最新人教版高中数学选修2-3《计数原理》教学设计（精编版）

1、教学设计本章复习整体设计教材分析计数问题是数学的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法， 也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思 想和工具 通过本章的学习，学生学会了计数基本原理、排列、 组合、二项式定理及其应用， 了解到计数原理与现实生活的联系，会解决一些简单的计数问题返璞归真地看两个计数原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论依据排列、组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“

2、先猜后证 ”“学以致用 ”的思想始终贯穿本章内容，我们特别注意选择一些典型的、富有时代气息的应用问题，引导学生进行分析、论证、探索，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力计数原理是高中数学中独立性较强的一部分，也是密切联系实际的一部分，是高考的必考内容，每年都有1 2 道与排列、组合有关的试题题型一般为选择题或填空题，考查排列组合的基础知识、思维能力， 多数试题难度与教材习题的难度相当，但又有个别题目难度较大 二项式定理也几乎是每年高考的必考内容，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大， 常见类型有： 应用二项式定理的通项公式求系数或指定项，赋值法在二项展开式中的应用，二项式定理在其他知

3、识方面的应用课时分配1 课时教学目标知识与技能掌握两个计数原理、排列、组合、二项式定理及其展开式，能用计数原理和排列组合、二项式定理解决一些简单问题过程与方法应用类比、猜想、归纳、推广等数学思想，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，培养学生的抽象概括能力，培养学生的运算能力，分析能力和综合能力情感、态度与价值观通过最容易理解的两个常识(两个原理 ) ，引出排列、组合、二项式定理，进而升华到解决一些与生活息息相关的实际问题，增加了学生们的求知欲，思考、探究的多次出现，使同学们体会到探索的快乐，提高同学们学习数学的兴趣 重点难点教学重点：计数原理、排列、组合、二项式定理及其应用教学难点：

4、正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题，恰当地使用二项式定理解决相关问题教学过程形成网络【本章知识脉络】1. 两个计数原理分类加法计数原理 ；分步乘法计数原理 ；它们的本质区别是 2. 排列、组合的定义与有关公式排列的定义： ；排列数公式 ；组合的定义： ；组合数公式 ；组合数的两个性质：. ； . ；排列、组合的本质区别是 3. 二项式定理与杨辉三角的性质 ； ； ； . 答案： 1.完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有n m n 种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1 步有 m 种不同的方法，做

5、第2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有n m×n 种不同的方法一下子能完成是分类，一下子完不成是分步2. 从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列a mn！n n(n 1)(n 2)(n m 1) (n m) ！从 n 个不同元素中取出m(mn) 个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合cmn(n 1)(n 2)(n m1) n！ .cmn n mrm！r1rm！(n m) ！n cn.cn 1 cncn有序问题是排列，无序问题是组合mn mrr1rn3. cn cncn1

6、 cn cn当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即c2n 1 n 最大；当 n 是奇数时，中间的两项相等， 且同时取得最大值， 即 c2nn 1c2n最大 c0n c12rnnn cn cn cn 2【解题方法、数学思想】作为独立性较强的一章，在学习上可以很容易入手，但是要想掌握并且会做题，就必须体会许多解题方法：优先法、插空法、捆绑法、赋值法等等，在学习知识的过程中注意归纳 类比 证明思想的应用学好排列组合是学好概率的根本，所以本章有关知识方法的学习，应该引起我们的足够重视【活动设计】学生自由发言，讨论，教师进行补充；教师可以让学生填空，然后贯通其脉络典型示例类型一：两个计数原理的应用例

7、 1 在 aob 的 oa 边上取 m 个点，在ob 边上取 n 个点 (均除 o 点外 )，连同 o 点共m n 1 个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有()12121212a cm 1cn cn 1cmbcmcncncm1212111221c cmcncncm cmcnd cmcn1 cm 1cn思路分析： 方法一，分成三类，用分类加法原理；方法二，间接法，去掉三点共线的组合解析： 方法一：第一类：从oa 边上 (不包括o)任取一点与从ob 边上(不包括 o) 任取两点，可构造一个三角形，有c12mcn 个；第二类：从oa 边上 (不包括 o) 任取两点与ob 边上21(

