2022年初三数学实数的有关概念和实数的运算知识精讲首师大版

1、学习必备欢迎下载初三数学实数的有关概念和实数的运算知识精讲一. 本周教学内容：本学期开始，对初中数学知识开始全面的复习，代数和几何穿插进行。复习的方式是分章节，梳理知识，形成网络，抓住重点和难点，把书念薄。通过例题和练习，提高同学们的数学素养。培养同学们的计算能力、逻辑思维能力，空间想象能力，分析问题和解决问题的能力。（一）代数复习实数的有关概念和实数的运算（二）复习代数和代数式相关的概念以及代数式的运算代数式的恒等变形一. 代数复习实数的有关概念和实数的运算（一）实数的有关概念通过复习，掌握实数的有关概念 1. 实数分类实数有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数无理数无限不循环小数实数还可

2、以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理数，解题中需考虑数的取值范围时，常用这种分类方法。 2. 数轴数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 3. 绝对值绝对值的代数意义：aaaaaa()()()0000绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。 4. 相反数、倒数相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是1”的特性常作为计算与变形的技巧。 5.

3、三种非负数aaa a、形式的数都表示非负数。“几个非负数的和（积）仍是20非负数”与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。 6. 平方根、算术平方根、立方根的概念。例题例 1. 已知和互为相反数，求的值3523mmm精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解：和互为相反数3523mm3523mm即： 35230mm解这个方程，得：m2说明：对一个具体的数要会求相反数和倒数，对于一个代数式也要会求它的相反数和倒数。例 2. 已知的相反数是

4、的倒数的绝对值，求xx134解：134741347413447，的倒数为由题设，有：，xx474747说明：倒数和相反数是两个不同的概念，应加以区别，一般求小数或带分数的倒数时，要先将其化为分数或假分数。例 3. 已知 、 、 是实数，且满足，求的值xyzxyzzxyz42102解：，xyzz4020102又 xyzz42102xyzz4020102，xyz421，xyz4216说明：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可求出x、y、z 的值，从而问题得解。例 4. 求证：对任何实数、 ，代数式的值恒为正数。xyxxyy22457证明：xxyyxxyyyxyy222222245744727，

5、xyyxyy20027702222对于任何实数、 ，代数式的值恒为正数xyxxyy22457说明：灵活运用配方法和非负数的性质是解这类题的关键。小结复习本小节，同学们一定要牢牢掌握实数的有关概念，比如实数的分类、数轴、绝对值、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载相反数、倒数、三种非负数、平方根、算术平方根、立方根的概念，并且能正确地运用这些概念。在运用当中，通过数轴建立数形结合的观点；通过相反数和绝对值，建立分类讨论的观点；通过非负数，掌握配方法。开阔思路已知 、 为

6、实数，且，求代数式的abaaabaabbab22228202322值。分析：aaabaa222822和均为非负数，它们的和等于零，当且仅当8020，且时，从中可以解出、 的值。abab求代数式的值，宜先化简再代入求值。232222aabbab解： aaab22820且aaab228020解，得：，aaaa21228042当时，；当时，abab112248242322222222aabbababababab当，时，代数式；当，时，代数式abab4816248说明：初中阶段学习的非负数有绝对值、完全平方数、算术根。（二）实数的运算重点和难点通过本小节的复习，希望同学们掌握以下几个知识要点：（1）实

7、数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幂的运算。（2）有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。（3）加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。（4）近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为a10n（其中 1|a| 10，n 为整数） 。（5）实数大小的比较：两个实数比较大小，正数大于零和一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。常用方法：数轴图示法，作差法，平方法等。例题例 1. 计算下列各题：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - -学

