2020年中考数学考前冲刺复习：几何相似综合压轴

1、2020年中考数学考前冲刺复习几何相似综合压轴（四）1在Rt ABC中， C= 90°, P是BC边上不同于 B C的一动点，过 P作PQL AB垂足为Q连接AP提出问题：（1）求证： PBQ ABC深入探究：（2）若AC= 3, BC= 4,当BP为何值时， AQF面积最大，并求出最大值；发散思维：（3）在Rt ABC中，两条直角边 BC AC满足关系式BC= mAC是否存在一个m的值使Rt AQP既与Rt ACP全等，也与 Rt BQP全等.若存在，请直接写出 m的值,2.在正方形 ABCD ,对角线 AC BD交于点 O点P在线段BC上（不与点B重合）， BPE= ACB PE

2、交Bo于点E,过点B作BF PE垂足为F,交AC于点 G（1）当点P与点C重合时（如图1）,求证： BOG POEBFl（2）当点P在线段BC上，不与C重合时，结合图2通过观察、测量、猜想：直接写出 一（3）把正方形ABCc改为菱形，其他条件不变（如图 3）,若 AC= ,请求出吕的值（用含的式子表示）.3.已知：AD AE分别是 ABQ内角和外角平分线.(1)则 DAE的度数=4.在矩形 ABCDK点P在AD上，AB= 2, AP= 1 .直角尺的直角顶点放在点 P处，直角尺 的两边分别交 AB BC于点E、F,连接EF (如图1).(1) 当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).

3、求证： APB DCP求PC BC的长；(2) 探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点 P顺时针旋转，当点 E和点A重合时停止在这个过程中(图 1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答： tan PEF的值是否发生变化？请说明理由； 设AE= 乂，当厶PBF是等腰三角形时，请直接写出 X的值.E 25.如图，在 ABC中， ACB= 90°, CDLAB于点D,点E是直线 AC上一动点，连接 DE过点D作FD ED交直线 BC于点F.(1) 如图1 ,当点E在线段AC上时，求证： DE( DFB(2) 当点E在线段AC的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请结合图2给出证

4、明；若不成立，请说明理由；(3) 若AC= 7, BC= 2 ； DF= 4.二请直接写出 CE的长.6“如图1,在Rt ABC中， ACB= 90° , CDLAB于点D.”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：=在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图 2,点DU DUE是直线AC上一动点，连接 DE过点D作FDL ED交直线 BC于点F,设器ALIC< IrL(1)探究发现：如图，若 m= n点E在线段AC上，则;Ur(2)数学思考:如图3 ,若点E在线段AC上，则DEDF(用含m n的代数式表示)；当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形

5、给出证明;AC= , BC= 2. , DF= 4.，请直接写出 CE的长.7.如图1,在厶ABC中，AC= n?AB CAB= ,点E, F分别在 AB AC上且EF/ BC把厶AEF绕点A顺时针旋转到如图 2的位置.连接CF, BE(1) 求证： ACF= ABE(2) 若点M N分别是EF BC的中点，当= 90°时，求证：bE+CF= 4MN;(3) 如图3,点MN分别在EEBC上且黑=磐=计，若n=, = 135° , BE2，MIi NB Z直接写出MN的长.ESlS3ECAr Br &已知：已知 Rt ABC中, AC= 90 ° , D E

6、分别是AG BC上的点，连 DE且十,如图1.(1)如图2,将 CDE绕C点旋转，连 AD BE交于H,求证：ADL BE;(2)如图3 ,当 CDE绕C点旋转过程中，当 CH= !,时，求】IAH- BH的值;(3)若CD= 1 ,当厶CDE绕C点旋转过程中，直接写出 AH的最大值是By/cDC11329.（ 1）如图1 ,在 ABC中，AB>AC点D, E分别在边 AB AC上，且 DEl BC若AD= 2,AE=-,则一的值是;2 CE （2）如图2,在（1）的条件下，将 ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD的值变化吗?若变化,请说明理由；若不变化，请求出不变的值;

7、(3)如图 3,在四边形 ABCDK ACL BC于点 C, BA(= AD=, 且 tan =CD= 6, AD= 3时，请直接写出线段 BD的长度,过点G的直线交 AB于 E,10. ABCK, D是BC的中点，点 G在AD上（点G不与A重合）交射线 AC于点 F,设 AE= XAB AF= yAC (x, y 0).(1)如图若厶ABC为等边三角形，点 G与D重合， BDE= 30°,求证： AEFDEA(3)如图如图若点G与D重合，求证：x+y= 2xy；若 AG= nGD X=一，y=,直接写出n的值.郢参考答案1.( 1)证明： PQL AB PQB= 90°,

8、 PQ= C,又 B= B, PBQ ABC(2)设 BP= X, C= 90°, AC= 3, BC= 4, AB=R. J-.WJ=J= 5,PQ BQ5,解得，PC=X, BQ=亠X,55 AQ= 5 SAAQP=×AQX PQ1X( 5 4 )X 3=×( 5 - x )×25(X -V)2 -十 -,则当BP=75:；25二时， AQF面积最大，最大值为O(3) 存在. Rt AQP Rt ACP AQ= AC Rt AQ皆 Rt BQP AQ= QB AQ= QB= AC在Rt ABC中，由勾股定理得 BC= AB- AC BC=( 2AC

