2022年抛物线及其标准方程教案

1、学习必备欢迎下载抛物线及其标准方程我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹，当 0e1 时是椭圆，当 e1 时是双曲线 那么，当 e1 时它是什么曲线呢？把一根直尺固定在图板上直线l 的位置 ( 图 819)把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘， 再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点 a，取绳长等于点 a到直角顶点 c的长( 即点 a到直线 l 的距离 ) ，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点f用铅笔尖扣着绳子，使点a到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺， 然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线从图 819 中可以看出，这条曲线上任意

2、一点p到 f 的距离与它到直线l的距离相等把图板绕点f 旋转 90，曲线就是初中见过的抛物线平面内与一个定点f 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的焦点 ，直线 l 叫做抛物线的准线 下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程如图 820，建立直角坐标系xoy，使 x 轴经过点 f 且垂直于直线 l ，垂足为 k，并使原点与线段kf的中点重合精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载设点 m(x，y) 是抛物线上任意一点，点m到l的距离为 d由

3、抛物线的定义，抛物线就是集合p=m|mf|=d 将上式两边平方并化简，得y22px(p0) 方程叫做 抛物线的标准方程 它表示的抛物线的焦点在x 轴的一条抛物线， 由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=2px，x2=2py，x2=2py这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 1 (1) 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线

4、的焦点坐标是f(0，2)，求它的标准方程线的标准方程是： x2=8y抛物线的简单几何性质我们根据抛物线的标准方程y22px(p0) 来研究它的几何性质1范围精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载因为 p0，由方程可知，这条抛物线上的点m的坐标 (x ，y) 满足不等式x0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当 x 的值增大时， |y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸2对称性以y 代 y，方程不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴

5、3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0 时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点 m与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示由抛物线的定义可知，e=1 5，焦点弦：若抛物线的焦点弦为 ab ，则；6. 若 oa 、ob是过抛物线顶点 o的两条互相垂直的弦， 则直线ab恒经过定点例 1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过解：因为抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点m(2，y2=2px(p0)因为点 m在抛物线上，所以精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

6、 - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载即p=2因此所求方程是y2=4x的范围内几个点的坐标，得描点画出抛物线的一部分， 再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(图823)在本题的画图过程中， 如果描出抛物线上更多的点， 可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载faphbq这就是标准方程中2p 的一种几何意义 (

7、图 824)利用抛物线的几何性抛物线基本特征的草图例 1、 (1) 抛物线 c:y2=4x上一点 p到点 a(3,42) 与到准线的距离和最小 , 则点 p的坐标为 _(2)抛物线c: y2=4x 上一点q 到点b(4,1) 与到焦点f 的距离和最小,则点q 的坐标为。分析： （1）a 在抛物线外，如图，连pf，则pfph，因而易发现，当 a、p、f 三点共线时，距离和最小。（2）b 在抛物线内，如图，作qrl 交于 r，则当 b、q、r 三点共线时，距离和最小。解： （1） （2，2）连 pf，当 a、p、f 三点共线时，pfapphap最小，此时af 的方程为)1(13024xy即 y=2

8、2(x-1),代入 y2=4x 得 p(2,22)，（注： 另一交点为 (2,21)，它为直线 af 与抛物线的另一交点，舍去）（2） （1 ,41）过 q 作 qrl 交于 r，当 b、q、r 三点共线时，qrbqqfbq最小，此时q点的纵坐标为1，代入 y2=4x 得 x=41， q(1 ,41) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。练习、已知抛物线y2=2x 的弦 ab 所在直线过

9、定点p(-2，0)，则弦 ab 中点的轨迹方程是直线与圆锥曲线的位置关系一，相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交， 但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交 , 但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时, 直线与

10、抛物线相交 , 也只有一个交点；（2）过双曲线1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： p点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；p点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；p在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；p为原点时不存在这样的直线；（1） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。常用知识点：1、焦半径 （圆锥曲线上的点p到焦点 f 的距离） 的计算方法 ：利

11、用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示 p到与 f所对应的准线的距离。2、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ， 且 当即为 短 轴 端 点 时 ，最 大 为；，当即为短轴端点时，的最大值为 bc；对于双曲线的焦点三角形有：；。3、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（

12、1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（ 2）设 ab为焦点弦， m 为准线与 x 轴的交点，则 amf bmf ；（3）设 ab为焦点弦， a、b在准线上的射影分别为a ，b ，若 p为 a b的中点，则 pa pb ；（4）若 ao的延长线交准线于c，则 bc平行于 x 轴，反之，若过 b点平行于 x 轴的直线交准线于c点，则 a，o ，c三点共线。4、弦长公式 ：若直线与圆锥曲线相交于两点a、b，且分别为 a、b的横坐标，则，若分别为 a、b的纵坐标，则， 若弦 ab所在直线方程设为， 则。特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算， 一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条

