灰色聚类理论及其R软件实现

1、人大经济论坛数据处理与分析中pinggu.research（§ 灰色聚类理论及其R软件实现黄放（人大经济论坛数据处理部）1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫 信息不确定性问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息己知，部分信息未知” 的“小样本”、“贫信息”不确定型系统为研究对彖，主耍通过对“部分”己知信 息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的lE确描 述和有效监控。中小企业联盟伙伴的选择过程屮，存在许多不确定性，己知条件 并不完全的情况，因此本文尝试运用灰色聚类模型解决中小企业联盟伙伴的选择 问题。

2、灰色聚类法是灰色系统一个巫要应用分支之一。灰色系统最人的优势就在丁 其克服统订概率统订的弱点，从杂乱无章，有限，离散的数据中得到有用信息。 其基本思路是：无论客观的系统如何的复杂，但终究相互关联，有序，有格体的 功能。作为系统行为的数据总是隐含着某种特征。灰色聚类法则是以灰色关联度 为基础的聚类方法。这种方法具有不要求待分析序列有某种特殊的分布、计算过 程简单、可以得到较多的信息等优点。本文从实例出发，对灰度聚类进行具体的 实例讲解（该实例是引用许云飞的论文【1】），并且最后附有R程序的全部实现。人大经济论坛数据处理与分析中pinggu.research（§

3、; 人大经济论坛数据处理与分析中pinggu.research（§ 灰色疋权聚类的步骤:第一步，设X1J (i=l,2,-,n； j= 1,2,m)为对象i关于指标j的观 测值一第二步，给出j指标匕了类门化权函数。第三步，确泄各指标的聚类权。第四步，从第 二步和第三步得出的白化权畅数、聚类权以及对象1关J： j指标的观测值xij (1=1,2,-,n： j= 1,2,m),计算出灰色定权聚类系数。第五步,若,则断定对彖i属T灰类k*» H体过程如卜:9丸2、设有分析系统氏(=1、2 m)、其特征参量序列为骂卩、*Xo-Xo = 则有实数Ci (k

4、)亠纱)=p max maxt kQ)+为骂对于Xq在第k点的关耽系数卩01是给定的数.一般取0.5则称实数Yi为&对于Xo的关联度.亠1 N人=-工纱 (2)3且全集珥值构成关联度集R卩R=( rb rz,&)*应用关联度方法处理实际问题时，X0序列常按某种耍求而建立。例如分析 某一系统的经济效益优劣，则X0序列可由Xi序列中同一性质元素中的最优者 构成(也称为理想解)；若要考察Xi序列与某一特定序列间的关联度，则可取该 特定序列为X0序列(例如多元相关分析)。为了帮助大家理解上述模教和计算过程，举一简例： 原始数据： 假如我们耍对1995年辽宁、山东、江苏、浙江、福建和广东

5、等沿海六省的交 通系统匚业企业的情况进行综合评判，原始数据见表1所示:(97中国交通 年鉴601页)表格1:示例原始数据人均工业总产 值人均工业增加 值人均利润人均所得 税辽宁36. 87657. 41441.13460. 3144山东57.826327.26601.92700. 6817江苏65.212612. 7578-0.11230. 2339浙江58. 255813. 3316-0. 45650. 2939福建12. 71704. 8123-0.70990. 0451广东572.189190. 9385-33. 55220. 7437原始数据预处理：为去掉负号，对“人均利润”指标一列全

6、部加34,得新的数据表，见表格2：表格2：示例原始数据经预处理后的值人均工业总产 值人均工业增加 值人均利润人均所得 税辽宁36. 87657. 414435.13460. 3144山东57. 826327.266035.92700. 6817江苏65. 212612. 757833. 88770. 2339浙江58.255813. 331633. 54350. 2939福建12. 71704. 812333.29010. 0451广东572.189190. 93850. 44780. 7437对本例农2的数据显然均是值越人越好的效益指标。我们采用线性变换的方法进行预处理，处理结果见表3所示表

