一元二次方程专题能力培优(含答案)

1、第2章一元二次方程2.1 一元二次方程专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1 .已知(m 3)x2 Jm 2x 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是()A.mw 3B.m >3 C.m >-2 D. m > -2 且 m 32 .已知关于x的方程(m 1)xm2 1 (m 2)x 1 0,问：(1) m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；(2) m取何值时，它是一元一次方程？专题二利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.关于x的一元二次方程(m-1) x2+5x+m2-1=0的常数项为0,求m的值.24 .若一兀一次万程(2a 4)x(3a 6)x a

2、8 0没有一次项，则 a的值为 专题三利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式5 .已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a (aw0),则a-b值为()A. 1B.0C.1D.26.若一元二次方程 ax2+bx+c=0中，a- b+c=0,则此方程必有一个根为.22a2 17.已知实数a是一兀二次方程 x 2013x+1=0的解，求代数式 a2 2012a 1的值.2013知识要点：1 .只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.2 .一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 (aw0),其中ax2是二次项，a是二次项

3、系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.3 .使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程 的根.温馨提示：1. 一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.2. 一元二次方程的根是两个而不再是一个方法技巧：1 .ax k+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论2 .利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.答案： m 3 0 一 一1. D 解析：，解得-2且m 322.解：（1）当 m mm 2 01 2,时，它是一元二次方程.解得：m=1.1 0当m=1时，原方程可化为 2x2-x-1=0

4、 ;（2）当 m2 °,或者当m+1+（m-2） wo且吊+1=1时，它是一元一次方程 .m 1 0解得：m=-1, m=0.故当m=-1或0时，为一元一次方程.m2 1 03 .解：由题意，得： m 1 0,解得：m=-1.m 1 0.3a 6 0,.4 .a=-2 解析：由题意得'解得a=2.2a 4 0.5 . A 解析：:关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的一个根是-a （aw0） , a2 ab+a=0. a （ab+1） =0. .aw。，1-b+a=0. - a-b=-16 .x= - 1解析：比较两个式子ax1 +c = 0J 1 J Jq -h +r=0

5、会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子 x2对应了第二x2 1个式子中的1,第一个式子中的x对应了第二个式子中的-1.故.解得x=1.x 17.解：.实数 a 是一元二次方程 x22013x+1=0 的解，a22013a+1=0.a2+1=2013a, a2-2013a= - 1. 1 - 201 勿 - 2。=a2 - 2012ti-a = a2 -2U1 为=-1一20132.2 一元二次方程的解法专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值1 .若方程25x2- （k-1 ） x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则 k的值为（）A. -9 或 11

6、 B . -7 或 8 C . -8 或 9 C . -8 或 92 .如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式，则 m= .3 .用配方法证明：无论 x为何实数，代数式2x2+4x 5的值恒小于零.专题二利用判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围4 .已知a, b, c分别是三角形的三边，则方程（a+b） x2+2cx+ （a+b） =0的根的情况是（A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5 .关于x的方程kx2+3x+2=0有实数卞H,则k的取值范围是（）6 .定义：如果一元二次方程ax2+bx+c= 0 （aw。满足a+b+c=

7、0,那么我们称这个方程为凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0 （aO是 凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A. a = c B. a= bC. b= c D. a=b=c专题三解绝对值方程和高次方程7 .若方程（x2+y2-5 ） 2=64,则 x2+y2=.8 .阅读题例，解答下题：例：解方程 x2 |x 1| 1=0.解：（1）当 x 1>0,即 x>l 时，x2 （x1） 1=0,x2 x=0.解得：Xi=0 （不合题设，舍去），x2=1.（2）当 x- K0,即 x<1 时，x2+ （x1） 1=0,，x2+x2=0.解得X1=1 （不合题设，舍

8、去），X2=2.综上所述，原方程的解是x=1或x= 2.依照上例解法，解方程 x2+2|x+2| 4=0.专题四 一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系9 .探究下表中的奥秘，并完成填空：一兀一次方程两个根一次二项式因式分解x2-2jt+1=0, JQ=1蝇(x-1)(z-t)X严1 rX浮2(a-1)(a-2)1工尸一> Kil3Cx- 34-二01 、一2)Cr-2)卡-L3耳-3=0Xi =f A 2 =li-3=4 «)<A-)10 .请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程 3x (x+2) =5 (x+2)时，先将方程变形为 3

9、x (x+2) -5 (x+2) =0, 这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为(x+2) (3x-5) =0.我们知道，如果两个因式的积等于0,那么这两个因式中至少有一个等于0;反过来，如果两个因式有一个等于 0,它们的积等于0.因此，解方程(x+2) (3x-5) =0,就相当于解方程 x+2=0或3x-5=0 ,得到原方程的解为 xi=-2 , x2= 5 .3a 0,a 0,根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a.b>0,则有或者请判断王b 0b 0.5x 1力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式吐 0的解集，如果不正确，请说明理2x 3由.专题五 利用根与

