弹性力学模拟题

1、2021年11月23日1模拟试题模拟试题一、解答题：（一、解答题：（1515分）分）1.1.简述圣维南原理，举例说明其应用。（简述圣维南原理，举例说明其应用。（5 5分）分）2.2.什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出弹性力什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。（学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。（5 5分）分）3.3.什么是逆解法？什么是半逆解法？叙述解题路径。（什么是逆解法？什么是半逆解法？叙述解题路径。（5 5分）分）二、写出下列受力体的应力边界条件（固定端不必写）（二、写出下列受力体的应力边界条件（固定端不必写）

2、（2020分）分）1.1.图图1 1、2 2所示悬臂梁（用直角坐标形式）。（所示悬臂梁（用直角坐标形式）。（1010分）分）2.2.图图3 3所示三角形悬臂梁（用极坐标形式）。（所示三角形悬臂梁（用极坐标形式）。（5 5分）分）3.3.图图4 4所示楔形体（用极坐标形式）。（所示楔形体（用极坐标形式）。（5 5分）分）2021年11月23日20qxyo0图3oyx22q0图4Poxyhl图2lxyo0q0qlx0hPM图12021年11月23日3三、已求得一点的应力状态，试求主应力与主应力方向，并图三、已求得一点的应力状态，试求主应力与主应力方向，并图示。示。(15(15分）分）（1 1）已知

3、）已知 见图见图5 5所所示。示。（2 2）已知）已知 见图见图6 6所示。所示。 ,5010,50,100MPaMPaMPaxyyx,500,1500,1000MPaMPaMPaxyyx图5xxyyxyxyoxy图6yyxxxyxyoxy2021年11月23日4图7四、设图四、设图7 7所示简支梁只受重力作用。梁的密度为所示简支梁只受重力作用。梁的密度为，试求应，试求应力分量。（力分量。（1515分）分）lhxyghlgoghll图8q五、设有一刚体，如图五、设有一刚体，如图8 8所示，具有半径为所示，具有半径为b b的圆柱形孔道，孔的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为道内放置外半径为b b、内

4、半径为、内半径为a a的圆筒，圆筒受内压力的圆筒，圆筒受内压力q q，试，试求圆筒的应力。（求圆筒的应力。（2020分）分）2021年11月23日5六、试用虚位移原理求图六、试用虚位移原理求图9 9所示梁的挠曲线，并求出所示梁的挠曲线，并求出 处处的挠度值的挠度值( (忽略剪切变形的影响忽略剪切变形的影响) )。设挠度曲线为：。设挠度曲线为：2lalxnawnnsin1laPoxz图9（15分）2021年11月23日6模拟试题答案模拟试题答案一、解答题：一、解答题：1.1.答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主

5、矢量相同，对于同一点的主矩也相同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。这就是圣维南原理。如图受的影响可以不计。这就是圣维南原理。如图a a所示柱形构件，所示柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P P。如果把。如果把一端的拉力变换为静力等效的力，如图一端的拉力变换为静力等效的力，如图b b，只有虚线划出的部，只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以分的应力分布有显著的改变，而

6、其余部分所受的影响是可以不计的。不计的。PPP2/P2/P图a 图b2021年11月23日72.2.答：等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度变化的面答：等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。这种问题称力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。这种问题称为平面应力问题。很长的柱体，在柱面上承受平行于板面并为平面应力问题。很长的柱体，在柱面上承受平行于板面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿长且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿长度变化。这种问题称为平面应变问题。度变化。这种问题称为平面应变问题。xyxyxyyyxx

7、EEE)1(2)(1)(1平面应变问题平面应变问题的物理方程的物理方程xyxyxyyyxxEEE)1 (2)1(1)1(122平面应力平面应力问题的物问题的物理方程理方程2021年11月23日83.3.逆解法：先设定各种形式的、满足相容方程逆解法：先设定各种形式的、满足相容方程 的应力函数的应力函数 ，用公式，用公式 求出求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。应力函数可以解决什么问题。逆解

