备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题1-3“12345”模型·选填压轴必备大招（共3种类型）（解析版）

专题1-3“12345”模型·选填压轴必备大招（共3种类型）目录知识点梳理 1例题演练 4【例1·性质一】 42022黔东南州 5【例2·性质二】：“345”三角形与倍半角 7【例3·其它角的配凑】 9【压轴题实战篇】一题多解 9重点题型·归类精练 12题型一：【性质一】·专练 122022乐山 122021宜宾 122022黔东南州中考数学真题 13题型二【性质二】解题：“345”三角形与倍半角 232023·湖北黄冈·统考中考真题 242022·四川泸州·统考中考真题 292022北部湾经济区 302023·四川广元·统考中考真题 382023·呼和浩特·中考真题 38题型三：其它特殊角的配凑与正切和角公式的运用 402023·内蒙古·统考中考真题 40深圳中考真题 43知识点梳理导语：在众多几何模型中，“12345”模型就像夜空中的木星一样明亮而璀璨，是中考解题的顶级神器，需要我们不断钻研、锤炼。初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直角二角形中，345的三角形比含有30°的直角二角形的1：：2以及含有45°的直角三角形的1：1：更加特殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2：及1：3：)，综合性非常大，深受命题老师的喜爱。12345模型介绍：若，，【性质一】； 【性质二】； 【性质三】；【简证】如图，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝ 【图解】如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，DC＝2，AD的长为 . 第2题 第3题A（0,6）B（3,0）在x轴上有一点P，若∠PAB=45°，则P点坐标为.【“123”+“45”的来源】——构造倍半角（一）基本模型AABCDE已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在CA的延长线上，点E在CB的延长线上，且AD＝BE＝AB．结论1：∠D＋∠E＝45°．结论2：tan2∠D＝，tan2∠E＝．结论3：tan∠D＝，tan∠E＝．因为在，，45°中出现数字12345，所以这种模型叫做12345模型．（二）结论推导结论1：∠D＋∠E＝45°证明：∵AD＝BE＝AB，∴∠ABD＝∠D，∠BAE＝∠E，∴∠BAC＝2∠D，∠ABC＝2∠E．∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∴2∠D＋2∠E＝90°，∴∠D＋∠E＝45°．结论2：tan2∠D＝，tan2∠E＝．证明：∵∠ACB＝90°，∴tan2∠D＝tan∠BAC＝＝，tan2∠E＝tan∠ABC＝＝．结论3：tan∠D＝，tan∠E＝．证明：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴AD＝BE＝AB＝5，∴CD＝8，CE＝9，∴tan∠D＝＝＝，tan∠E＝＝＝．（三）解题技巧如果题目中出现角的正切值或直角三角形的两条直角边的比为，，，，或45°配，时（对于角α和β，若满足α＋β＝45°，tanα＝，则一定有，tanβ＝，并且这三个式子，只要满足其中任意两个，都可以推出第三个），则考虑使用12345模型，将45°，90°，135°这几个特殊的角度联系起来，简化此类选择题或填空题的运算．12345模型在中考题中常以选择题或填空题的形式出现除此之外，还能得出，你看出来了吗？【补充】其它角度配凑与正切和差公式“”＋45°＝“”和“”＋45°＝“” 正切和差公式：实战练习例题演练实战练习【例1·性质一】如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点,将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE长是()A．1

