2022年必修一高一数学压轴题全国汇编1附答案

1、22（本小题满分 12 分）已知 x 满意不等式2log 1x27log 1 x30 ，求 f xlog2222x logx 的最大值与最小值及相应 x 值4222. 解：由2logx) 27logx30 ， 3logx1 ， 1logx3 ，111222222而 f xlogx logxlogx2logx1422222logx 23logx2logx3 21 ，22224313当log 2 x时2f xmin此时 x= 22 = 22 ，4当 log 2 x3 时 f xmax912 ，此时 x8 4421（ 14 分）已知定义域为 r的函数（ 1）求 a 值；f x2xa2x1是奇函数（

2、2）判定并证明该函数在定义域r上的单调性；2（ 3）如对任意的 tr ，不等式2f t2t 2f 2 tk0 恒成立，求实数 k 的取值范畴；21. 解：（1）由题设，需f 01 a0,a1，f x1 2 x1 2 x体会证，f x为奇函数，a1-（ 2 分）（ 2）减函数 -（ 3 分）证明：任取x1, x2r, x1 px2,xx2x1 f 0 ，由（ 1）yf f 1 2 x21 2x122 x12x2 x2x11 2 x21 2x11 2x1 1 2x2 12q x p x ,0 p2x1p 2 x2 ,2 x12x2p 0,12x1 12x2 f 0y p 0该函数在定义域 r上是减

3、函数 -（7 分）（ 3）由2f t2t 2f 2 tk0 得f t 22t f 2t 2k ，q f x 是奇函数f t 22tf k2t 2 ，由（ 2），f x是减函数原问题转化为 t 22t f k2t 2 ，即 3t 22tk f0 对任意 tr 恒成立 -（ 10 分）412k p 0,得 k1即为所求 - -14分320、（本小题满分 10 分）已知定义在区间 1,1 上的函数f xaxb为奇函数 , 且12 .(1) 求实数 a , b 的值；1x2f 25(2) 用定义证明 : 函数f x 在区间 1,1 上是增函数；(3) 解关于 t 的不等式f t1f t0 .20、解：

4、 1 由 f xax1b 为奇函数 , 且x2f 1 2a21b 1 2225就 f 12a2bf 1 22 ，解得：5a1,b0 ；f x11221xx22 证明：在区间 1,1 上任取x1, x2 ，令 1x1x21,f x x221f x 211x1x212x2x 11x2x 12x1 x1x 121x1 12x2 21x1 122x x x2 1 22q1x1x21x1x20 , 1x1x20 ,1x1 20 ,1x2 02f x1f x2 0即 f x1f x2 故函数 f x 在区间 1,1 上是增函数 .3qf t1f t0f tf t1f 1t t1tq函数 f x 在区间 1

5、,1 上是增函数1t111t0t112故关于 t 的不等式的解集为 0,12 .21 14 分 定义在 r 上的函数 fx对任意实数a,br , 均有 fab=fa+fb成立，且当 x>1 时,fx<0，1求f12求 证 ： fx为 减 函 数 ；3当 f4=-2时 ， 解 不 等 式f x3f 5121，（ 1） 由条件得2f1=f1+f1,所以 f1=0法一：设 k 为一个大于 1 的常数， xr+，就fkx=fx+fk由于 k>1 ，所以 fk<0，且 kx>x所以 kx>x,fkx<fx对 xr+恒成立，所以fx 为 r+上的单调减函数法二：设

6、x1, x20,且x1x2 令 x2kx1, 就k1f x1 f x2 f x1f kx 2 f x1 f kf x2 f k有题知， fk<0f x1 f x2 0即f x1 f x2 所以 fx在（ 0， +）上为减函数法三： 设x1, x20,且x1x2f x1f x2 f x1 f x1x2 x1f x2 x1x21x1f x2 0 x1f x1f x2 0即fx1f x2 所以 fx在（ 0， +）上为减函数222、（本小题满分 12 分） 已知定义在 1 ，4 上的函数 fxx(i) 求 fx的最小值 gb ；(ii) 求 gb 的最大值 m；22. 解： fx=x-b2-b