7、格3 :经线性变换处理后的原始数据人均工业总产 值人均工业增加 值人均利润人均所得 税理想1111辽宁0. 0640.0820. 9780. 423山东0.1010.310. 917江苏0.1140.140. 9430. 315浙江0.1020.1470. 9340. 395福建0. 0220.0530. 9270. 061广东110. 0121计算离差矩阵：任表3中我们取每一列的最佳值（1）组成理想方案并把他作为基准，即xOj。然后我们用公式计算每一列的离差，得离差矩阵表4。人均工业总产 值人均工业增加 值人均利润人均所得 税辽宁0. 9360. 9180. 0220. 577山东0. 89

8、90.700. 083江苏D. 8860. 860. 0570. 685浙江0. 8980. 8530. 0660. 605福建0. 9780. 9470. 0730. 939广东000. 9880由表4可知，最大值，即公式（1）中的为0.988。计算关联系数和关联度：任上述基础上，据公式（1）和（2）就可以算出关联系数和关联度了。计算结果见表5：表格5 :关联系数和关联度计算结果表人均工 业总产 值人均工 业增加 值人均利 润人均所得 税关联度5）m辽宁0. 3450. 350. 9570.0. 5283山耒0. 35E0. 41410. 2560. 6562江苏0. 3580. 3650.

9、 8970. 4190.515浙江0. 5550. 3670. 8820. 4490. 5134福建0. 3360. 3430. 8710. 3450. 4746r东110. 33310. 83S1由表5可以看出，相对J：基准方案的关联度，由大到小的排序为广东、山东、辽 宁、浙江、江苏、福建，这表明1995年辽宁、山东、江苏、浙江、福建和广东 等沿海六省的交通系统工业企业的发展，以广东最好，山东次之，其后是辽宁、 浙江和江苏，最后是福建。在计算好关联度的基础上我们就可以进行灰色聚类分析了。实际上我们从关 联度的数值上也可以看出某种“聚类”的关系，比如说关东0.833是遥遥领先, 山东0.656

10、自成一类，辽宇0.528、浙江0.513和江苏0.51比较接近，而福建0.474 明显落在后面。但这毕竟不是定帚地计算，既缺乏椿度乂不H观，精确的分析方 法就是进行灰色聚类。下面就介绍该方法：式中的max（Ds）表示取矩阵Ds中的最大值。对矩阵Rg,显然满足：自反性:gij=l对称性:gij=gji因此，Rg是灰色相似关系矩阵。经过上述部骤，便完成了映射f： R2 Rg o1.分析原理灰色聚类分析的实质是构成下述二维空间到一维空间的映射F:卩 f : R2 T “其中的R为关联度集R(rb r2.、2、R,为评价对象的相似关系吉 由分析系统的关联度集R，可求解各元素之间的关联度差异矩降E e

11、q &21222m Ml 眾 2MM.其中5 (b j-b 2m)为X,相对于X,的差异系数:*:任：Dsq人大经济论坛数据处理与分析中pinggu.research（§ Ml挾 2如为差异距离、3djj = + Qj i (4) a: 飞Ds是-亍H扁石另亲矗不荻矩阵，由差异距离矩阵可得矩阵RaSn&21Su 宫g 也2&2m9: :g栽2Smm2、聚类分析灰色相似关系矩阵Rg反映了分析对象中各元素互相间的亲疏关系，故可以 按RgH接进行聚类。下面还是结合上例进行介绍：有上述关联度计算已得关联度集R为:(11=0.833/广东、1

12、2=0.656/山东、13=0.528/辽丫、r4=0.513/浙江、15=0.51/江苏、r6=0.474/福建)。用公式(3)可求得差异 系数矩阵Es：0.0000.2700.5780.6240.6330.7570.2120 0000 2420 2790 286 3840.3660.1950.0000.0290.0350.1 H0.3840.2180.0280.0000.0060.0820.3880 2230 0340.0060 0000 0760.4310.2770.1020.0760.071 JOO|0833 - 0.833|°，点L10 833124J|0.S33 -0.6

