专题调研数学平面向量与平面解析几何

1、第一章 平面向量专题二 平面向量的基本定理及坐标表示归纳点1 平面向量的基本定理(1)和必须是同一平面内的两个不共线向量：如果和共线，由共线向量定理，存在唯一的实数使，则，再由共线向量定理知与共线，即只能表示平面内与和共线的向量(2)有且只有一对实数、的含义：如果且，那么且，逆过来如果且，当然有，即特别有(3)向量的线性相关：如果两个非零向量与有线性关系，式中不全为零，则称这两个向量共线；反之亦成立，称向量和 线性相关.如果两个非零向量与有线性关系，且只有在和时才成立，则称向量和 线性无关.(4)如G是ABC的重心，则平面上任一点O，总有(5)在一个平面图形中,用待定系数法通过两个不共线的向量

2、确定另一个向量.归纳点1 平面向量的坐标表示(1)如果，C为AB的中点，则.(2)如果G是ABC的重心， ，则.(3)向量平行的坐标表示：设向量，如果，那么；反之，如果，那么 . 为了便于记忆，可以把改写为，但应注意分母不为零. 如果则.如果则.(4)相等向量的坐标是相同的，但起点、终点坐标可以不同，如A(3，5)，B(6，8)，； C(-5，3)，D(-2，6)，.显然，但A、B、C、D四点坐标各不相同.(5)两个向量共线或相等的问题,常可利用向量的坐标形式进行判断与计算.常考点2 平面向量的坐标表示【剖析】 向量的坐标表示是向量表示的一种重要形式，借助于这个工具，可以有效地实现向量问题与几

3、何问题的相互转化，利用向量的坐标法处理共线问题是高考的重点之一，往往出现在选择题或填空题中，属于中低档题.要认真掌握好坐标形式的向量加减法及数乘运算，善于将相关问题转化为坐标形式进行解答，提高解题的效率.典例6 (2008·江苏徐州模拟) 设坐标平面上有三点A、B、C，分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量2，那么是否存在实数，使A、B、C三点共线，即 方法一 假设满足条件的存在，由A、B、C三点共线，即，存在实数，使，2()， ，2当2时，A、B、C三点共线方法二 假设满足条件的存在，根据题意可知：(1，0)，(0，1)，(1，0)2(0，1)(1，2)，(1，0)(0

4、，1)(1，)，由A、B、C三点共线，即，故1·1·(2)0解得2当2时，A、B、C三点共线 【点评】 共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，一是向量的线性关系，二是坐标关系，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择.本题是存在性探索问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法当存在时；假设否定法当不存在时.本题在解题过程中，首先假设满足条件的存在，由A、B、C三点共线 存在实数，使，从而建立方程来进行求解.第二章 平面解析几何初步专题一 平面向量的基本定理及坐标表示常考点1 平面向量的数量积运算【剖析】 平面向量的数量积是一个重要的概念，是它沟通了向量与实

5、数的关系，为解决平面几何、不等式等问题提供了强有力的理论依据，因此复习时要清晰地理解概念，掌握运算律的形式及内容，熟悉计算数量积的公式，并会正确运算. 典例1 (原创题)对于如下命题：·；0·0；·；若，则对任一非零有·0；·0，则与中至少有一个为；对任意向量，都有(·)(·)；与是两个单位向量，则.判断正误，并简要说明理由. 对于：两个向量的数量积是一个实数，应有·0；对于：应有0·；对于：由数量积定义有···cos，这里是与的夹角，只有或时，才有··；

6、对于：若非零向量、垂直，有·；对于：由·可知可以都非零；对于：若与共线，记则·()·(·)(·)，(·)·(·)(·)(·).若与不共线，则(·)(·).上述8个命题中只有正确. 【点评】 本题主要考查了平面向量数量积的基本知识，处理问题时要注意把握好数量积的定义、性质、运算律等，还应该把平面向量的数量积同前面的数乘区别开来，加强对特殊向量的理解和运用. 易错点1 不等价变换引起参数范围扩大典例 已知：|=,|=3, 和的夹角为45°，求使向量+与+的夹角

7、是锐角时的取值范围. ·=|·|·cos 45°=3·=3.+与+夹角为锐角，(+)·(+)>0，即·2+(2+2) +·>0.把·=3，2+2=|2+|2=2+9=11代入得32+11+3>0，解之得<或>，又+与+夹角为锐角，所以即，所以. 【纠错笔记】 在解答本类型题目时，容易将的夹角为锐角和作为等价条件使用，从而使得所求范围变大.要注意此类题目排除共线的情况，即的夹角为锐角且不共线；的夹角为钝角>0，且不共线. 易错点2 思维定势引起信息错觉典例 设是夹角为两个

8、单位向量，且，求的值. = . 【纠错笔记】 在解答本题时容易受教材中方向垂直的正交向量的干扰，误认为是垂直的，所以由得，最终得到=3的错误答案，因此在掌握基础知识的同时，一定要注意认真审题，具体问题具体分析. 一、选择题1.直线xcos 1+ysin 13=0的倾斜角是A 1 B 1+ C 1 D 1+2.空间直角坐标系中的点P(3，4，5)到平面的距离是A3 B4 C 5 D3.(2008·云南昆明模拟)若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为A-2或2 B C2或0 D-2或04. (2007·湖北理)已知直线(是非零常数)与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，