7、 2+ b 的对称轴为直线x b（ b 1），4-2bx+b b 1 ，4i当 1 b4 时， gb fb -b 2+ b ;当 b 4 时， gb f4 16- 31 b ，综上所述， fx的最小值 gb 4b2b41631b441b4；b42ii当 1 b 4 时， gb -b +b -b-1 2+ 1 ，当 b 1 时， mg1 - 3 ；48644当 b 4 时， gb 16- 31 b 是减函数， gb 16- 31 × 4 -15 - 3 ，444综上所述， gb 的最大值 m= - 3 ；422、（ 12 分）设函数f xlog a x3a a0,且a1) ，当点px,

8、 y 是函数yf x图象上的点时，点qx2a,y) 是函数ygx 图象上的点 .（1） 写出函数yg x的解析式；（2） 如当 x a2, a3 时，恒有 |f xg x |,1 ，试确定 a 的取值范畴；（ 3 ） 把yg x的 图 象 向 左 平 移 a个 单 位 得 到yh x的 图 象 ， 函 数f x2a1h x a2 2h xh x a，（0, 且a1 ）在 1 ,44的最大值为 54，求 a 的值 .a22、解：（ 1）设点 q 的坐标为 x ', y ' ，就 x 'x2a, y 'y ，即xx '2a, yy '；点 p x,

9、y 在函数 ylog a x3a图象上 y 'log a x '2a3a ，即y 'log a1 g xlog a1x'axa2 由题意 x a2, a3 ，就 x3aa23a2a20 ， 110 .xaa2a2又 a0 ，且 a1， 0a1| f xgx | | loga x3alog a1| | log x2 xaa4ax3a |22 f xgx ,1 1 剟log x24ax3a 2 1a22 0a1 a22a ，就r xx4ax3a 在 a2,a3 上为增函数，函数uxlog a x4ax3a 在 a2, a3 上为减函数，从而 u xmaxu a2)

10、log a 44a ；ux minu a3) log a 96a又 0a1,就log a96a 10a ,957log a44a , 112（3）由（ 1）知g xlog a1，而把xaygx 的图象向左平移 a 个单位得到yhx 的图象，就h xlog a 1xlog a x，f x2a1h x a 2 2 h xa h x2a1 log a xa 2 2log a xalog a x2axa2 x2x即 f xa2 x22 a1x ，又 a0,且a1 ， f x 的对称轴为 x2a1 ，又在 1 ,4 2a的最大24值为 5 ，242令 2a112a4a4a20a26 舍去或a26 ；此时

11、f x 在 1 ,44上递减，f x的最大值为1f 1 5a21 2 a152a8a160a426,，此时无解；4416442令 2a148a2a101a1，又 a0, 且a1 ， 0a1 ；此时f x 在22a422 1 ,4上递增，f x 的最大值为f 4516a28a45a142，又 0a1 ，4无解；444212a1a4 a2 ,026 剟a2622令剟42 a48a22a1 0a 剠 1 或a1且a0,且a1421 剟a 22 6且a1，此时4222f x22的最大值为22f 2a15a 2 2 a12a152a15a4a10， 解 得 ：2 a44a2a44a4a25，又 1 剟a

12、26且a1 ， a25 ；综上， a 的值为 25 .210、已知定义在 r 上的偶函数f x 在 0, 上单调递增， 且f 20 ，就不等式f log 2 x0的解集为（）a 1 ,44b , 1 u 4, 4c 0, 1 u 4,4d , 1 u 0,4 411、设 a0, 1 ，就2aa ,log11a, a 22之间的大小关系是（）1111aabacadaaa 2log 1 a2 a 2log 1 aa2 log 12aaa 2 log 12aa2a12 、 函 数f xax2bxca0 ， 对 任 意 的 非 常 实 数a, b, c, m, n, p ， 关 于 x 的 方 程m

13、f x 2nf xp0 的解集不行能是（）a 1,2b 1,4c 1,2,3,4d 1,4,16,6421、（ 12 分）设函数f xlg 124xx3a ar .（1） 当 a2 时，求f x 的定义域；（2） 假如 x,1 时，f x 有意义，试确定 a 的取值范畴；（3）假如 0a1 ，求证：当 x0 时，有 2 f xf 2 x .21、解：（ 1）当 a2 时，函数xxf x 有意义， 就 1224012 x324x0 ，令 t2x不等式化为：义域为 ,02t 2t101 t1 ，转化为12 x1 22x0 ，此时函数f x 的定（2）当x1时，f x有意义，就xxxxx124 a0