8、不包括 o) 任取一点，可构造一个三角形，有cmcn个；第三类：从oa 边上(不包括 o)任取一点与 ob 边上 (不包括 o) 任取一点，与o 点可构造一个三角形，有c11由分类加法计数原理共有n (c 122111mcn个mcncmcn cmcn)个三角形方法二：从m n 1 中任取三点共有c3 点)，有 c3 m n 1种情况，其中三点均在射线oa 上(包括 o3m 1个，三点均在射线ob 上(包括 o 点)，有 cn 1个所以，三角形的个数为n333cmn1 cm 1 cn 1.答案： c本题考查组合的概念及加法原理，解题中常用分类讨论思想及间接法【巩固练习】从甲地到乙地一天有汽车8

9、班，火车 3 班， 轮船 2 班， 则某人一天内乘坐不同班次的汽车、火车或轮船时，共有不同的走法数为()a 13 种b 16 种c 24 种d 48 种答案： a ，由分类加法计数原理知，答案为8 32 13 种类型二：排列组合综合问题例 2(1)a 、b、c、d、 e 五人并排站成一排，如果a 、b 必须相邻且b 在 a 的右边，那么不同的排法种数有()a 60 种b 48 种c 36 种d 24 种(2)七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是()a 1 440b 3 600c 4 820d 4 800思路分析： 相邻问题可以考虑捆绑法，不相邻问题用插空法4解： (

10、1)把 a、b 视为一人，且b 固定在 a 的右边，则本题相当于4 人全排列，共有a 4 24 种排法，故选d.(2)除甲、乙外，其余5 个全排列为a 5种，再用甲、乙去插6 个空位有a 2种，所以不同56排法种数是a 525 a6 3 600 种，所以选b.点评：无论相邻还是不相邻，都是建立在对应用题的审题基础上的，通过认真读题，体会题目的要求，就能解决相应的数列问题【巩固练习】a、 b、c、d、e 五人排成一排，a 、b 不相邻， c、d 要相邻，有 种排法答案： 24例 3 由数字 0,1,2,3,4,5 组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()a 210 个b 3

11、00 个c 464 个d 600 个思路分析： 元素多， 取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计解：按题意，个位数字只可能是0,1,2,3,4 共 5 种情况，分别有a 5113115个， a 4a3 a 3个， a 3a 3311311313a 3个， a 2a 3a 3个， a 3a 3a 3个， a3 a 3个，合计得300 个，所以选b.点评：优先考虑限制条件是解决此类问题的根本，在此题中，还要考虑0 的分类【巩固练习】从 1,2,3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法(不计顺序 )共有多少种？解：被取的两

12、个数中至少有一个能被7 整除时，它们的乘积就能被7 整除，将这100个数组成的集合视为全集i，能被 7 整除的数的集合记作a ，则 a 7,14 ，98 共有 14 个元素，不能被7 整除的数的集合b 中共有 86 个元素，由此可知，从a 中任取两数的取法，共有 c21114种，从 a 中任取一个数又从b 中任取一个数的取法，共有c14c86种，两种情形共得符合要求的取法有c21114 c14c86 1 295 种例 4 四个不同的球放入编号为1,2,3,4 的四个盒中， 则恰有一个空盒的放法共有 种思路分析： 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法4种；再排：

13、在四个盒解：先取四个球中的两个为一组，另二组各有一个球的方法有c2中每次排三个有a3234种，故共有c4a 4 144 种点评：对于选排问题一般的解法是先选后排【巩固练习】9 名乒乓球运动员，其中男5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解：先取男、女运动员各二名，有c2225c4种方法；这四名运动员混双练习有a 2种排法，故共有 c2225c4a 2 种方法【变练演编】将 6 本不同的书按下列分法，(1) 分给学生甲3 本，学生乙2 本，学生丙1 本；有 种分法(2) 分给甲、乙、丙3 人，其中1 人得 3 本、 1 人得 2 本、 1 人得 1 本；有 种分法6