8、法基本步骤：逆解法基本步骤：024422444yyxxyxYyxXxyxyyx22222,设定求出应力分量求出面力（合力）解决什么问题代入代入应力分量公式应力边界条件确定半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分和全部应力分量为某种形式的函数，从而推力情况，假设部分和全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数出应力函数 ，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，2021年11月23日9以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应以及，原来所假设的应力分量和

9、由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。半逆解法基本步骤：半逆解法基本步骤：设定导出应力表达式得到正确解答满足边界条件满足04是是否否应力分量公式应力边界条件二、（1）222222000022202, 0, 0, 0,hhhhhhxxyxxxxhyxyhyyhyxyhyyPdyMydydylxq2021年11月23日

10、10（2）22220022022,2cos,cos, 0, 0hhhhxxyxxhhxxhyxyhyyPdyhPydyPdy（3）0000, 0, 0,ararq（4）2cos,2sin, 022022qqaraara三、（三、（1 1）主应力和主应力方向为）主应力和主应力方向为：MPa0150501025010025010022214454,4142. 1tan1tan6135,707. 05010100150tan21211主应力方向如图c。2021年11月23日11（2 2）主应力和主应力方向为：）主应力和主应力方向为：MPa18096915002500225002221431,618.

11、 05001000691tan11主应力方向如图主应力方向如图d d。yyxx122xy1xy1图dxoyxxyy2211xyxy1图cxoy2021年11月23日12四、解：四、解：1.1.用半逆解法，设用半逆解法，设 ，则：，则：)(yfy)()()(2)()(),(212122yfyxfyfxyfyxfxyfxy代入双调和方程后得：代入双调和方程后得：2345232322345223123224244144422424414244610)()(2610)()(,)(0)(2)(, 0)(, 0)(0)(2)()()(21GyHyyByAGyFyEyxDCyByAyxKyHyyByAyfG

12、yFyEyyfDCyByAyyfdyyfddyyfddyyfddyyfddyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd（2）（1）2021年11月23日132.2.应力分量的表达式为应力分量的表达式为：PxGFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAyxxyyx)23()23(2622)26()26(22223232其中，特解取其中，特解取 , ,而而 。由对称性可知，正应力（剪应力）。由对称性可知，正应力（剪应力）应是应是 的偶（奇）函数，因此，的偶（奇）函数，因此， 。式（。式（3 3）简化为：）简化为：PxgPx0GFEPxCByAyxDCyByAyKHyByAyBAyx

13、xyyx)23(2622)26(2223232（3）（4）3.3.由边界条件确定常数，进而求出应力解答：由边界条件确定常数，进而求出应力解答：2021年11月23日142222220, 00, 0hhhhlxxlxxhyxyhyyydydy将式（将式（4 4）代入以上各式，可求得：）代入以上各式，可求得：101,2,2, 0222hlPHPChPAKDBJbQSxhyPyhyPyhyPyJMyPyhPyxlhPxyyx2222223222241641253453462021年11月23日15五、解：由题可知本题为一个轴对称问题，故环向位移五、解：由题可知本题为一个轴对称问题，故环向位移 。0u

14、另外还要考虑位移的单值条件，因此，应力分量和位移分量另外还要考虑位移的单值条件，因此，应力分量和位移分量分别如下：分别如下：1.1.应力分量为：应力分量为：CrACrAr22222.2.平面应变问题的位移分量为平面应变问题的位移分量为：1121112CrrAEur3.3.确定常数确定常数A A、C C：利用边界条件则有：当利用边界条件则有：当 时，时，ar qarr即得：即得：当当 时，时，br 0brru（1）2021年11月23日16011211CbbA（2）由（1）得：qaCaA222（3）（2）、（3）联立解得：21212122222222babqaAbaqaC4.筒壁应力：qbarrabaqbaaqbarbar2121212121222222222222222qbabrr22221211212021年11月23日17qbarrabaqbaaqbarba2121212121222222222222222qbabr2222121121而：六、解：应变能：12434202242nnlanlEIdxdxwdEIU使挠曲线级数中任一个系数 有一变分,就可得到一个从真实位移算起的虚位移：nalxnawnsin2021年11月23日1