14、124 a0a12 11 ，令y 11 在34 x4x2 x4 x2 xx,1 上单调递增， y6 ，就有 a 6 ；（3）当0a1, x0时，2 f xf 2 x2log 124 axx3lg 124a2 x2x3lg 122 xx3124 a，x22 x4a设 2xt ， x0 ， t1且 0a1，就12x4 x ga 23122 x42x ga t 4 a23a 2at 3t 22 a22t1t 4 a23a 22at 3t 2 2 a22t1) at12t 2at 212t120 2 f xf 2 x22（此题满分 14 分）已知幂函数f xx2k 1k kz 满意f 2 <f

15、3 ；（1）求整数 k 的值，并写出相应的函数f x 的解析式；（2）（ 2 ） 对 于 （ 1 ） 中 的 函 数f x， 试 判 断 是 否 存 在 正 数 m， 使 函 数g x1mf x2 m1x ，在区间 0,1 上的最大值为5；如存在，求出m 的值；如不存在，请说明理由；22解 :（） q f2f3 ，2k1k01k2,q kz ,k0 或 k1 ；当 k0 时，fxx2 ，当 k1 时，fxx2 ；k0 或 k1时，fxx2 （）q g x1mfx2m1xmx22m1 x1， q m0 ，q g x开口方向向下，对称轴x2m11112m2m又q g01, g x在区间，上的最大值

16、为，1102mg 115m12m526m5622m222（此题满分 14 分） 已知函数f xax 1 a0 且 a1（）如函数yf x 的图象经过p 3 , 4点，求 a 的值；（）当 a 变化时， 比较f lg1 与f 2.1 大小，并写出比较过程；（）如f lg100a100 ，求 a 的值22.（）函数 yf x 的图象经过1p3,4 a3-14 ，即 a24 .又 a10 ，所以 a2 .（）当 a1 时，f lg 1001f 2.1;当 03a3.11时，f lg 100f 2.1由于，f lg 100f 2a， f 2.1a当 a1 时，yax 在 , 上为增函数，33.1133

17、.1，aa.即f lg 100f 2.1.当 0a1时，yax 在 , 上为减函数，33.1， a 33.1a.即f lg1 f 2.1.（）由f lg a100知，alg a1100.100所以，lg alg a 12 （或 lg a1loga 100）. lg a1) lg a2. lg2 alg a20 ， lg a1 或 lg a2 ，所以， a110 或 a100.20（此题 16 分）已知函数f xlog 9 x1kx kr 是偶函数9(1) 求 k 的值；(2) 如函数yf x的图象与直线y1 xb 没有交点，求b 的取值范畴；2(3) 设 h xlog 9a 3x4 a，如函数

18、3f x与 h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范畴20 1 由于yf x为偶函数，x所以 xr,f xf x ，x即 log 991kxlog 991) kx 对于 xr 恒成立 .于是 2kxlog 9 x1log 9 x1log9 x1log 9x1x 恒成立 ,9999x9而 x 不恒为零，所以 k1 .-42x(2) 由题意知方程log 9 x11 x1 xb 即方程 log 91xb 无解 .92299令 g xlog 9 x1x ，就函数ygx 的图象与直线 yb 无交点 .x由于 gxlog 9 9x 1log 9 11x99任取 x 、 xr，且xx ，就 09x9，从而11.x121212xx于是 log 9119 x1log 9 119 x2，即 gx19 19 2g x2 ，所以 g x 在,上是单调减函数 .x由于 1191 ，所以g xlog 9110 .x9所以 b 的取值范畴是, 0 .6x(3) 由题意知方程 3x13a 3x4 a 有且只有一个实数根3令 3xt0 ，就关于 t 的方程 a1t24 at310 记为 * 有且只有一个正根 .如 a=1，就 t3 ，不合 ,舍去；4如 a1，就方程 * 的两根异号或有两相等正跟.由0a3 或 3；但 a3t1 ，