14、42(3) 若分法总数是c2c2c2种，则可能的分法情况是 (4) 分成 3 堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；有 种分法6423(5) 若分成 3 堆，共有分法c2c2c2÷a 3种，则可能的分法情况是 (6) 分给甲、乙、丙3 人，其中一人4 本，另两人每人1 本；有 种分法 同学们，将你能想到的所有情况写出来或计算出来吧！答案： (1)是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为c3216c3 c1； (非等分无序 )3213(2) 是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为c6c3c1×a 3 ；(非等分，有序 )(3) 分给甲、乙、丙3 人，每人2 本；321(4

15、) 是分堆的非均匀问题(与(1)等价 )：方法数为c6c3c1； (非等分无序 )(5) 每堆 2 本；c4113(6) 是部分均匀地分给人的问题：方法数为6c2c1×a 32a 2.(局部等分有序)设计意图： 课堂教学中， 通过变练演编环节的实施，使得学生能够最大限度地理解本节所学，最大限度地发挥主观能动性，使得课堂充满活力在教学中，教师尽量不要照搬教材上的原例题，而是在尊重原例题编写意图，保证其训练的技能技巧、解题思路、数学思想方法、能力不变的前提下，改变原例题中的数值，或字母，或已知条件，或求解目标等等，即表面上换一个例题，但其实质并没有变化可以说是换又没有换，这就是很多专家所

16、讲的“换一个的策略 ”目的还是保证让全体学生真正做到不仅动手，而且动脑，还又不偏离教学目标，是对学习真实性的保障类型三：二项式定理与二项展开式x例 3 已知( 3 xx 2)2n 的展开式的系数和比(3x 1) n 的展开式的系数和大992，求(2x 1)2n的展开式中：二项式系数最大的项；系数的绝对值最大的项思路分析： 先由赋值法列出方程，解出n 的值，然后根据二项式的有关性质解题 解析： 由题意 22n 2n 992，解得 n 5.) (2x1 10 的展开式中第6 项的二项式系数最大，x即 t6t 5 1c5 ·(2x) 5·( 1 5 8 064.10x)设第 r

17、1 项的系数的绝对值最大，则 tr 1r10r1 r (1) rr10 r102r c10·(2x)·( x)·c10·2·x.cr10 rr 110 r1 ，rr110·2c10 ·2c102c10 ，11 r 2，r cr ·10 rcr 110r 1，得rr1即10 210 ·2 8112c10c10 ，2(r 1) 10 r，33 r 3 ， r 3，故系数的绝对值最大的是第4 项即 t4c10(2x)17( x)3 15 360x 4.点评：对于二项展开式，二项式系数的性质是常考的内容对于赋值法

18、的考查，在近几年成为一个热点，还应注意的是，二项式系数与系数是两个截然不同的概念，有时候相等， 有时候不等，它们之间没有必然的联系【巩固练习】设(3 2 1)n 展开式的第7 项与倒数第7 项的比是1 6，求展开式中的第7 项解： t3 3763 cn(2)n 6(1 )6， t63n 7 2 tn 5 cn(2)6(1 )n 6.c6n (3 2)由n6(3 31 )63，化简得6313 3 4 6， 4 1. n 9.n1n6cn( 32)6(1 )n 66333 3 t6 39616 c31 567 c9(2)()3 39 ·2·93 .【拓展实例】4 如果今天是星期

