江西师大附中高二上学期期末数学试题与答案

1、江西师大附中高二上学期期末数学试题一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 已知函数/(%) = +, f(x)是/(x)的导函数，若广(勺)=12,则旺=()A. 2B. -2C ±2D 土迈2. 命题“对任意xe/?,都有xO 201站的否定是()A.对任意xwR,都有x2<2019B.不存在使得x2<2019C.存在“wR,使得对2019D.存在使得尤v 20193. 复数z = (l +，)(2 + i),则其对应复平而上的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四彖限4. 由

2、直线x = - , x = , y = 0与曲线y = cosx所I询成的封闭图形的而积为(6 6A.则下列说法正确的是()B.函数于(x)的最小值为3+丄eD函数/(x)的最小值为38.设函数/(x) = x2+/nln(l + x)有两个极值点，则实数加的取值范用是()5. 已知函数fM = e-x+x, "1,3,A函数/(x)的最大值为3 + 1 eC函数/(x)的最大值为36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数g 4 c中恰有一个偶数"正确的反设为()A. a, b, c中至少有两个偶数B. “，b, c中至少有两个偶数或都是奇数c. G b,。都是奇数D.

3、b, 都是偶数A.(1,”B.(0,g)D. (7勻9.已知函数 f(x) = ex +x2 +x+l 与 g(x) = 2 兀 _3, P、Q分别是函数/（x）、g（x）图象上的动点，则PQ的最小值为（）A. B. >/5C.空D. 2亦5510.下列命题中，真命题是（）A. 设zpz2eC,则z,+z2为实数的充要条件是石,乙2为共辅复数;B. “直线/与曲线C相切"是“直线/与曲线C只有一个公共点“的充分不必要条件;C. “若两宜线厶丄厶，则它们的斜率之积等于-1“的逆命题：D. /（“）是R上的可导函数,“若勿是/（X）的极值点，则广（心）=0“的否命题.11. 已知斤

4、，耳分别是双曲线务-右=1>0上>0）的左、右焦点,两条渐近线分别为人,心，经过右焦点竹垂直于厶的直线分别交人仏于人3两点，OA + OB=2AB,且竹在 线段AB ±,则该双曲线的离心率为（）A. B. >/2C. 2D. y/212. 已知函数/（欠）=匚（尸一2/）占甘，则/（x）在（0,乜）的单调递增区间是（）A. (0,2)B. (0,71)C. (>/2,+oo) D. (2,+oo)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)YYX13. 设函数/(x) = 观察：/1(x) = /(x) = /2« = /(/iU) = -x

5、+ x + lx + 1xx/3« = /(/2«)= =，根据以上事实，由归纳3x +14x +1推理可得：厶她(切=14.j*： J16_F(/x +J Jxdx =15已知直线/4x 3y + ll = 0和直线/2:x = -l,抛物线y2 =4x± 一动点P到直线厶和直线人的距离之和的最小值是16. 已知X/ami,?), 3xoe(O,l,使得lnx0+> + - + /n ,则实数加的取值范围2 2为三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知命题卩：函数f (x) = x3 -

6、 /nr2 +1在xel,2 ±单调递减；命题q:曲线2 2亠一一丄一=1为双曲线.m-26 ？(I) 若“且G”为真命题，求实数加的取值范围；(II) 若S或広'为真命题，5且为假命题，求实数川的取值范風18(本小题满分12分)已知函数f(x) = x3 + x-2.(I )求曲线y = fM在点(2,8)处的切线方程;(II)直线/为曲线y = /(x)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标.19.(本小题满分12分)已知直线/过点P(O,l),圆C:F +),2_6x + 8 = 0,直线/与圆C交于A,B不同两点.(I >求直线/的斜率&的取值范用

7、；(II)是否存在过点0(6,4)且垂宜平分弦A3的直线人？若存在，求直线人斜率«的值,若不存在，请说明理由.20(本小题满分12分)己知函数/(x) = ln(av + l) + - ( x>0 ),其中«>0.1 + x(I) 若/(X)在JV = 1处取得极值，求实数“的值；(II) 若f(x)的最小值为1,求实数d的取值范困.21(本小题满分12分)2 2已知椭圆C：4 + 4 = l (a>b>0)的左右焦点分别为件(一1,0八F.(LO),经过代的cr Zr直线/与椭圆C交于B两点,且厶F、AB的周长为&(I )求椭圆C的方程：(

8、II)记AAg与呵笃的面积分别为S和$2,求S.-S2的最大值.22.(本小题满分12分)已知函数/(x) = (v-2)(ln6/-lnx)(其中兀>0, «>0),记函数/(x)的导函数为 g(x) = /'(x) (I) 求函数g(x)的单调区间；(II) 是否存在实数"，使得fix) < 0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件 的实数；若不存在，请说明理由.江西师大附中高二上学期期末数学试题答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6()分.CDABD BABBC AD二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)X13

