎下载四. 解答题：（本题共24 分，每小题8 分） 14. 如图所示，ab切 o于 b， ae过 o点交 o于 e、 c， 过 c作 o切线交 ab于 d， 若adbd2。求证：aeab3 15. 如图所示，abc中， a90， o是 bc上一点，以o为圆心的圆切ab 、ac于 d、e ，若 ab 3，ac 4，求阴影部分的面积。 16. 如图所示，o与 o交于 a、b，过 a点任意作两圆的割线cad ，若连结cb 、db ，问因割线 cad的位置不确定，cbd的大小是否改变？五. 解答题：（本题共18 分，每小题9 分） 17. 如图所示， pa切 o于 a，p

29、o交 o于 b、c，若acce，ae交 bc于 d，且 bea 30， db 1，求 ap及 pb长。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 18. 已知一块直径为30cm的圆形铁板， 已经截去直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢

30、迎下载 参考答案 一. 选择题。 1. d 2. d 3. b 提示：设 abc的内切圆的圆心为o 连结 oa 、 ob 、oc ，则 abc可分割成三个三角形：abo ， bco ， aco 则ssssabcabobcoa co12121212a rb rc rabc r应选 b 4. c 提示：依题意，有：rrddr22220rdr220rdrrdr0所以，rdr0或rdr0即rrd，或rrd两圆内切或外切 5. c 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有rar2因为ar6，ar42，所以aaa64则aaa654，是正五边形，应选c。 6. d 提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰

31、三角形，且ge effh 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载aefdghbc设 efx，则根据勾股定理，aedfx22则有adaeeffd即xx2225x521521应选 d 二. 填空题。 7. 56 8. 75或 105提示：如图所示： afe 130，abe的度数为260则ae的度数为360260100ooof、e是afb的三分之一点affeebaffeebo50cmafbo150或co105精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

32、 - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 9. 12 10. 3：1 如图所示，设大圆与小圆的半径为2r 和 r 则大圆内接正六边形的边长为2r，小圆外切正六边形的边长为2 33r因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方即22 333122rr：三. 求解下列各题： 11. 解：如图，分两种情况：（1）点 e在 oa上； （2）点 e在 ob上（1）直径ab 弦 cd于 e，cd4 3根据垂径定理，有：ceed23 a、b分别为cad和cbd的中点cd把 o分成 2：1 两部分cd的度数为120，cbd的度数为240连结 b

33、c ，则bmacoo12601230在rt bce中，beceocot303 2 36精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载ceaeebaeceebabaeeb2222 3628（2）当点 e在 ob上时， ae 6 直径为8，ae 6或 2 12. 解法一：如图（1） ， abc是等边三角形，ab6 图（ 1）bc ab ac 6， b acb 60bd ：dc 2：1 bd 4，cd 2 ad de bd cd 8 连结 ce ， b e60 acb e cad是

34、公共角 acd aec acad aead addeadad de2236adaddebd cdad2282 782 74 77，解法二：如图（2） ，过 a作 ag bc于 g 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载图（ 2） abc是等边三角形，bc 6 cg gb 3 由解法一得： cd 2，bd4 dg 1 在rt agb中，agabbg22226333在rt adg中，adagdg22223 3127根据相交弦定理，有：de adcd bddecd bdad

35、2827477 13. 证明一：延长ad交 o于 d，连结 bd ，如图（ 1）ad是直径，abd 90， 2ao ad ef切 o于 b 1 d ac ef于 c c abd 90 abc adb 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载acababad即abac adac ao22证明二：延长ac至 m ，使 cm ac ，连结 bm 、ob 图（ 2）bc ac ，ac cm mb ab m 2 oa ob 3 4 ef切 o于 b ob ef ac ob 2 3 2 3 4 m mbobaboambaboambaboaabaoamababamaoac ao，22四. 解答题。 14. 证明：如图，依题意，设bd x，则 ad 2x 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载ab 、cd切 o于 b、c点bd cd x，oc cd acd 90acadcdxxx222223ab是切线， a