10、系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11 .设 xi、x2是一元二次方程 x2+4x3=0 的两个根，2xi (x22+5x2-3) +a=2,则 a=.12 . (2012怀化)已知xrx2是一元二次方程 a 6x2 2ax a 0的两个实数根，是否存在实数a,使x + xx2=4 + x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，请你说 明理由；求使(x1 + 1) (x2+1)为负整数的实数 a的整数值.13 .(1)教材中我们学习了： 若关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根为xx2,x 1+x2= b, ax1 X2=根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x1、x2的代数式

11、的值.例如：已知x1、x2为方程x2-2x-1=0的两根，则：(1)x1+x2=,x1-x2=, 那么x12+x22=( x 1+x2)2-2 x 1 -x2=.请你完成以上的填空. (2)阅读材料：已知 m2 m 1 0, n2 n 1 0,且mn 1 .求mn-1的值.解：由n2 n 1 0可知n 0 .，12一 . 一 1又 mm 1 0,且 mn 1,即 m n. 一 1mn 1 -d m 1 .-=1 nn(3)根据阅读材料所提供的的方法及(111F 0 1n nn1 cm,一是方程x n1)的方法完成下题的解答.0.0的两根.已知 2m2 3m 1 0, n2 3n 2c 1 一0

12、 ,且mn 1 .求m2 的值.n知识要点：1 .解一元二次方程的基本思想一一降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2 .一元二次方程的根的判别式=b-4ac与一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0)的根的关系：当4 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数解；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数解； <0时，一元二次方程没有实数解.3.一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0)的两根x1、x2与系数a、b、c之间存在着如下关系：“ c 力 匚x1+x2=万，x1?x2=T7.IL4温馨提示：1 .x 2+6x+m2是一个完全平方式，

13、易误以为m=3.2 .若一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的两根 x1、x2 有双层含义：(1) ax12+bx1+c=0 ,axz2+bx2+c=0 ; (2) x1+x2=x1?x2=1.方法技巧：1 .求二次三项式 ax2+bx+c极值的基本步骤：(1)将ax2+bx+c化为a (x+h) 2+k; (2)当a>0, k>0 时，a (x+h) 2+k>k;当 a<0, k<0 时，a (x+h) 2+k< k.2 .若一元二次方程 ax2 + bx+ c=0 的两个根为 x1. x2,贝U ax2+bx+c=a (x-x1) (x-x2).

14、3 .解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.4 .解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.5 .利用根与系数求解时，常常用到整体思想.答案：1 .A 解析：根据题意知，-(k-1) =±2X5X1, .-.k-1=±10,即 k-1=10 或 k-1=-10 ,得 k=11 或 k=-9 .2 . ±3 解析：据题意得，m2=9,m=±3.3 .证明：2x2+4x-5=- 2 (x22x) 5=2 (x22x+1) - 5+2=-2 ( x 1) 23.(x 1) >

15、0, 'I 2 (x 1) W0, 2 (x 1) 3v0.，无论x为何实数，代数式2x2+4x-5的值恒小于零.4 .A 解析： = (2c) 24 (a+b) (a+b) =4 (a+b+c) (c ab).根据三角形三边关系，得 c- a- b< 0, a+b+c>0. < 0.，该方程没有实数根.5 .A 解析：当kx+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时 k=0;当kx2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则k 0_2_32 4 k 2.解得09 9k 且kw0.综上所述k .886.A 解析：:一元二次方程 ax2+bx+

16、c = 0 (aw0)有两个相等的实数根，= b2 4ac =0,又 a+b+c=0,即 b=a c,代入 b2 4ac = 0 得(一a c) 2-4ac= 0,化简得(a 一c) 2= 0,所以 a= c.7.13 解析：由题意得x2+y2-5= ± 8.解得x2+y2=13或者x2+y2=3 (舍去)8.解：当 x+2>0,即 x>2 时，x2+2 (x+2) 4=0,x2+2x=0.解得 xi=0, x2=- 2;当 x+2<0,即 xv-2 时，x2 2 (x+2) -4=0, . x22x 8=0.解得xi=4 (不合题设，舍去)，x2=- 2 (不合题

17、设，舍去).综上所述，原方程的解是 x=0或x= 2.9.3.发现的一般结论为：若一元二次方程 ax2+bx+c=a (x-xi) (x-x2).2 .ax+bx+c=0的两个根为 xi. x2,贝U1口.解析:壬力的推测是正确的.f5K-l>0吐3万。f5x-l<0或I2k-3<0，不等式赛解不等式超(1解不等式期(23-21-511.8 解析：: xix2=3, x22+4x23=0, .2xi(x22+5x23)+a =2 转化为 2xi(x22+4x23+ x 2)+a =2.2xix2+a =2. ，2x( 3)+a=2.解得 a=8.12.解：(1)根据题意，得/