B．1.5

C．2

D．2.5【答案】C【解析】根据BG是AB的一半，可得tan∠BAG=12，连接AE，易证△AEF≌△AED，∴tan∠DAE=1/3，∴【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．AADBCEF【答案】2【解析】∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°．∵tan∠BAE＝＝＝，∴tan∠DAF＝，∴＝，∴DF＝＝2．2022黔东南州【变式1-2】如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm．DDCABFMEG【答案】【解析】连接DF．由题意，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠A＝90°．∵DF＝DF，∴△DEF≌△DAF，∴∠EDF＝∠ADF．∵∠CDM＝∠EDM，∠ADC＝90°，∴∠FDM＝45°．∵tan∠CDM＝＝，∴tan∠ADF＝＝，tan∠DGA＝tan∠CDG＝．∵AD＝AB＝4cm，∴EF＝AF＝cm，∴FG＝＝cm．【变式1-3】在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、F，连接GF交DE于H点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________．【答案】【分析解答】法一：观察发现tan∠ADE=1/3，且∠GHD=45°，条件已经具备，考虑GF可动，平移GH，将α、β、45°汇于直角处。可知CF=3，所以DF长度为．法二：平移【例2·性质二】：“345”三角形与倍半角（广东省中考）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________． 【答案】 【变式2-1】如图，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在点G处，若DE=1，CE=2，BC=6，则AF的长为 ． 【答案】4【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB与点F，若AB=4，BE=3，则BF的长为 ． 【答案】【简证】易知tan∠ACB=tan∠AFE=，进而可知BF=2BE=6【变式2-3】如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC中点，将△ABC折叠，使A点与D点重合，若EF为折痕，则sin∠BED的值为． 【答案】【简证】连接AD，,【例3·其它角的配凑】在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________． 【分析解答】取点E如图所示，则∠OAE=α，∠OEA=45°，∠BOD=α+45°，tan∠BOD=3【压轴题实战篇】一题多解如图，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC，D为BC上一点，且，为AD上点，连接CE，∠CED=45°，，则的长________. 【法一】作CG⊥ED与G，则△EGC为等腰直角三角形，记EC=，故AE=EG=GC=m，则AG=2CG，则，进而得出，故AB=9，，而，，下略【其它方法：4种】【简证】 题型一：【性质一】·专练2022乐山如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连接BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（）．A．B．3C．D．2CCDAB【答案】C【解析】∵tan∠A＝，tan∠ABD＝，∴∠BDC＝45°．∵∠C＝90°，∴CD＝BC＝2021宜宾如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）．A．2B．C．D．3CCDBAEFGH【答案】A【解析】由题意，∠BCE＝∠HCE，∠DCF＝∠GCF．∵∠BCD＝90°，∴∠BCE＋∠DCF＝45°．∵tan∠BCE＝＝＝，∴tan∠DCF＝，∴＝，∴DF＝＝2如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为点B'，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B'C上，记为点D'，折痕为CF，若B'D'＝2，BE＝，则矩形纸片ABCD的面积为_________．AADBCEFD′B′【答案】15【解析】由题意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．∵BE＝，∴tan∠BCE＝，∴tan∠D'CF＝，tan∠B'CB＝．∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝，∴DF＝D'F＝＝，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD＝BC·CD＝5×3＝15．