19、一，那么对于任意自然数n，经过 23n 3 7n 5 天后的那一天是星期几？思路分析： 先将此题转化为数学问题，即本题实际上是寻求对于任意自然数n,23n 3 7n 5 被 7 除的余数受近似计算题目启发，23n 3 8n 1 (7 1)n 1，这样就可以运用二项式定理了n 17解：由于23n 3 7n 5 8n 1 7n 5 (7 1)n1 7n 5 7n 1 c1n 17n 1n2cnn 1n1n 12n2n cn17 cn 1 7n 5 7(7 cn17 cn 17 cn 1 n) 6，则 23n 3 7n 5 被 7 除所得余数为6.所以对于任意自然数n，经过 23n3 7n 5 后的

20、一天是星期日 点评：二项式定理是与数有关的问题，可以解决类似于周期性的问题【巩固练习】求 0.955 精确到 0.01 的近似值答案： 先将 0.95 化为二项代数和10.05，再利用二项式定理计算 0.955(1 0.05) 5 1 c122 c33 c44 c50.05) 55·( 0.05) c5·( 0.05)5·( 0.05)5·( 0.05)5·(3c5×0.053 0.001 25<0.005 ，而以后各项的绝对值更小从第 4 项起，均可忽略不计0.95515×0.05 10×0.002 5 0

21、.775 0.78.【达标检测】1. 火车上有10 名乘客，沿途有7 个车站，乘客下车的可能方式有()a 710 种b 107 种c 70 种d 以上都不对2下面几个问题：由 1,2,3 三个数字组成无重复数字的三位数；从40 人中选 5 人组成篮球队；8 个人进行单循环乒乓球比赛；从40 人中选 5 人担任班长、团支书、副班长、学习委员、体育委员其中属于排列的有()ab cd|x|3 (|x| 1 3)5 的展开式中的x2 的系数是 ()a 275b 270c 540d 545答案： 1.a2.d3.c课堂小结活动设计：可以先给学生12 分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，然后用精练的、

22、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等小结：理解两个计数原理，并能解决相应的实际问题；理解排列组合的有关定义公式，并能解决相应的问题，理解相应的解题方法，如捆绑法、插空法、优先法等等；理解二项式定理，会用二项式展开，并能解决相应的问题，理解有关的解题方法，如赋值法、求最值项等等补充练习【基础练习】1. “渐减数 ”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如 98 765)，若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20 个数为 2. 在 (1 ax)7 的展开式中， x 3 项的系数是x2 项系数与x5 项系数的等比中项，则a 的值为()1052525a.5b.3c. 9d. 33

23、12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案种数为()c444444444444312c8c43a c12c8c4b 3c12c8c4c c12c8c4a 3d.a 34某餐厅供应顾客饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种， 现在餐厅准备了五种不同的荤菜， 若要保证每位顾客有 200 种以上不同选择， 则餐厅至少还需准备几种不同的素菜品种？答案： 1.76 5422.c3.a54. 解：在5 种不同的荤菜中取出2 种的选择方式应有c2 10 种，设素菜为x 种，则22cx ·c5 200解. 得 x7，至少

24、应有7 种素菜【拓展练习】5. 已知 a n(n 是正整数 )是首项是a1，公比是 q 的等比数列2223333(1)求和： a1c0 a2c1 a3c2， a1c0a2c1 a3c2 a4c3；(2) 由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明；0123nn(3) 设 q1，sn 是等比数列的前n 项的和，求 s1 cn s2cn s3cn s4cn( 1) sn 1cn.mx(x 1)(x m 1)06. 规定cx cmm！，其中x r， m 是正整数，且cx1，这是组合数n (n， m 是正整数，且m n)的一种推广5(1) 求 c 15的值；mnmmm 1mm*(2)

25、 组合数的两个性质：cn cn；cn cn cn1；是否都能推广到cx (x r，m n )的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由；mm(3) 已知组合数cn 是正整数，证明：当x z， m 是正整数时，cx z.答案： 5.解： (1)a10132111 2 a12 ；c2 a2c2 a c2a2aq a q(1 q)3a2c3 a3 c3 a4c3 a1 3a1q 3a1qa1c01232 a3 a31q1(1 q).(2) 归纳概括出关于正整数n 的一个结论是：已知a n(n 是正整数 )是首项是a1，公比是0123nnnq 的等比数列，则a1cn a2cn a3