8、习必备欢迎下载（ ）（ ）11256358213223112231215222.解：（ ）112563582131258635213100063573100025400（ ）223112231215222.4932491294493211249289说明：进行计算时，首先要观察题目中有哪几种运算，思考有无简便方法，然后确定运算顺序，注意遇到同一级运算时，应按自左向右的顺序进行计算，并要随时检查运算结果的符号。（1）题运用交换律、结合律，采用“凑整法”将其部分和或积凑为整数结合起来，使计算较为简捷； （2）题逆用分配律常可简化计算。例 2. 用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值。（1）6

9、.2546 （精确到0.01 ）（2）0.8025 （保留两位有效数字）（3）360342（保留三位有效数字）（4）1.5306 106（精确到千位）解： （1）6.2546 6.25 （2）0.8025 0.80 （3）3603423.60 105（4）1.5306 1061.531 106说明： （ 1）有效数字是指从左边第一个非零的数起，到精确到的位数为止所有的数字，所以（ 2）题中 0.80 后面的 0 不能省略写成0.8 ，0.8 只有一位有效数字。（2）对于比较大的数，求其近似值时，通常用科学记数法表示。“”号前面的数字即为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

10、 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载有效数字。例 3. 已知，试用“”将 、 、连接起来。abababab00解： 画数轴，先由已知条件确定a、b 所对应的点a、b。a0，b在原点右侧， 又|a|b|表示 a到原点的距离大于b到原点的距离，再根据相反数的概念找出-a 、-b所对应的点，如图所示，显然有a-bb-a 。说明：利用数轴比较实数的大小是一个十分有效的方法。例 4. 比较下列实数大小：（ ）与；（）与1192891423 54 3解： （1）解法一（作差法） ：19289141992281280，1928914192

11、8914解法二（作商法） ：1928914192814919181，19289141928914解法三（中间数法） ：，即19282391423914231928，19289141928914（2）解法一（平方法： ），又，3 545434845483 50430223 54 3解法二（比较被开方数法）：，又3 535454 34348484522，48454 33 5说明：比较两个分数的大小，还可以化为小数或同分子的分数、同分母的分数来比较。知识小结在涉及到无理数的有关运算中，要注意题目特征，灵活运用二次根式性质，寻求简捷的运精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

12、 - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载算途径；如果能运用乘法公式时，可以用乘法公式优化解题过程；在进行二次根式的加、减、乘、除运算时，最后结果一定要化成最简根式的形式。开阔视野化简：xxxxx2293293203解：原式xxxxxx2292339233xxxxxxxxxx3333333333222222，033030 xxx原式xxxxxx333333xxxxxxxxxxx33 33 3336 332 3点评： 在二次根式的化简当中，一定要注意算术根非负这一基本性质。当x3 时，xxxx333322，而不是二. 复习代数和代数式相关的

13、概念以及代数式的运算代数式的恒等变形（一）和代数式相关的概念以及代数式的运算重点和难点通过本小节的复习，希望同学们掌握以下知识要点，并且提高自己的运算能力。 1. 代数式的分类代数式有理式整式单项式多项式分式无理式 2. 各类代数式的概念单项式、多项式、整式、分式、有理式、无理式、根式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。 3. 代数式有意义的条件精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载分式有意义的条件是分式的分母不为零；分式的值为零的条件是分母不为零，分子为零；

14、二次根式有意义的条件是被开方数（式）非负；由实际应用得到的代数式还要符合实际意义。 4. 代数式的运算整式的加、减、乘、除四则运算；整式的添括号、去括号法则；分式的加、减、乘、除四则运算，分式的乘方；二次根式的加、减、乘、除四则运算，二次根式分母有理化。例题分析例 1. 当 x 取何值时，下列分式有意义？分式的值等于零？（ ）；（xxxxx分析： 当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零、并且分母不等于零时，分式的值等于零。解：（ ）当分母，即时，分式有意义。1202422xxxx由题意，得：xx2401202由解得：或122xx由解得：22x所以