2022黔东南州中考数学真题如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则cm．【答案】【简证】连接易知△ADF≌△EDF（HL），记，，则故,【常规法】解：连接如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∵点M为BC的中点，∴由折叠得，∠∴∠，设则有∴又在中，，∵∴∴在中，∴解得，（舍去）∴∴∴∵∠∴∠∴∠又∠∴△∴即∴如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若AE=，∠EAF=45°,则AF的长为. 【答案】（丽水·中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______________【解析】根据解析式可知：即可求得C点坐标（3,0），可求得解析式如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（ ）A． B．2 C． D．3【答案】D如图,三角形OEF的顶点E,F分别在正方形ABCD边AB,CD上,O为正方形ABCD的中心,若∠EOF=135°,DF=1,CF=2,则EF的长度为 【答案】【简证】如图，已知正方形ABCD的边长为，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE=2BE,过B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 。 【答案】【简证】（四川省成都市中考模拟）如图，正方形，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则．【答案】【简证】延长EF至H,易证△BFH≌△BCH(HL),则∠EBH=45°，又因为HF=HC=HD，所以∠CFD=90°，则∠BFH=∠ADG，故【常规法】解：如图，过点作的平行线，分别交于点，四边形是正方形，，，，四边形是矩形，，点为中点，，，，，即，设，则，，由折叠的性质得：，，又，，，在和中，，，，即，解得，，，又，，解得或，经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，tan∠BAD＝，∠DAE＝45°，将△ABD沿AD翻折得到△AB'D，AB'交BC于点F，若DF＝3，则EF的长为_________．AABEDCB′F【答案】4【解析】连接B'E，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AC于点H．AABEDCB′FGH∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠AB'D＝∠B＝45°，BG＝DG，CH＝EH．由tan∠BAD＝，可设BG＝DG＝a，则AG＝3a，AB＝4a．∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，∴tan∠CAE＝．设CH＝EH＝b，则AH＝2b，AC＝3b，∴4a＝3b．∵∠DAE＝45°，∴∠B'AD＋∠B'AE＝45°，∠BAD＋∠CAE＝45°，∵∠BAD＝∠B'AD，∴∠B'AE＝∠CAE．∵AB'＝AB＝AC，AE＝AE，∴△AB'E≌△ACE．∴＝＝＝＝＝，∴EF＝＝＝4．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE。若AD=，则GE的长是___________.【答案】【简证】易知，，则，勾股可知如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H，则线段FH的长为．【答案】【简证】易知△ADF≌△AGF∠EAF=45°∴，四点共圆型相似+12345模型如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，过点C作CD⊥BC，CD＝2，连接BD，过点C作CE⊥BD，垂足为E，连接AE，则AE长为．【答案】【详解】法一：二级结论∠CBA=45°，，故，设AC交BE于F，故△蓝∽△黄△AFE∽△BFC 易知相似比为法二：常规法解：如图作AM⊥BD于M，AN⊥CE于N．易证△ABM≌△ACN，可得AM＝AN，四边形AMEN是正方形，设AM＝EM＝NE＝AN＝a，BM＝b，在Rt△BCD中，BD＝＝2，CE＝＝，BE＝，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，则有，解得a＝，∴AE＝a＝题型二【性质二】解题：“345”三角形与倍半角2024届·深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中如图，在正方形中，点E是边上一点，其中．线段的垂直平分线分别交于点F，G，H，则的值为．【答案】2【简证】（和角公式，详情见本专辑“12345模型”）设AE=3t，则FB=FE=5t，故HC=2t2023·湖北黄冈·统考中考真题如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（