9、=-X- AC,则 BC= 3AC, BC=AC m=：-：时，Rt AQF既与 Rt ACP全等，也与 Rt BQP全等.2.( 1)证明：四边形 ABCD是正方形，P与C重合， OB= OP BO= Bo= 90°, PFBG PFB= 90°, GB= 90°-/ BGO EPO= 90°-/ BGO GB= EPO)在厶BOan POE中rZGEO=ZEPO4 OB=OP ,LZBOG=ZCOE BO© POE( ASA , EP= BGBF=JLPE= 2证明：如图2,过P作PM/ AC交BG于 M）交BO于 N,D7圈2C PNE=

10、 BO= 90°, BPN= OCB OB= OC= 45 NB= NPB NB= NP MB= 90°- BMN NPE= 90°- BMN MB= NPE在厶 BMN¾A PEN,IrZMBN=ZNPE* NB=WP,LZUNB=ZPN3=9 Ofr BMIPEN( ASA , BM= PE BPE= * ACB BPN= ACB BPF= MPF PF BM BFP= MFP= 90°在厶 BPFn MPF中,Czbpf=ZnpfIPF=PF , lZPF3=ZPFH BPF MPF( ASA BF= MFBF-PE=；故答案为：+;(3

11、)解：如图3,过P作PM/ AC交BG于点M)交BO于点N,由(2)同理可得：BF=-BM MB= EPN BNI= PNE= 90°,丄' ,BMPEta n ,2BFPEtan ,OC .BNI -，在 Rt BNP中，tan 故答案为：-Itan .3.( 1)解：I AD AE分别是 ABC中 A内角的平分线和外角平分线 DAE= DAC EAC=* BA時 CAML ( BAG- CAF)=× 180 ° = 90°.2故答案为：90°.(2)证明：过点 C作CIN/ AB交AE于点N,如图1,El贝U有 HAE= ANC H

12、AE= CAE ANC= CAECA= CN CN/ AB(3)如图2,分别延长 BR AC交于点H; BAl HAF；在厶ABF与 AHF中，f ZBAF=ZHAPIZAFH=ZJFB ABF AHF(ASA , BF= HF; BHL AF, AEIAF, BH/ AE BCF EC(G ACG HCFCAG CF FH GE= AG4解：(1)如图2,四边形 ABCI是矩形， A= D= 90°, CD= AB= 2, ABF+ APB= 90 ° , BF=亦盯店=吊又 BPC= 90°, APB DPC= 90 ° , ABP= DP(C 且

13、A= D, APB DCP由 APB DCP坦翌里，即丄丄卫匚DCDPPC 2 DP PC PC= 2 r, DP= 4. BC= AD= ARDP= 5;(2)tan PEF的值不变，理由如下：如图1 ,过F作FGLAD垂足为点G A= PGF= 90°, FG= AA 2, 在 Rt APE中， 1 + 2 = 90°, 又 EPF= 90°, 3+ 2= 90°, 1 = 3. APE GFP.PF FG _2一 .PFl在 Rt EPF中，tan PEF= 2 tan PEF的值不变；由 APE GFPGP FG 2GP= 2AE= 2x,四边形

14、 ABF（是矩形. BF= AG= APFGP= 2x+1 . PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：(I) 当PB= PF时，点P在BF的垂直平分线上. BF= 2AR 即 2+1 = 2,° X =() 当 BF= BP时，2+1 =Wj5-1（川）当 BF= PF时，（2）2+22 =( 2+1) 2,1中,CDL AB X= ACD A= B+ A= 90 ° AC= B,DEL DF, EDF= CD= 90°, CDE= BDF（2）结论成立. ACB= 90°, CDLAB ACD A= B+ A= 90 ° , AC= B, DC

15、= DBF/ DEL DF, EDF= CDB= 90°, CDE= BDF DEC DFB(3 ) ACD= B, ADC= BDCCDAC1BDBC=2由(2)有， CDE BDFDEDC1DFBD=2.坐=坦=匹=丄亍丽=而盲CF= 2AE在 Rt DEF中，DE= 2 ;, DF= 4 ：爲 EF= Er-='* - -J=2 "，当 E 在线段 AC上时，在 Rt CEF, CF= 2AE= 2( AC- CE= 2( - CE , EF= 2 11,根据勾股定理得，CE+CF = E尸,CE+2 (!- CB 2 = 40 CE= 2 .或 CE=-上一

16、(舍5而 AC=! .< CE此种情况不存在， 当E在AC延长线上时，在 Rt CEF中，CF= 2AE= 2 (AGCE = 2+CE , EF=对Q,根据勾股定理得，cE+cF=E尸,CE+2 ( 口+C日2 = 40,CE=-,或 CE=- 2 口(舍)， 如图3中，当点E在CA延长线上时,CF= 2AE= 2 (CE- AC = 2 (CE-), EI,根据勾股定理得，cE+cF=EF2,CE+2 (CE . J 2=40,CE= 2 匚或 CE=-5(舍)即：CE= 2或 CE=6 解：（1）当 m= n 时，即：BC= AC ACB= 90°, A+ ABC= 90