18、 = ( 2a) 2-4X a (a6) =24a>0. a>0.又 a6w。，/. aw6.由根与系数关系得：x1+ x2=-二a- , x1x2=a.a 6 a 6由一x+ xx2=4 + x2 得 x+ x2 + 4=x1x2. - 2a +4 = a, 解得 a=24.a 6 a 6经检验a=24是方程 2a- + 4 = a的解.a 6 a 62a(2)原式=Xi + X2 + X1X2 +1 = - +a 6 a 6，6 a 为1 或2, 3, 6.解得 a=7 或 8,:为负整数,6 a12 .13 .解：(1) 2, 1, 6 .(3)由 n2+3n-2=0 可知

19、nw0, .1.1+3至.E- 3-1=0. n n n n2 一又 2m-3m-1=0,且 mn* 1,.nr n是方程2x2-3x-1=0的两根. m-= 3,m .!=-1, m2+ J=(m+ ' 2-2m= 2, n 2, n ' n nj-2 ('= 2)( 2)1342.3 一元二次方程的应用专题一、利用一元二次方程解决面积问题1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户. 现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框.问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为 3m （铝合金条的宽度忽略不计）2 .如图：要设计一幅宽 20cm,长30cm的矩形图案，

20、其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的 宽度比为2： 3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每 个彩条的宽度？3 .数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为ami宽为bm的一块草坪上修了一条 1m宽的笔直小路（如图（1）,则余下草坪的面积可表示为 m2；（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）,则此时余下草坪的面积为 m2；（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3）,在长为50m,宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒为xm的弯曲

21、小路（如图 3）,此时余下草坪的面积为 1421m2.求小路的宽x.图专题二、利用一元二次方程解决变化率问题4 .据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2014年的利用率提高到 60%求每年的增长率.（取 /2=1.41）5 .某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析， 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6 . （2012 广元

22、）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670元的价格销售.（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%再下调15%这样更有吸引力.请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题7 . (2012 济宁)一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过 60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过 60棵，每增加1棵，所 出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得

23、少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款 8800元.请问该校共购买了多少棵树苗？8 . (2012 南京)某汽车销售公司 6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出 1部汽车，则该部7车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利 12万元，那么需要售出多少部汽车？ (盈利=销售利润+返

24、利)专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题9 . (1)经过凸n边形(n >3)其中一个顶点 的对角线有 条. (2) 一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理.10.如图每个正方形是由边长为 1的小正方形组成.(1)观察图形，请填与下列表格:止方形边长1357n (奇数)红色小止方形个数止方形边长2468n (偶数)红色小止方形个数Ti=i(2)在边长为n (n>1)的正方形中，设红色小正方形的个数为Pi,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数 n,使P2=5Pi?若存在，请写出

25、 n的值；若不存在，请说明理由.知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活 中的其他问题.温馨提示：1 .若设每次的平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)前的数量为a,则第一次增长(或降低) 后的数量为a(1±x),第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2.2 .面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程.3 .列方程解决实际问题时， 方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性.方法技巧：1

26、 .变化率问题中常用 a (1±x) n=b,其中a是起始量，b是终止量，n是变出次数，x是变 化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.2 .解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系答案：9505 2x9505 2x1.解：设高为x米，则宽为9.5 0.5 2x米.由题意,得x 9.5 0.5 2x 3.33解得为1.5, x2 3 (舍去，高度为2.8m的一面墙上).9.5 0.5 3 23.2xcnv 3xcm,由题意，得X20M0.整理，得 6x2- 65x+50=0.当 x=1.5答：高为时，宽 9.5 0.5 2x31.5米，宽为2米.2.解：设

27、横、竖彩条的宽度分别为(20 6x) (304x) = (1 1 )3解，得 Xi=5, X2=10 (不合题意，舍去).，2x=5, 3x=5.632答：每个横、竖彩条的宽度分别为5 cm, cm.323 .解：(1) a(b 1)(或 ab a); (2) a(b 1)(或 ab a);(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为(30-x) m,由题意得：(50-x)(30-x) =1421.解得 x 产1, x 2=79(舍去).答：小路的宽为1m.4 .解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为 a,合理利用量的增长率是x,由题意，得30%a (1+x) 2=60%a.，x1 = 0.41 , x2=-2.41 (不合题意舍去).,.x0.41 .答：每年的增长率约为 41%5 .解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意，得1 + x+ (1 + x) x= 81.整理得(1 + x) 2= 81.xi=8, x2= -10 (舍去).( 1 +x) 3=(1 + 8) 3= 729>700.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，