）

A． B． C． D．4【答案】A【简证】易知，故【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，，．由作图过程可知，平分，四边形是矩形，，又，，在和中，，，，，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，．．，．，，，，即，解得．（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形中，是中点，连接，，作交于，交于，交于，延长交延长线于，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【简证】【常规法详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∴；故选：C.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【简证】易知，故，【常规法详解】解：∵四边形是边长为的正方形，∴，，∴，由翻折得，，垂直平分，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，且，∴，解得，∵，∴，解得如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F是CD的中点，∠EAF＝45°，连接AE与BF交于点G，连接AF与DG交于点H，则的值为_________．AADBCEFGH【答案】【解析】过点G作GM⊥AF于点M，过点D作DN⊥AF于点N．AADBCEFMGHN∵四边形ABCD是正方形，点F是CD的中点，∴tan∠DAF＝∠tan∠CBF＝．∵∠AFB＝180°－∠AFD－∠BFC＝2(90°－∠AFD)＝2∠DAF，∴＝tan∠AFB＝tan2∠DAF＝．设AM＝GM＝4a，则FM＝3a，AF＝7a，AN＝2DN＝4FN，FN＝＝，DN＝2FN＝，∴＝＝＝．2022·四川泸州·统考中考真题如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（

）A． B． C． D．1【答案】B【简证】易知，，故【详解】在AD上截取AH＝AE，连接HE．CCDABENMHGF则∠AHE＝∠AEH＝45°，∴∠DHE＝135°．由题意，AD＝AB，∠EBF＝135°，∴DH＝BE，∠DHE＝∠EBF．∵∠A＝∠DEF＝90°，∴∠HDE＝∠BEF＝90°－∠DEA，∴△HDE≌△BEF，∴DE＝EF，∴∠EDF＝45°．∵BE＝2AE，AD＝AB＝3AE，∴tan∠ADE＝，∴tan∠CDN＝，BN＝CN＝＝．∵∠A＝∠DEM＝∠EBM＝90°，∴△ADE≌△BEM，∴BM＝＝，∴MN＝BN－BM＝．2022北部湾经济区如图，在正方形ABCD中，AB＝，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是_________．AADEH′FGHOBC【答案】5＋【解析】过点E作EP⊥AC，交CB的延长线于点P．AADEH′FGHOBPC∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECB＝∠ECF＝45°．∴∠P＝45°，∴∠P＝∠ECF，∴EP＝EC．∵∠BEF＝90°，∴∠PEB＝∠CEF，∴△EPB≌△ECF，∴EB＝EF，∴∠EBH＝∠EFH＝45°．∵∠OBC＝45°，∴∠EBO＝∠FBC．∵点F为CD的中点，∴tan∠EBO＝tan∠FBC＝．∵AB＝，∴OB＝4，∴OE＝2．∵∠H′EF＝∠HEF＝90°－∠BEO＝∠EBO，∴tan∠HEF＝tan∠EBO＝，∴tan∠H′EO＝，∴OG＝＝1，OH′＝＝，EH′＝＝，∴EG＝，GH′＝－1＝，∴△EGH′的周长＝EH'＋EG＋GH'＝＋＋＝5＋（2022泰州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，O为△ABC的内心，过点O的直线分别与边AC，AB相交于点D，E，若DE＝CD＋BE，则线段CD的长为_________．CCABO【答案】2或【解析】过点O作AC的垂线，分别与边AC，AB相交于点D，E，连接OA，OB，OC．DDCABEOE′D′∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC．∵O为△ABC的内心，∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠BOE＝∠OBC＝∠OBE，∠COD＝∠OCB＝∠OCD，∴BE＝OE，CD＝OD，∴DE＝OD＋OE＝CD＋BE．∵AC＝8，BC＝6，∴tan∠BAC＝．由12345模型可知tan∠OAD＝．设CD＝OD＝x，则AD＝3x，AC＝4x＝8，∴x＝2，即CD的长为2．（也可由直角三角形内切圆的半径与边长的公式求出CD）过点O作AB的垂线，分别与边AC，AB相交于点D′，E′，则OD＝OE′，∠DOD′＝∠E′OE，∠ODD′＝∠OE′E＝90°，∴△ODD′≌△OE′E，∴OD′＝OE，DD′＝E′E，∴D′E′＝OD′＋OE′＝OD＋OE＝DE＝CD＋BE＝CD′＋DD′＋BE′－E′E＝CD′＋BE′．∵∠DOD′＝90°－∠AD′E′＝∠BAC，∴＝tan∠DOD′＝tan∠BAC＝，∴DD′＝＝，∴CD′＝．综上，线段CD的长为2或．如图，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重合，折痕为MN．若tan∠AEN，DC＋CE＝10．(1)求△ANE的面积； ⑵求sin∠ENB的值． 【答案】 如图．内接于，为直径，，，是的中点，与的交点为，则等于．【解答】解：连接，交于点，是的中点，，，，，是的中位线，，为直径，，，，，，，，，．如图，是圆的直径，点为左半圆上一点，的平分线与圆交于点，连接交于点，若时，则的值为A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如图，连接，是直径，，平分，，，，，，，，，设，，，如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【解答】解：连接，如图，为直径，，，，而，，，，而，，，，在中，，，，，，，，，即，，，在中，，．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．⑴求证：PB为⊙O的切线；⑵若tan∠ABE=，求sin∠E． 【答案】（1）略（2）如图，已知点，，为坐标原点，点关于直线的对称点恰好落在反比例函数的图象上，则．

【答案】【详解】法一：易知，故.法二：常规法解：作