15、，当时，分式的值等于零。xxx2422（ ）当分母，即且时，分式有意义。2230133223222xxxxxxxx由题意，得：xxxx2232012302由解得：或由解得：且112213xxxx所以，当时，分式的值等于零。xxxxx2322322说明： （ 1）讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简后的分式讨论。（2）讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行。（3）在解分式的有关问题时，应特别注意分母不为零这个隐含条件。例 2. 当 x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

16、 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（ ）；（）；（）153223322xxxb解：（ ）由，得：153053xx当时，有意义xx5353（ ）对任意实数，都有，从而2023022xxx当 为任意实数时，在实数范围内都有意义xx232（ ）由且，得：300 xbxbxb当时，在实数范围内有意义xbxb2说明：第（ 1）题中，根号外的负号与根式有无意义无关；第（3）题中，讨论x 的范围，把 b 看做常数。例 3. 先化简，再求值：，其中aaaaaaaaa1412331232222解：aaaaaaaa1412332222aa aaaaaa aaaa aaa

17、aaa aaaaa114113131411111111122当时，原式a12312332说明：实数的运算律、运算顺序在代数式的计算中同样适用，同时还要掌握添去括号的法则。知识小结对异分母的分式相加减时，一般先通分，变为同分母的分式，然后再加减；对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一为乘法，最后再进行约分。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载拓展阅读已知，求的值。aaaaaaaa12312121222解：原式111111

18、112222aaaa aaaaa a，aaa123231112原式aaa aaaa aaa11111111当时，aa12323123原式231233点评：本题特别容易忽略这个隐含条件。在化简时aa123112,容易出现的错误。所以一定要特别注意。aa112（二）代数式的恒等变形重点和难点（1）添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法。（2）乘法公式是代数式恒等变形的重要工具。（3）因式分解是多项式乘法的逆变形，常作为代数式恒等变形的工具使用。要注意因式分解方法的灵活选取及因式分解的范围。（4）待定系数法、配方法都可以进行代数式的恒等变形。例题分析例 1. 设二次三项式是完全平方式，则的值

19、为（）xmxm214a.1 b. -1 c. 1 d. 12分析：本题需要把二次三项式配成完全平方式：xmx214xmxxxx2222141212所以 m 1，所以本题应选择c。解： 解法略。点评：本题是昆明市1997 年中考试题，考查了配方法的知识。另外，考虑问题要全面，m 1两个解，而不是m 1 或 m -1 一个解。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 2. 在实数范围内分解因式：32 622xx解：32 6232 322322222xxxxx说明：因式分解要

20、分解到不能分解为止，如果没有指定数的范围，一般是在有理数范围内分解。例 3. 已知，求的值。xxxx13 3144解：xxxxxx44222221121223 322252623222说明：此题是反复运用完全平方公式，把变形为关于的代数xxxx4411式，从而使问题得解。这是条件求值问题的一个基本思路。例 4. 已知 、是方程的两个根，求的值。xx2520思路： 由已知易得和的值，因此把待求式用，表示是关键。解法一：22522点评：注意、的符号，5000解法二：，520000，0222525 22说明：此题体现公式的逆用，数学公式具有双向性，要善于逆用aa2公式，这样可拓宽解题渠道，提高灵活应

21、变能力。知识小结因式分解有四种基本方法，可以用以下四句话帮助同学们记忆：首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘观察法，分组分解试一试。在用待定系数法进行代数式的恒等变形时，特精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载别要注意待定系数法使用的前提条件是“恒等式”。趣味阅读例 1. 已知，求：102wwwwwwwwwww199319941995199619971998199920002001的值。解：原式wwwwwwwww199323456781wwwwwwwwwwwwww

22、1993232621993236111110例 2. 计算：98765432109876543211987654321098765432122解：原式9876543210987654321198765432111 9876543211129876543210987654321198765432111987654321022点评：以上两个例题都是要巧用因式分解的知识。例1 是用提取公因式的方法，利用已知。例是用平方差公式。1022ww试题一一. 选择题（每小题6 分，共 30 分） 1. 一个数的相反数小于它本身，则这个数一定是（） a. 正数b. 负数c. 零d. 非负数 2. 在下列实数21

