第10节群的同态基本定理

1、近世代数1第第10节节 群的同态基本定理群的同态基本定理主要内容主要内容:l 群的同态群的同态定义定义l 群的同态基本定理群的同态基本定理近世代数2 群的同态定义群的同态定义定义定义1 设设(G1, )和和( G2, )是两个群。如果存在一个从是两个群。如果存在一个从G1到到G2的映射的映射f，使得，使得 x, y G1 有有 f(x y) = f(x) f(y), 则称则称f 是是G1到到G2的一个的一个同态同态(映射映射)，而称群而称群G1 与与G2 同态同态.如果同态如果同态f是满射，则称是满射，则称f 是是G1到到G2的一个的一个满同态满同态(映映射射)，而称群，而称群G1 与与G2

2、满同态满同态，并记为，并记为G1 G2 .如果同态如果同态f是单射，则称是单射，则称f 是是G1到到G2的一个的一个单同态单同态(映映射射)，而称群，而称群G1 与与G2 单同态单同态.近世代数3群的同态性质群的同态性质定理定理1 设设(G1, )和和( G2, )是两个群。是两个群。 f是从是从G1到到G2的的同同态，则态，则 (1) f(e1)=e2 ; (2) x G1 有有 f(x)-1= f(x-1).定理定理2 设设(G1, )是一个群，是一个群，( G2, )是一个代数系。如是一个代数系。如果果存在一个从存在一个从G1到到G2的满射的满射f，使得，使得 x, y G1 有有 f(

3、x y) = f(x) f(y), 则则( G2, )是一个群是一个群.近世代数4群的同态性质群的同态性质定理定理3 设设(G1, )和和( G2, )是两个群。是两个群。 f是从是从G1到到G2的满的满同态，则同态，则G2的单位元的单位元e2的完全原象的完全原象 f -1(e2)=x | x G1， f (x)=e2是是G1的一个正规子群的一个正规子群.定义定义2 设设(G1, )和和( G2, )是两个群。是两个群。 f是从是从G1到到G2的满的满同态，同态，e2是是G2的单位元，则的单位元，则G1的正规子群的正规子群f -1(e2)称为称为同态同态f 的的核核，记为，记为Kerf。f(G

4、1)称为称为f 下下G1的同态象的同态象.显然，当显然，当 f是同态是同态(未必是满同态未必是满同态)，则，则G1 f(G1).近世代数5群的同态性质群的同态性质定理定理4 设设(G1, )和和( G2, )是两个群。是两个群。 f是从是从G1到到G2的满的满同态，则同态，则(1)如果如果H1是是G1的子群，那么的子群，那么f(H1)是是G2的子群；的子群；(2)如果如果N1是是G1的正规子群，那么的正规子群，那么f(N1)是是G2的正规子群；的正规子群；(3)如果如果H2是是G2的子群，那么的子群，那么f -1(H2)是是G1的子群；的子群；(4)如果如果N2是是G2的正规子群，那么的正规子

5、群，那么f -1(N2)是是G1的正规子群的正规子群.定理定理5 设设N是是G的正规子群，则的正规子群，则GG/N. 如果如果f是是G到到G/N的同态，则的同态，则Kerf=N. (*)近世代数6群的同态基本定理群的同态基本定理定理定理6(群的同态基本定理群的同态基本定理) 设设(G1, )和和( G2, )是两个是两个群。群。 f 是从是从G1到到G2的满同态，的满同态，E=Kerf，则，则 G1/E G2 .定理定理7 群群(G1, )到群到群(G2, )的任一满同态的任一满同态f 均可分解成均可分解成一一个自然同态个自然同态g与一个同构与一个同构h的合成，即的合成，即f=hg并且并且h是

6、唯是唯一一的的.定理定理8 设设(G1, )和和( G2, )是两个群。是两个群。 f 是从是从G1到到G2的满的满同态，同态，N2是是G2的正规子群，的正规子群， N1 =f -1(N2)，则，则 G1/ N1 G2/ N2 .近世代数7群的同态基本定理群的同态基本定理定理定理9 设设N是是G的正规子群，的正规子群，H是是G的任一子群，则的任一子群，则NH是是H的正规子群，且的正规子群，且HN/N H/(NH).例例1 设设G是一个是一个mn阶群，阶群，N是是G的一个的一个n阶正规子群，阶正规子群，m与与n互素互素. 试证：试证： N是是G的唯一的的唯一的n阶正规子群阶正规子群.近世代数8总

7、总 结结主要内容主要内容l 群的定义群的定义l 群的基本性质群的基本性质l 子群的判别定理子群的判别定理l 变换群、置换群、循环群变换群、置换群、循环群l 陪集的定义及其性质陪集的定义及其性质l 拉格朗日定理及其应用拉格朗日定理及其应用l 正规子群与商群正规子群与商群l 群的同态基本定理群的同态基本定理近世代数9基本要求基本要求l 判断或证明给定集合和运算是否构成群判断或证明给定集合和运算是否构成群l 熟悉群的基本性质熟悉群的基本性质l 能够证明能够证明G的子集构成的子集构成G的子群的子群l 熟悉熟悉n元元置换的表示方法、乘法以及置换的表示方法、乘法以及n元元置换群置换群l 会求循环群的生成元及其子群会求