CH第二型曲线积分实用实用教案

1、ABxy1) “大化大化(d hu)小小”.2) “常代变常代变”把把L分成分成(fn chn) n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1近似近似(jn s)代替代替, 则有则有所做的功为所做的功为F 沿沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkF则则用有向线段用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点上任取一点在在kykx第1页/共18页第一页，共19页。3) “近似近似(jn s)和和”4) “取极限取极限(jxin)”(其中其中(qzhng) 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)1kMkMABxyL),(kkFO第2页/共18页第二页，共19页。2. 定义

2、定义(dngy).设设 L 为为xOy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条(y tio)有向光滑有向光滑弧弧,若对若对 L 的任意分割的任意分割(fng)和在局部弧段上任意取点和在局部弧段上任意取点, 都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中其中,L 称为称为积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线 .称为称为被积函数被积函数 , 在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作记作),(yxF第3页/共18页第三页，共19

3、页。若若 为空间为空间(kngjin)曲线弧曲线弧 , 记记称为对称为对 x 的曲线的曲线(qxin)积分积分;称为称为(chn wi)对对 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记, 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地类似地, 第4页/共18页第四页，共19页。第二第二(d r)型曲线积分与曲线型曲线积分与曲线 L 的方向有关，对同一曲线，的方向有关，对同一曲线，当方向

4、当方向(fngxing)由由 A 到到 B 改为由改为由 B 到到 A 时，每一小曲线段的时，每一小曲线段的方向都改变方向都改变(gibin)，从而小曲线段的投影，从而小曲线段的投影也随之也随之改变符号，故有改变符号，故有而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的乘积，它与曲线乘积，它与曲线 L 的方向无关的方向无关. 这是两类曲线积分的这是两类曲线积分的一个重要区别一个重要区别. 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例. 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !第5页/共18页第五页，

5、共19页。定理定理(dngl):在有向光滑在有向光滑(gung hu)弧弧 L 上有定义且上有定义且L 的参数的参数(cnsh)方程为方程为则曲线积分则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),(连续连续,存在存在, 且有且有二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法第6页/共18页第六页，共19页。特殊特殊(tsh)情形情形第7页/共18页第七页，共19页。第8页/共18页第八页，共19页。例例1. 计算计算(j sun)其中其中(qzhng)L 为沿抛物线为沿抛物线解法解法(ji f)1 取取 x 为参数为参数, 则则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAO

6、Lxyxxyxxyxddd解法解法2 取取 y 为参数为参数, 则则从点从点的一段的一段. Oyx)1 , 1(B)1, 1( A第9页/共18页第九页，共19页。yxO例例2. 计算计算(j sun)其中其中(qzhng) L 为为BAaa(1) 半径半径(bnjng)为为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 A ( a , 0 )沿沿 x 轴到点轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的参数方程为的参数方程为(2) 取取 L 的方程为的方程为xyLd2则则则则第10页/共18页第十页，共19页。例例3. 计算

7、计算(j sun)其中其中(qzhng)L为为(1) 抛物线抛物线 (2) 抛物线抛物线 (3) 有向折线有向折线(zhxin) 解解: (1) 原式原式(2) 原式原式(3) 原式原式)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(11yxO第11页/共18页第十一页，共19页。1. 定义定义(dngy)LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质性质(xngzh)(1) L可分成可分成(fn chn) k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2) L 表示表示 L 的反向弧的反向弧对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结第12页/共1

8、8页第十二页，共19页。3. 计计算算(j sun)LyyxQxyxPd),(d),( 对有向光滑对有向光滑(gung hu)弧弧 对有向光滑对有向光滑(gung hu)弧弧LyyxQxyxPd),(d),(第13页/共18页第十三页，共19页。)(t)(t 对空间对空间(kngjin)有向有向光滑弧光滑弧 :第14页/共18页第十四页，共19页。O)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Cxyz1. 已知已知为折线(zhxin) ABCOA(如图), 计算提示提示(tsh):yxABddzyyBCddOAxd思考思考(sko)与练习与练习第15页/共18页第

9、十五页，共19页。2. 设曲线设曲线(qxin)C为曲面为曲面与曲面(qmin)从 O x 轴正向(zhn xin)看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分解解: (1)第16页/共18页第十六页，共19页。(2) 原式 =令利用(lyng)“偶倍奇零”第17页/共18页第十七页，共19页。感谢您的欣赏(xnshng)！第18页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结1) “大化小”.。把L分成 n 个小弧段,。(其中 为 n 个小弧段的。若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,。在有向曲线弧 L 上。称为(chn wi)对 x 的曲线积分。