23、3340808008730，.coso中，无理数的个数有（） a. 4个b. 5 个c. 6 个d. 7 个 3. 314.等于（） a. 314.b. 314.c. 314.d. 0 4. 下列说法中，正确的是（） a. 相反数等于它本身的数只有0 b. 倒数等于它本身的数只有1 c. 绝对值等于它本身的数只有0 d. 算术平方根等于它本身的数只有1 5. 若38x，化简38xx的结果是（） a. 5b. 5 c. 112xd. 211x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必

24、备欢迎下载二. 填空题（每小题6 分，共 30 分） 1. 若 a、b 同号，则a b_；若 a、b 异号且abc，则ab_。 2. 若 a、b 互为相反数， c、d 互为负倒数， 则abcdnn221_。 （n 为整数）。 3. 若xy121022，则xy_。 4. 已知ab32，则ab_。 5. 142的平方根是 _，52的平方根是 _。三. 解答题（每小题8 分，共 40 分） 1. 如图，已知数轴上a、 b、 c、 d四点都是整数， 若 a对应实数 a， b对应实数b， 且ba211，那么数轴上的原点应是a、b、 c、d中的哪个点？ 2. 方程a x210有实数根吗？若有实数根的话，可

25、求出几个实数根？ 3. 不论 x、 y 为任何实数，求证代数式41221022xxyy的值一定是非负数。 4. 如果xx33，那么化简代数式342xx的结果是什么？ 5. 若 x、y 满足xyxy224250，则代数式xyxyxxy24的值是什么？试题二一. 选择题（每小题6 分，共 30 分） 1. 一个数四舍五入得到近似数是62.30 ，这个数的有效数字是（） a. 6，2 b. 3 ，0 c. 6，2，3 d. 6 ，2，3，0 2. 下面用科学记数法表示275000，其中正确的是（） a. 275103b. 275106. c. 275105.d. 0275107. 3. 用四舍五入法

26、得到的近似数中，含三个有效数字的是（） a. 0.4230 b. 750 万c. 0.03720 d. 3.0204 4. 下列各式中，正确的是（） a. 0101.b. 53782539 c. 33d. 2 115 2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 5. 若 a、b 为任意实数，则下列四个命题中正确的是（） a. 若，则abab22 b. 若，则abab22 c. 若，则abab d. 若，则abab22二. 填空题（每小题6 分，共 30 分） 1. 若a

27、10，试按从小到大的顺序排列aa， ，11，这四个数为 _。 2. 02541199819992000._。 3. 5.963保留 2 个有效数字的近似值为_。 4. 计算：12345678910010 20 30 4050 60 7080 9._。 5. 计算：110111001102110111021100_。三. 解答题（每小题10 分，共 40 分） 1. 计算：11312311811223 2. 计算：322310 502. 3. 计算：1236020tano 4. 计算：363212试题三一. 选择题（每小题6 分，共 30 分） 1. aamn3的运算结果是（） a. amn3b

28、. amn3c. am n3d. am3 2. 若分式xx22的值为零，则x 值为（） a. 2b. 2c. 2 d. 0 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 3. 当a4时，那么222()a等于（） a. 4ab. ac. 4ad. a 4. 对于任意实数x，下列分式中一定有意义的是（） a. xx512b. xx112c. xx213d. xx21 5. 在二次根式754312543，xxy中，最简二次根式的个数为（） a. 4个b. 3 个c. 2 个d.