9、14. &15. 316. (Y,e-1)2019X + 1三、解答题：本大题共6小题，共70分.317.【解析】(【)若0为真命题，f,(x) = 3x2-2mx<0在xel,2恒成立，即m>-x在23"1,2恒成立,V-x在"1,2的最大值是3, -m>32若g为真命题，贝|(?一2)(6 加)>0,解得2<加<6,in > 3若“且tT为真命题，即卩，q均为真命题，所以",解得3S2V6,2 < in <6综上所述，若''"且q”为真命题，则实数加的取值范围为3,6)；

10、5分(II)若“卩或7为真命题，“p且'为假命题，即p, q真一假，in > 3当“真Q假时，：,解得77?>6,m < 2或加> 6当“假g真时，W< >解得2v?v3,2 < in < 6综上所述，实数加的取值范围为(2,3)U6,p)10分18.【解析】(I)广(x) = 3P + l,所以广=133分所以所求的切线方程为y-8 = 13(x-2),即13y 18 = 06分(II)设切点为(x0,x03 + x0-2),则/Vo)=3V+17分所以切线方程为y(如彳+勺一2)=(3x02 +l)(x-x0) 9分因为切线过原点，所

11、以2)=-兀(3血+ 1),所以2xJ=2,解得x0=-l, 11分所以/'(1) = 4,故所求切线方程为y = 4x,又因为/(一 1) = 7,切点为(-1,-4) 12分 19.【解析】(I)法1：直线1的方程为y = d + l,则I y=kx+由 x2+j2-6x+8=0 得(Zc + l)x2 +(2x-6)x+9 = 0由厶=(2&-6)2-36(疋+1)>0得-24«-36疋>0,故-二<« <0法2：直线1的方程为y = kx + ,即Ax-y + l=O,k2 + i圆心为C (3, 0),圆的半径为1则圆心到直

12、线的距离d=严 T 因为直线与有交于A.B两点，哙吕<心<5(II)假设存在直线厶垂直平分于弦AB,此时直线人过Q(6,4),C(3,0),4-043则X百3故初的斜率7由可知，不满足条件.所以，不存在直线A垂直于弦12分2。.【解析】(I)求导函数可得广心冲+声一亦V f(x)在 x = l 处取得极值，/'(1) = 0,2a-2吋r°错误味找到引用源。解得经检验，时/在兀=1处取得极小值,符合题意，所以G = 1.8分m, a>0，/. ax+>0 > x+l>0当a>2时，在区间0严)上f(x)>09 /(x)递增，/(

13、x)的最小值为/(0) = 1当0 vgv2时，由广(x)>0,解得x>:由rw<o,解得osv./(x)的单调减区间为0, 序 ,单调增区间为(,+s)10分于是，/(力在尤二处取得最小值/(</(0) = 1,不合.综上可知，若f (x)的最小值为1,则实数"的取值范用是2.+S)12分21.【解析】(I)因为片(一1,0)为椭圆C的焦点，所以c = ,由椭圆的泄义知，AfJAB的周长为(1人斤1 + 1人鬥1) + (13 斤 I + IB 的 l) = 2a + 2“ = 4d = 8,解得 a = 2,所以 b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为扌

14、+专"4分(II)设直线/的方程为x = my +11 A(xp Jj), B(x2,y2),=1整理得(3/?2 + 4)y2 + 6/nj9 = 0,则) + y2 =6m3nr +47分|S厂S2| = f迟1(|1川1儿1|)=往+儿卜磐士，当加=0时，百7|=0,631/7/1+-m2>/12 2(当且仅当m = 土半时等号成立)综上所述，|S厂S?|的最大值为f12分22.【解析】(I )= fx) = a(n«-Inx) + (ar-2)(-) = «lna-anx-a + 9xxa 2 2g'(x) =7， / A' >

15、 0 t (1 > 0 9 :. g'(x) =T V 0恒成立，XX X"gd)的单调减区间为(0,+oo),无递增区间： 4分.J.(II)解法一：由(I)知g(x)在(0,+8)上单调递减，所以g(x) = 0在(0,+s)上必存在实2 ? 数根，不妨记gCq) = 0,即aln"-"ln%-d + = 0 ,可得lnx() =na- + 旺ax0当 xe(O,xo)时,g(x) > 0,即 fx) > 0,当 xe(x0,-Ho)时，g(x)v0,即 f(x) < 0,所以/(x)在(0,兀)上单调递增，在(无,+8)上单调递减，所以/Wmax =/(Xo) = (aXo-2)(lna-lnXo), .8 分24把（#）式代入可得/Gv）max=G/x0-2）（l）= % + 4,%44依题意/（x）叭=/（x0）=砂）+4S0恒成立，又由基本不等式有（佻+4>0,%4?当且仅当。=2时等号成立，解得俶。=2,所以无=.axQa22代入"）式得,n- = na,所以二=又V«>0.所以解得（1