9、那么这样的直线共有A60条B66条C72条D78条5.方程所表示的图形是A一条直线 B一个圆 C一条直线和一个圆 D两条射线和一个圆6.(2007·福建泉州模拟)已知ab0,点M(a,b)是圆x2+y2=r2内一点,直线m是以点M为中点的弦所在的直线,直线l的方程是ax+by=r2,则下列结论正确的是A ml,且l与圆相交 B ml,且l与圆相切 C ml,且l与圆相离 D ml,且l与圆相离二、填空题7. (2007·江西卷)设有一组圆下列四个命题：存在一条定直线与所有的圆均相切；存在一条定直线与所有的圆均相交；存在一条定直线与所有的圆均不相交；所有的圆均不经过原点.其中

10、真命题的代号是(写出所有真命题的代号)8.已知圆O的方程是，圆O的方程是，由动点向圆O 和圆O所引的切线长相等，则运点的轨迹方程是_9.已知线段AB的端点A(1,3)，B(5,2)，动直线：x+ty=与线段AB交于点P，则参数t的取值范围是 10.函数的图像为C,则C与x轴围成的封闭图形的面积为_.11.(2006·江西卷)已知圆M：(xcos q)2(ysin q)21，直线l：ykx，下面四个命题：对任意实数k与q，直线l和圆M相切；对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切.其中

11、真命题的个数是_.三、解答题12.一条直线被两直线：4x+y+6=0,：3x5y6=0截得的线段的中点恰好为坐标原点,求这条直线的方程.13.(2008·浙江杭州模拟)如图，已知圆 ，设M为圆C与x轴负半轴的交点，过M作圆C的弦MA，并使它的中点P恰好落在y轴上.(1)当r=2时，求满足条件的P点的坐标；(2)当时，求点N的轨迹G的方程；(3)过点P(0，2)的直线L与(2)中轨迹G相交于两个不同的点 E、F，若，求直线L的斜率的取值范围.14三棱锥P-ABC中，侧面PAC底面ABC，ABC是以B为直角顶点的直角三角形，AB=BC=，又PA=PB=PC=3，试建立恰当的坐标系，在这个

12、坐标系中： (1)求点A、B、C、P的坐标；求AB、PC的中点之间的距离.1.B 设倾斜角是 则tan =tan (1+). 2.C 空间直角坐标系中的点到平面的距离即为z值.3.C 利用点到直线的距离公式求解.4.A 可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆 上的整数点共有12个，分别为，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点(圆上点的对称性).故满足题设的直线有52条.综上可知满足题设的直线共有条，选A.5.D 方程可以转化为或，所以此方程所表示的曲线为：两条射线和一个

13、圆6.C 由OMm 得kmab 故ml ，又点M(a,b)是圆x2+y2=r2内一点，得 ，所以l与圆相离 ，故选C.7. 圆心为(k-1，3k)半径为，圆心在直线y=3(x+1)上，所以直线y=3(x+1)必与所有的圆相交，正确；由C1、C2、C3的图像可知、不正确；若存在圆过原点(0，0)，则有(因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点.填.8. 圆心，半径；圆心，半径设，由切线长相等得，即9. 直线可化为,由此可知(1+3t+)(5+2t+)0，又3t2+t+1恒正且t2>0. t2+5t+10,即.10.2 是偶函数.当0x1时表示 (x1)2+(y1)

14、21上的圆弧如图可知面积为2.11.2 圆心坐标为(cos q，sin q)，d.故选正确.12.方法一 由题意可设所求直线方程为y=kx，分别与,的方程联立，得两交点的横坐标分别为与,令+=0解得.从而所求直线方程为x+6y=0.方法二 设所求直线与,的交点分别为A,B.设,AB关于原点对称,又A,B分别在直线,上,4x0+y0+6=0且3x0+5y06=0,两式相加得x0+6y0=0.即点A在直线x+6y=0上,又直线x+6y=0过原点,故所求的直线方程为x+6y=0.13.(1)由题意M(-1，0)，设N(x,y)，则，解得.MN的中点P的坐标为.(2)作NQy轴Q为垂足，P为MN 的中

15、点，NO=MO.又NC=MC=r,OC =1N、C的距离等于N到直线x=-1的距离N的轨迹为一抛物线，C为焦点，O为顶点方程为.(3)由题意知直线l的斜率存在且不等于0.设直线l的方程为，由，得.由得且. 将代入得.14(1)取AC的中点O，连OB、OP.ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=，AC=4，OB=2，ABC的外心是AC的中点O.又PA=PB=PC，点P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即点O， PO平面ABC.PA=3，以O为坐标原点，OB、AC、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，2，0)，B(2，0，0)，C(0，2，

16、0)且点P的坐标为P(0，0，).(2)AB的中点坐标为(1，1，0)，PC的中点坐标为(0，1，)，这两个中点之间的距离为.第五章 坐标系与参数方程专题二 参数方程知识点1 参数方程(1)概念：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线上任一点的坐标，都是某个变数的函数反过来，对于的每个允许值，由函数式 所确定的点都在曲线上，那么方程 叫做曲线的参数方程，联系变数的变数是参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程(2)参数的意义参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样.在实际问题中要确定参数的取值范围.

17、(3)参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标(4)参数方程求法建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为.选取适当的参数.根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式.证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.(5)关于参数方程中参数的选取:选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单与运动有关的问题选取时间做参数，与旋转的有关问题选取角做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等(6)参数方程与普通方程的互化：化参数方程为普通方程为：