26、cn a4cn ( 1) an 1cn a1(1 q) .证明如下：0123nn012233a1cn a2cn a3cn a4cn ( 1)an 1cn a1cn a1qcn a1qcn a1qcn ( n 1 nn1012 2 c3 3 cnn1n1) a q cn a cn cnq cnqnqa1 (1 qn)n( q) a (1 q) .(3) 因为 sn，1 qk 1所以 ska1(1 q)kk 1cn1 qcn，0123nns1cn s2cn s3cn s4cn( 1) sn 1cn a1c 0123nna1q0122nn1q a1qn cn cn cn ( 1)(1 q)n.cn

27、1c nqc n q qcn cn(q) 1 q5( 15)( 16)( 19)56解： (1)c 155！ c19 1 1628.mn m(2) 性质： cn cn不能推广，例如x2时，；nnn 1性质： cm cm1 cm能推广，它的推广形式为cm cm1 cm， x r， m n*，xxx 1证明如下：当m1 时，有 c101x cx x 1 cx 1 ；当 m2时，有 cmm 1x(x 1)(x m 1) x(x 1)(x m 2)x cxm！(m 1)！ x(x 1)(x m 2)(x m 1x(x 1)(x m 2)(x 1)m(m 1)！m 1) cx1.m！x(3) 当 xm时

28、，组合数cm z；当 x<0 时，m x m 1>0， cmx(x 1)(x m 1)x m！( 1) m( x m 1)(x 1)( x) ( 1)mm！设计说明c x m1 z.1. 解排列组合的应用题，要注意四点：(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；“先选之， 再排队 ”；(2)深入分析， 严密周详，注意分清是乘还是加，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑；(3)对于有附加条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析， 设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干个简单的基本问题后应用加法或乘法原理来解决；(4)在检查排列组合

29、结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏；也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同在对排列组合问题分类时，分类的标准应统一，否则易出现遗漏或重复2. 高考对二项式定理的考查，以二项展开式及其通项公式内容为主，要有目标意识和构造意识，要注意展开式的通项公式正、反两方面的应用，此类题也可分两类：(1)直接运用通项公式求特殊项的系数或与系数有关的问题；(2)常用转化思想化归为二项式问题来处 理，试题常以选择、填空的形式出现，有时解答题也会涉及这些内容，常与数列、不等式等联系在一起，难度与课本习题相当3. 通过一组题目，我们既复习了排列组合，又复习了二项式定理及其性质，同时还考

30、查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，赋值法等，培养了学生预习复习的学习习惯4. 只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题的能力因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与另外需要注意的是，学生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助学生提高分析能力，这一点需要教师多多引导备课资料排列、组合、二项式定理检测题一、选择题1. 在 (x 23x 2)5 的展开式中x 的系数是 ()a 160b 240c 360d 8002. 从 a，b，c，d，e 五个字母中任取四个排成一列，b 不排第二的不同排法有 种()4

31、5a a1 a 333b a 1a 25c. a 444d. a 3a 33. 从 7 个同学中选出3 人参加校代会，其中甲、乙两人至少选一人参加，不同选法有 种()1212331221a c2 c5b c2c6c c7 c5d c2c4 c2c44. 有 3 本不同的书， 10 个人去借，每人至多借一本，每次全部都借完，则不同的借法有 种()a 80b 240c 360d 7205. 若正整数x， y 满足 x y6，则可组成 个不同的有序数对(x ， y)()a 15b 16c 17d 186. 有甲、乙、丙三项任务，甲需2 人承担，乙、丙各需1 人承担，从10 人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有()a 1 260 种b 2 025 种c 2 520 种d 5 040 种x7