29、1 个二. 填空题（每小题6 分，共 30 分） 1. 二次根式5x中， x 的取值范围是 _。 2. 当 a_时，分式aaa2562的值为零。 3. 在根式2722772115090，中，与18是同类二次根式的有_ _ 。 4. 353a bmn与32abm是同类项，则mn_。 5. 使得等式5656xxxx成立的 x 的取值范围是_。三. 解答题（每小题10 分，共 40 分） 1. 计算：aaaa3211 2. 计算：1111212xxx 3. 计算：64213xxxx 4. 当01x时，化简11111112xxxxxx试题四一. 选择题（每小题6 分，共 30 分） 1. 在实数范围内

30、分解因式：ppp22211等于（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 a. ppp22211 b. ppp121212 c. ppp121212 d. pp1122 2. 已知多项式axbxc2因式分解的结果为21 32xx，则 a、b、c 分别为（） a. 6，1，-2 b. 6 ，-1 ，2 c. 6，-1 ，-2 d. 6 ，1， 2 3. 若xxyyxyk222，则 k 为（） a. 0 b. -xy c. 2xy d. 3xy 4. 已知xyxy2295

31、，则 xy 的值是（） a. -1 b. 1 c. -4 d. 4 5. 下列等式中，一定相等的是（） a. baab ab22 b. abab222 c. abba22 d. abab aabb3322二. 填空题（每小题6 分，共 30 分） 1. ()224abab 2. 分解因式：6282a mb m_。 3. 如果abab62822，那么ab_。 4. 在实数范围内分解因式：xx42710_。 5. xxxx322222()三. 解答题（每小题10 分，共 40 分） 1. 已知mm15，求mm1的值。 2. 已知32022aabb，求abbaabab22的值。精品学习资料 可选择p

32、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 3. 已知 x 的二次三项式pxqx22与5x的乘积不含x 的一次项和二次项，试用待定系数法求 p、q 的值。 4. 已知 a、 b为实数，且ab00，其中ab。化简aabbab2222。试题五一. 选择题。 1. 下列实数201312160， ， sino中，整数的个数有（） a. 2个b. 3 个c. 4 个d. 5 个 2. 把 0.0068 用科学记数法表示为6810.n，则 n 等于（） a. -3 b. -2 c. 3 d. 2 3. 已

33、知xy37，且xy0，则xy的值（） a. 10 b. 4 c. 10d. 4 4. 下列各式中，不正确的是（） a. 011002.b. 81的平方根是3 c. 1551d. 110 5. 下列各式中，正确的是（） a. 222b. 222 c. 222d. 222 6. 下列计算中，正确的是（） a. xxx23523b. abab224 c. xxx23d. aaa632 7. 下列式子中，一定相等的是（） a. abab222 b. abab222 c. abbaba2222 d. abab222 8. 分解因式：pp22211等于（） a. pp221b. ppp211精品学习资料

34、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 c. pp1222d. p pp122 9. 将xxx3234分解因式，结果正确的是（） a. x xx41b. x xx41 c. x xx41d. x xx41 10. 从 16000 各考生的数学试卷中抽出600 份试卷进行质量分析，下面的判断中，正确的是（） a. 600是样本容量 b. 600份试卷是总体 c. 16000份试卷是样本 d. 16000是样本容量二. 填空题。 11. 当x1时，代数式axbx21的值是 3，则aba

35、b1 1_。 12. 若xmxxxn2153，则 m的值 _。 13. 分解因式：xyxy22424_。 14. 化简：222 222xyxyxyxxy_。 15. 下面一组数据：31，35，31，34，30，32， 31 的中位数 _，众数 _，平均数 _。 16. 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为负倒数，则231abcd的值 _。 17. 182 2212计算的结果 _。 18. 分解因式：xyxy12_。 19. 计算：33313322的结果 _。 20. 已知a、b 为实数，且ab00，其中ab，化简aabbab2222_。三. 解答和计算。 21. 12603310tano 2

36、2. 分解因式：xxyyxy222 23. 已知：abbc35，求acbcaab2的值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 24. 若m、 n 是 两 个 不 相 等 的 实 数 ， 且 满 足mmnn222121， 求 代 数 式244199922mnn值。 25. 若xyzxyz00，且yzxzxyxyz，求yz zxxyxyz的值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 参考答案 试题一一. 选