【新教材教案】6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册

1、【新教材】635平面向量数量积的坐标表示 教学设计（人教A版）教材分析平而向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距 离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全 章的重点之一.教学目标与核心盍养课程目标1. 学会用平面向虽数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式能根 据公式解决两个向:的夹角、垂直等问题2. 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.数学学科素养L数学抽象：数

2、量积的坐标运算：2逻辑推理：平面向疑的夹角公式，模长公式，垂直关系等；3. 数学运算：根据向疑垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等：4数拯分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数：积；5数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.教学重难点重点：平而向量数量枳的坐标表示：难点：向量数量积的坐标表示的应用.课前准冨教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。敎学过程一、情景导入前而，我们学习了：用坐标表示平而向量的加法和减法，平面向量的数量积是如何左义，向量的运算律 有哪些-那么可以用坐标表示平而向量的数量积

3、吗？如果可以，怎么表示？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察研探二、预习课本，引入新课阅读课本34-35页，思考并完成以下问题1、平面向虽数量积的坐标表示是什么？2、如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商屋，最终选出代表回答问题。三、新知探究1、两向量的数量积与两向量垂直的公式< 1)已知两个非零向： «=(xi,X2), =(x2,y2),怎样用与b的坐标表示数量积a b呢？a b =x1x2+y1y2即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和(2) “丄b <=> a b =O<=>x

4、1X2+y1y2=O2. 与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1) 若"(y), KlJ =2÷y2(2) 若 A(Xl,x2).B(x2,y2),则两点 A、B 间的距离为 AB = J(x2-x1)2 +(y2-y1)2,(3) 设,b都是非零向量,=(x5y), b (x2,y2), a与b的夹角B,则cos”=F +y,2 +>2四、典例分析、举一反三题型一平面向量数量积的坐标运算例 1 (1)向量=(l, 1)» b=(-12),贝Ij(2a+b)a=()B. 0A. -1C. 1D. 2> > >(2)在平而直角坐标系x0r中，

5、已知四边形MCZ)是平行四边形，M =(1,-2), JZ> =(2,1), J AD - AC =()B. 4A. 5C3D2【答案】(I)C (2)A.【解析】(l)l二(1, -I)M =( 1,2), .(2 + b)s二(1,0) (1 , - 1)=1.由 AC = .IB +,3 二(1, -2)+ (2.1) = (3 r - 1) f 得 AC =(2,1) (3 f - 1) = 5.解题技巧(数量积坐标运算的两条途径)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将 各向量用坐标表示，直接进行数量积运算：二是先利用数量积的运算

6、律将原式展开，再依据已知汁算.跟踪训练一IX在平面直角坐标系XoV中，正方形OABC的对角线OE的两端点坐标分别为O(0,0), 5(LI)I则曲 TC2.在平行四边形松Cz)中，AC =(l,2)t 5P =(-3,2),贝IJ AD AC =【答案】IS 12、3.【解析】1、如图所示,在正方形OABC中，J(0.1) f C(1.0)(当然两者位置可互换,不影响最终结果)，则AB > >= (1,0), AC =(1 , -1),从而肋 TC 二(1,0)(1, - I)=IXl+0x(- 1)=1.-' - 1-' 1-' H W 3 2、设AC f

7、BD相交于点O JO AD二JO十OD二矜C十刁肋二ILl丿十匚1丿二(1,2) 又AC二(1,2), . AD AC = (- 17) (1,2)= - 1+4 = 3.题型二向量的模的问题例 2(1)设平面向量 =(12), &=(一2, y), abt 则3+等于()A.5B6C.7D.26(2)已知=213, b=Q, 一3),若 a丄b,求 a+b 的坐标及a+b.【答案】(1)A (2) 十b二(8,1)或“ + b二(-4, -7), + 6 = 65.【解析】(l)l"b. ly 2( 2) = 0,解得 y 二-4 r 从而 3 + = (l,2) , 3

8、+ = 5.设 a = (x t J ) r则由H = 213 .得 X2+/ = 52.由“丄»解得2x 3>=0.由®© 解得、=4或W 4.LV/. a = (6,4)或“二(-6，- 4).a + b = (& 1)或盯十b 二(-4 . - 7) f.W + b = >/65.解题技巧：(求向量模的两种基本策略)字母表示下的运算：利用|“F二启将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算:若 a = (x , y) I 则 a a-(T-IaF=X2 +y2,于是有IaI 二 yjx2+yl.跟踪训练二1.

