2020年高考数学专项模拟试题及答案(1)

1、2020 年高考数学专项模拟试题及答案 (1)题型一 利用归纳推理求解相关问题例 1 如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时表现的图形，其中第1 个图形用了 3 根火柴，第 2 个图形用了 9 根火柴，第 3 个图形用了18根火柴，则第2 014个图形用的火柴根数为 .破题切入点 观察图形的规律，写成代数式归纳可得 .答案 3 021 X 2 015解析 由题意，第1个图形需要火柴的根数为3X 1;第 2 个图形需要火柴的根数为 3X(1+2);第 3个图形需要火柴的根数为 3 X (1 +2+3);由此，能够推出，第n个图形需要火柴的根数为3X (1+2+3+n).所以第2 014个图形所需火柴

2、的根数为3X (1+2+3+2 014)=3X =3 021 X 2 015.题型二 利用类比推理求解相关问题例 2 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下 的是一个直角三角形，有勾股定理 c2=a2+b2. 空间中的正方体，用一平 面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若 这三个两两垂直的侧面的面积分别为 S1, S2, S3,截面面积为S,类 比平面中的结论有 .破题切入点 由平面图形中各元素到空间几何体中各元素的类比 .答案 S2=S+S+S解析 建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质 类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类

3、比推 理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中 面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质 . 所以 三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出 猜想： S2=S+S+S.总结提升 (1) 归纳推理的三个特点 归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是 未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围 ; 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需 要经过逻辑推理和实践检验，所以归纳推理不能作为数学证明的工具 ; 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想， 能够作为进一步研究的起点，协助发现问题和提出问题 .

4、(2) 类比推理的一般步骤 定类，即找出两类对象之间能够确切表述的相似特征 ； 推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从 而得出一个猜想 ; 检验，即检验猜想的准确性，要将类比推理使用于简单推理之 中，在持续的推理中提升自己的观察、归纳、类比水平 .1. 已知x>0,观察不等式x+>2=2, x+=+>3=3,，由此可得一 般结论：x+> n+1(n N*)，贝S a的值为.答案 nn解析 根据已知,续写一个不等式：x+=+>4=4,由此可得 a=nn.2. 在平面内点0是直线AB外一点，点C在直线AB上，若二入+卩, 则入+卩=1;类似地，如果点0

5、是空间内任一点，点A, B, C, D中任意 三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若 二x+y+z，则x+y+z=.答案 -1解析 在平面内,由三角形法则,得 =-, =-.因为A, B，C三点共线，所以存有实数t，使=t，即-二t(-)，所以 =-+(+1).因为二入+卩，所以入=-，卩=+1，所以入+卩=1.类似地，在空间内可得=入+卩+ n，入+卩+ n =1.因为=-，所以 x+y+z=-1.3. 观察下列各式： 55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390625,59=1 953 125，则52 014的末四位数字为 .答案 5625解析 由观察易知 55

6、的末四位数字为 3125,56 的末四位数字为 5625,57的末四位数字为 8125,58的末四位数字为 0625,59的末四位数 字为3125,故周期T=4.又因为2 014=503 X 4+2,所以52 014的末四 位数字是 5625.4. 观察下列各式： a+b=1， a2+b2=3， a3+b3=4， a4+b4=7， a5+b5=11,，则 a10+b10=.答案 123解析 记 an+bn=f(n) ，则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4; f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5

7、)+f(6)=29; f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123 ，即 a10+b10=123.5. 已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 .答案 正四面体的内切球的半径是其高的解析 设正四面体的每个面的面积是S,高是h,内切球半径为 R,由体积分割可得：SRX 4二Sh,所以 R=h.6. 观察下列等式：(1+1)=2 XI(2+1)(2+2)=22 X 1X3(3+1)(3+2)(3+3)=23 X1X3X5照此规律,第 n 个等式可为 .答案(n+1)(n+2)(n+n)=2n X

8、 1X3X-X (2n -1)解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第 n 个等式左边为(n+1)(n+2)(n+n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第 n个等 式右边为2n与n个奇数之积，即2nx 1x 3Xx (2n-1).7. (2020 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边 形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为二n2+n,记第n个 k边形数为N(n, k)(k >3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表 达式：三角形数N(n,3)=n2+n ，正方形数 N(n,4)=n2 ，五边形数 N(n,5)=n2-n ，六边形数 N(n,6)=2n2-n能

9、够推测N(n, k)的表达式，由此计算N(10,24=.答案 1 000解析 由N(n,4)=n2 , N(n,6)=2n2-n，能够推测：当k为偶数时， N(n，k)=n2+n ， N(10,24)= x 100+x 10=1 100-100=1 000.8. 两点等分单位圆时，有相对应准确关系为sin a +sin( n +a )=0;三点等分单位圆时,有相对应准确关系为 sina +sin( a +)+sin( a +)=0. 由此能够推知：四点等分单位圆时的相对应 准确关系为 .答案 sin a +sin( a +)+sin( a + n )+sin( a +)=0解析 由类比推理可知

10、，四点等分单位圆时，a 与a +n的终边 互为反向延长线，a +与 a +的终边互为反向延长线9. (2020 陕西)观察下列等式12=1，12-22=-3 ，12-22+32=6，12-22+32-42=-10 ，照此规律，第 n 个等式可为 .答案 12-22+32-42+(-1) n+1n 2=(- 1) n+1 解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第 n 个等式左边 有n项，指数都是2,且正、负相间，所以等式左边的通项为(- 1)n+1n2. 等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为 1,3,6,10,15,21,. 设此数列为 an ,则 a2-a1=2, a3-a2=

11、3, a4-a3=4, a5-a4=5,，an-an-仁n，各式相加得 an-a1=2+3+4+n,即 an=1+2+3+n二.所以第 n 个等式为 12-22+32-42+(-1)n+1 n2=(- 1)n+1.10. 如图1是一个边长为 1的正三角形,分别连结这个三角形三边 中点,将原三角形剖分成 4个三角形(如图 2) ,再分别连结图 2中一个 小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，,依此类推.设第n个图中原三角形被剖分成an个三角形，则第4个图 中最小三角形的边长为 ;a100=.答案 298解析 由三角形的生成规律得,后面的每一个图形中小三角形的 边长均等于前一个图形中小三角形边长的,即最小三角形的边长是以 1为首项，为公比的等比数列，则第 4 个图中最小三角形的边长等于1 x二，由a2-a1=a3-a2=an-an-仁3可得，数列an是首项为1,公 差为 3 的等差数列，则 a100=a1+99X 3=1+297=298.11. 观察下列不等式：1+<,1+<,1+<,照此规律,第五个不等式为 .答案 1+<解析 观察每行不等式的