13、焦半径之和后，利用第二定义求解。5、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。在 椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！例 2、定长为 3 的线段 ab 的两个端点在 y=x2上移动， ab 中点为 m，求点m 到 x 轴的最短

14、距离。分析： （1）可直接利用抛物线设点，如设a(x1,x12)，b(x2，x22)，又设ab中点为 m(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于 x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）m 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ，可先考虑 m 到准线的距离，想到用定义法。解法一： 设 a(x1，x12)，b(x2，x22)，ab 中点 m(x0，y0) 则0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx由得 (x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代

15、入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9 2020041944xxy，1149)14(4944202020200 xxxxy,5192450y精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载xy0maba1a2m1m2b1b2当 4x02+1=3 即220 x时，45)(min0y此时)45,22(m法二： 如图，32222abbfafbbaamm232mm， 即23411mm，451mm， 当 ab 经过焦点 f 时取得最小值。m 到 x 轴的最短距离为45

16、【同步练习 】1、已知： f1，f2是双曲线12222byax的左、右焦点，过f1作直线交双曲线左支于点 a、b，若mab，abf2的周长为（）a、4a b、4a+m c、4a+2m d、4a-m 2、若点 p 到点 f(4,0)的距离比它到直线x+5=0 的距离小 1，则 p 点的轨迹方程是（）a、y2=-16x b、y2=-32x c、y2=16x d、y2=32x 3、已知 abc 的三边 ab、bc、ac 的长依次成等差数列，且acab，点 b、c 的坐标分别为 (-1，0)，(1，0)，则顶点 a 的轨迹方程是（）a、13422yxb、)0(13422xyxc、)0(13422xyx

17、d、)00(13422yxyx且4、过原点的椭圆的一个焦点为f(1，0)，其长轴长为 4，则椭圆中心的轨迹方程是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（）a、) 1(49)21(22xyxb、) 1(49)21(22xyxc、) 1(49)21(22xyxd、) 1(49)21(22xyx5、已知双曲线116922yx上一点 m 的横坐标为 4，则点 m 到左焦点的距离是6、抛物线 y=2x2截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是7、过双曲线 x2-y2

18、=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为8、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个，则k= 9、设点 p 是椭圆192522yx上的动点， f1，f2是椭圆的两个焦点，求sinf1pf2的最大值。10、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于 a、b 两点，且 ab 中点 m 为(-2，1)，34ab，求直线 l 的方程和椭圆方程。11、 已知直线 l 和双曲线)0, 0(12222babyax及其渐近线的交点从左到右依次为 a、b、c、d。求证：cdab。精品学习资料 可选择p d f - - -

19、- - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【参考答案 】1、c abfbfaafaf2,21212，,24,42222maabbfafaabbfaf选 c 2、c 点 p到 f 与到 x+4=0 等距离， p 点轨迹为抛物线p=8 开口向右，则方程为y2=16x，选 c 3、d 22acab，且acab点 a 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、 又 a、b、c 三点不共线， 即 y0，故选 d。4、a 设中心为 (x，y)，则另一焦点为 (2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4 得4)2() 12(122yx，

20、49)21(22yx又 ca,2) 1(22yx(x-1)2+y221) 7、y2=x+2(x2) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载yf2f1px设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab 中点 m(x ，y)，则2)(),(2,2,2212121212221222121yyxxyyxxyyxyxy20 xykkmpab，222yxy，即 y2=x+2 又弦中点在已知抛物线内p，即 y22x，即 x+22 8、4 22,8,4222ccba，令22x代入方程得

21、 8-y2=4 y2=4，y=2，弦长为 4 9、12或y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 (1-k2)x2-2kx-2=0 0012k得 4k2+8(1-k2)=0，k=21-k2=0 得 k=1 10、解： a2=25，b2=9，c2=16 设 f1、f2为左、右焦点，则f1(-4，0)f2(4，0) 设212211,pffrpfrpf则221222121)2(cos22crrrrrr2-得 2r1r2(1+cos)=4b21+cos=212212224rrbrrbr1+r2212rr，r1r2的最大值为 a21+cos的最小值为222ab，即 1+cos2518cos257，257arccos0则当2时，sin取值得最大值 1，即 sinf1pf2的最大值为 1。11、设椭圆方程为)0( 12222babyax精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载由题意： c、2c、cca2成等差数列，2