13、56 |其中卑系数的计算过程都一样 3內Es炉再就武（4）叫得光异跆鶴讣年Ds»0 6560.0000.4820.9441 0021 0211.1880.4820.0000.4370 4970 5090 6610.9440.4370.0000.0570.0070.2161.00310 4970.0570.0000.0120.25S1.0210.5090.0070 0120 0000 ：471.1880.6610.2160.1580.1470.0005 jIt中的差异距鬲二0+0=0, d迂二0. 27+0. 212=0. 482, tt 余 羞 异 距 离 的计 算 泣程都 样。显然

14、矩阵Dm中的最大值m-ax（DS） = l. 188,由公式（5）可得灰色 中似犬系炸* R即'1.0000.5940 2050.1520.1410.5941.0000.6320.5820.572耀=0.2050.6321.0000.9520.9420.1520.5820.9521.0000.9900.1410.5720.9420.9901.0000.0000.4440.8180.867008760.0000.4440.8180.8670.8761.000其中的1异距离dn=（X0=0, di2=0. 27+0. 212=0. 482,其余差异距离的计算 过程部一样.显然矩阵Ds中的最

15、大值max（Ds）=l. 188,由公式（5）可得灰色 相似关系矩阵R*其中亠詈7产需心，其余的计算方法都-样.“显然矩阵Rg是一主对角线为1的对称矩阵，最靠近主对角线的对角线可构 成“最大树”。即广东0.594山东0.632辽宁0.952浙江0.990江苏<0.876）福建。根据“最大树”，任取实数入e0,l,砍断权重小丁认的枝即得 到一个个互不连通的“树林”，这一个个互不连通的“树林”就构成了在入水平 上的聚类。比如我们取入为0.9,则广东和山东、山东和辽宁、江苏和福建均被砍断而辽宁、浙江和江苏则不被砍断，这就是说在0.9水平上可分为广东，山东，辽丫、浙江、江苏，福建阿类。若取入为0

16、.8,则广东和山东、山东和辽丫被砍 断，其余的仍连任一起，这就是说在0.8水平上可分为广东，山东，辽宁、浙江、 江苏、福建三类。若取入为0.6,则只有广东和山东被砍断，其余的都连在一起， 这就是说在0.6水平上6省就仅分两类，即广东fl成一类，山东，辽丫、浙江、 江苏、福建为一类，由此可以看出，在这八省中，广东是遥遥领先的。通过最大树链也可画出谱系图。谱系图可全面、淸晰地反映出齐元素聚类的情况。 谱系图的画法是:先把各参加聚类的元索按关联度由大到小的顺序在一行上画出來。按最大树上灰色相似关系值由大到小的顺序连接各元素。需耍注意的是 不管是两个还是儿个元素，也不管是通过一层还是儿层，只耍己经在某

17、 个入值上联起来，这些元素就视为已经在入水平上等价，这时有另外一 个元素耍和其中的某个元素进行联接，就等于和它们全体进行链接。按 照这样的原则可画出本例的谱系图如下：灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权换数将一些观测指标或观测 对象划分成若干个可定义类别的方法。一个聚类可以看作是屈丁同一类的观测对 象的集合。在中小企业的联盟伙伴的选择过程中，每个联盟伙伴都具有多个特征 指标，难以进行准确的分类，因此我们可以根据屮小企业的不同联盟目标应用灰 色聚类方法对联盟伙伴进行分类，从而确定企业的联盟伙伴。按聚类对象分，灰 色聚类可分为灰色关联聚类和灰色白化权两数聚类。灰色关联聚类主要用j:同类 因素的