9、已知向 =(cos , SUI 6，向 Z>=(3, 0),则la-b的最大值为2. 已知平面向量 “=(2,4), b=( 1,2),若 c=a-(a b)bt 贝IJlCl=-【答案】1、2 + 3.2、82.【解析】1、2a b = (2cos - y3 l 2sin ) r2a - b = J(2cos - 3)2 + (2su =4cos2 - 43cos 0 + 3 十 4sf0当且仅当CoSe= - 1时，2"取最大值2 + 3.2、"二(2,4), b二( 1,2),:ab = 2×( - 1) + 42 = 6 fc = 4i - (a b

10、)b 二(2,4) - 6( 1,2)二(2,4) - (- 6,12) = (8f - 8) fICI = -J2 + ( - 8)2 = 82.题型三向量的夹角和垂宜问题15例 3 已知向Sa=(1,2). b=(-2, -4)f e=5t 若(C-Rs=了，则 与 C 的夹角为()A 30oB. 60oC 120。D 150。(2)已知向量“=(1,2), b=(2,3).若向量C满足(c+a)bt C丄(a+b),求C的坐标.【答案】(I)C. (2)c = (r -I).【解析】(I)Tmb二-2-8=-10,15:得(f - b) a - ca - ba 二 ca +10=2 I5

11、m= -Z设“与C的夹角为5me 2 丄则COSe二丽j二迈X迈二-2.VOo<180o I & =120。.设 C 的坐标为(X y)9 则 6r + c = (l +xf2+y).：(a + c)b f(l+x)×3-2×(2 + v) = 0,即 3x 2y=l.又“十 b 二(3,5),且( 十 b)丄 C t ：. 3x + 5y 二 0.联立，得方程组3x - 2V=： 1 r.3x + 5V = Of 故解题技巧（解决向量夹角问题的方法和注意事项）(1) 先利用平面向量的坐标表示求岀这两个向量的数虽:枳以及|“|0| ,再由cos &二话

12、侖求出COS 也XlX2 +J,1J,2可由坐标表示COS = L/ 直接求出CoS &由三角函数值COS 求角时，应注总角的取值范羽 * Ji、/Xm 十 JT是 0.ab(2) 由于0,利用cos&二丽来判断角&时，要注意CoS知)有两种情况：一是&是钝角，二是0二TT ； COS 40也有两种情况：一是&为锐角，二是&二0.跟踪训练三1、已知平面向量“=(3,4), b=(9, x), c=(4, y),且 ab, Q丄c.求b与c：(2)若m=2a-b, n=a+c,求向量加，“的夹角的大小.3【答案】(1)6 = (9,，e = (4

13、I -3)(2)石.【解析】W：a/7b I 3x = 4×9 r x=12.T “丄 c . '34 十牛，二0 ' y 二3,二(9,，c = (4,3).(2> = 2a b = (6,8)(9.12)二(-3 , 4),二“ + c二(3,4)+ (4. - 3) = (7,1).设M,“的夹角为O Imn-3×7 + (-4)×l则 cos = = &3卄(石 ¢+12-252= 252= - 2 3e0E3即m t n的夹角为石 题型四平面向量的数量积问题 例 4 已知点丄 B, C满3, 5C=4, ICJI

14、= 5,求 AB BC + BC - G4 + CA AB 的值.【答案】25.【解析】法一進义法如图，根据题意可得ZBC为直角三角形且 B 二2 COS J = 5 / COS C二 5 ,： AB BC + BC CA + CA .IB二 BC CA + CA AB=4×5cos( C) + 5×3cos( - A)= 20cos C 15cos A43=-20×5 - 15×5二-25.法二坐标法 -IB =(一3.0), BC =(0.4),CA =(3, 一4).45 5C=-3×0+0×4=0,BC CA =OX3+4(4

15、)= 一 16,CA AB =3x(一3)+(一4)Xo= 一9.> > .1B BC + BC CA + CA- AB =O 一 16一9 = 一25解题技巧(求平而向量数量积常用的三个方法)(1)左义法：利用左义式b二GoeOS 求解：(2)坐标法：利用坐标式ab = X1X2 +y2求解:(3)转化法：求较复杂的向蜀数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然 后进行计算.跟踪训练四1、如果正方形OABC的边长为1,点D E分别为肋，Be的中点，那么COSZDOE的值为.4【答案】5-【解析】法一：以O为坐标原点，OA t OC所在的直线分别为X轴轴建立平而直角坐标系，如图所示,G, I)则由已知条件，可得CQ二IOZ)I- OE 2 × 2. , . , ,法二：T OD 二 OA + .4D = OA + OC I. > , , ,OE = OC + CE = OC + OA ,一适一逅ODI二 2 , OEI= 2 ,OD OE 二 CU2十OC2二 1 fODOE 4'cosZDOE二 > > =5-I OD OE五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.3.5平面向量数量积的坐标表示1、两向量的数量积与两向量垂直的公式 例1例22. 与向量的模、夹角相关的三个重要公式 例