17、°,/ CDL AB DCB ABC= 90 ° , A= DCB FDE= ADC= 90°, FDE- CDE= ADC- CDE 即 ADE= CDF ADE CDFDEAEDFDC A= DCB ADC= BDC= 90° , AD( CDBADCl=DCC = 1DEDF故答案为1(2) ACB= 90° , A+ ABC= 90°,V CDL AB DCB ABC= 90 ° , A= DCBv FDE= ADC= 90°, FDE- CDE= ADC- CDE即 ADE= CDF ADEO CDFDE

18、ADDFDrv A= DCB ADC= BDC= 90° , ADC CDBADACDCBC-m'DEnDFIn故答案为: A+ ABC= 90° ,又 V CDL AB, DCB ABC= 90 ° , A= DCBv FDE= ADC= 90° , FDE CD= ADC CDE即 ADE= CDFDEAEDFDC A= DCB ADC= BDC= 90°, ADCP CDBADACCLDCBCmDEnDFm(3)由(2)有， ADEPA CDFDEACI IDFBC-',ADAEDE1CD=CF =-,CF= 2AE在 R

19、t DEF中，DE= 2'：, DF= 4 二，. EF= Er-=-J= 2 H,当 E 在线段 AC上时，在 Rt CEF中，CF= 2AE= 2( AC- CE = 2 ( ! - CE , EF= 2 ,根据勾股定理得，CE+CF = EF,CE+2 ( H-CE 2 = 40 CE= 2 匚或 CE=-(舍5而 AC=< CE此种情况不存在， 当E在AC延长线上时，在 Rt CEF 中，CF= 2AE= 2 (AQCE = 2(. 口+CE , EF= 2 |i, 根据勾股定理得，cE+cF=EF,CE+2 ( +CB 2 = 40, CE=-LJ,或 CE=- 2 .

20、口 (舍 ),5如图4 - 1 ,当点E在CA延长线上时,CF= 2AE= 2 (CE- AC = 2 (CE-), EI,根据勾股定理得，cE+cF=EF2,CE+2 (CE . J 2=40,CE= 2 .匚或 CE=-5(舍)即：CE= 2或 CE=7.( 1)证明：由如图1中可知， EF/ BCAFAEACAFABACAEAB如图2中, CAB= EAF CAF= BAEAFACAEAB CAF BAE ACF= ABE(2)证明：延长 BE交CF的延长线于 H,连接BF,取BF的中点J ,连接NJ, JM设AC交BH于点O.S2 OC= OBA COH= BOA H= OA= 90&

21、#176;,CF BE(N= BN FJ= JB, JN/ CF, JN=丄CF, FM= ME FJ= JB, MJ/ BE MJ=丄BE/ CFL BE NJ丄 JM NJM= 90° , jN2+jM= mN,(CF) 2+ (一BB 2= MN , bE+cF= 4MN.(3)解：如图3中，延长BE交CF的延长线于H,连接BF在FB上取一点J ,使得FJ：JB= 1： 2,连接 NJ, JM.w, AE3同法可证 H= CAB= 135° ,CN BN= FJ： JB= 1: 2 ,2 NJ/ CF, NJ=二CF, FM ME= FJ： JB= 1: 2 , MJ

22、/ BE MJ=丄BE MJN MJN的外角为 135 ° , MJN= 45由题意 BE= . " , CF= 2 ,NJ=丄,MJ=如图4中，在厶NJM中,作MKL NJ于K/图斗I， J= JMQ45 MP KJ=£, NK= NJ- KJ= 1, Mr= I；=； I =&( 1)证明：如图2中，设BE交AC于0.B AC= DCE= 90°, AC= ECBACCDBCCE DAC= EBC A0= BOC AH(= BeO= 90°, ADLBEAH2HT2(2)解：如图2中，在HB上取一点T,使得HT=AH连接AT 在 R

23、t AHT中，tan ATH= tan ABC= I ATH= ABC ATH HAT= 90 °, AB(+ CAB= 90°, HAT= CAB CAH= BAT AHT ACBAjTAHABAHACACATAB CAH BATCHAHBTAT , HT= AH 设 AH= m 贝U HT= .AT= .m.Vs血 BT= .(3)解：如图3中,在 Rt AHB中， AH= AB?Sin ABH当 ABH最大时，AH的值最大，此时 CE BE DC= CEH= EHD= 90°,此时四边形 ECDHI矩形，DH= EC AD= CD= 90°,由题意 CD= 1, EC=：, AC=E DH= CEE在 Rt ACD中，AD=门：=.丄=, AH= AD+DH= -= 2'：, AH的最大值为2 O故答案为：2.1(2)的值不变化，值为-;理由如下:CE3由(1)得：DEl B, AD ABCADAEABAC由旋转的性质得： BAD= CAE