18、归并，以使复杂系统简化。灰色白化权函数聚类主要用丁检查观测对彖是 否屈于事先设定的不同类别，以区别对待。灰色白化权函数聚类乂分为灰色变权 聚类和灰色定权聚类。灰色变权聚类适用r指标的意义、量纲皆相同的情形，当 聚类指标的意义、鼠纲不同且不同指标的观测值任数暈上悬殊较大时，宜采用灰 色定权聚类。木文将中小企业的联盟伙伴的衡最指标设计为5个，即互补性指标、 经济性指标、信任性指标、平等性指标、融合性指标。可以看出，这5个指标的 意义、最纲以及观测值都有很大的不同，适介采用灰色定权聚类，各指标权雨可以采用层次分析法确定。参考文献：1 许云飞灰色聚类分析方法介绍2 邓聚龙灰色控制系统华中理工大学出版社

19、19853 李万绪“基丁灰色关联度的聚类分析方法及其应用”系统匚程1990, 第三期4 人大经济论坛 【5】薛毅统计建模与R软件附录我们的R程序以及作出的系谱图:4卄卄*4卄*4卄*4卄*4卄d 4卄门3卄门,444/*卄44卄卄佇片f佇什片片什叶片什吁片怦片片片片片片片片片片片存片片存片片忖# Author: Huang F ang#Date:04/08/2010# #TTTTTT 什 TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTfTTTTTTTTTTTTTTTi A» "X 彩f l-f? 41

20、414114144141214141112141111141411141l头 人 5x IVidata<-read.csv(ndata.csvfheadei-F)class(data)row_names<-c(H辽宁"，”山东”，”江苏”，"浙江”，”福建"，”广东”)col_names<-c(H人均I：业总产值”,“人均业增加值”，“人均利润丁人均所得税”)data<-as.matrix(data)colnames(data)<-col_namesrornames(data)<-row_names#矩阵定 义完毕#表2：人均变

21、疋#data,3<-data,3+3411 11 J/ 11 Alli 11 Al li il 11 li tl 11 Ji 11 11 Ji 11 11 Ji 11 il Ji 11 il 11 11 11 11 11 11HUHHttHHUHHHHHHHHlJHHUlJHlTHHitllHilHHH#表3：线性变换#fdr(i in 1:4)data,i<-data,i/max(data,i)44 “ A ；4 R A 44 H A 44 “ “ A 44 “ A 44 " A 44 " A 44 “ “ A “ “ “#农 4：计算离差#fdr(i in

22、1:4)人大经济论坛数据处理与分析中inggu.researc h(data,i<-max(dataJ)-data,i并曲芬沖书沖书沖堺”芬并萍”芬附苻拜幷毎那书膀芬#表5：计算灰色关联度#datagl v matrix(0,nrow=6jicol=4)for(i in 1:6)fdr(j in 1:4)data_glij<-(max(data)-min(data)*0.5)/(data i j -min(data ,j )+(max(data)-min(data) *0.5)rornames(data_gl)<-c(,'辽宁"，

23、”山东”，"江苏”,"浙江"，”福建"，"广东”)colnames(data_gl)<-c(M人均工业总产值”,“人均匸业增加值”,“人均利润”,“人均所 得税”)data_relation<-matrix(0,iiiow=6,ncol=1)for(k in 1:6)data_relationk. 1 <-siuii(data_glk,)/4colnames(data_relation)<-c(,'关联系 数”)data_cluster<-cbmd(data_gl.data_relation) data cluster人大经济论坛数据处理与分析中pinggu.research（§ 4444 QQ4444 / 44 丄4 / 44 丄44 丄丿 / 44 丄/ 44 / 44 丄/ 44/TTrrTr7rTrTrTrTrTrTrrrTrTrrrTrT7rryTTrrrTrTr TTTTTT rrrrTT rrrrTTrrrr#6：讣算灰色聚类#data_giey< matrix(0.nrow=l