排序不等式的应用

1、排序不等式排序不等式(seque nee in equality),又称排序原理设 a1a2Lan ,bb2Lbn 为两组实数，q、sL、en 是 bb2、L、bn的任一排列，贝U aibn a2bn 1 L anbi Hi。 a2C2 L anCn aibi a2b2 L anbn (反序和 乱序和 顺序和)，当且仅当ai a2 L an或bi d L bn时，反 序和等于顺序和。排序不等式也是根本且重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用, 许多重要的不等式都可以借助排序不等式得到证明。一、排序不等式的根本应用排序不等式的结构规律简明，易于记忆，借助它可以简捷地证明一些重要的 不等式

2、，尤其是对于具有大小顺序关系且个数相同的两列数， 在考虑他们的对应 项乘积之和的大小关系时，排序不等式是一个极其有用的工具。应用排序不等式，必须取两组个数相同、便于大小排序的数，此时有两种情 形：一是知道各数的大小顺序，二是不知道各数的大小顺序，但由于不等式是对 称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序。例i设印、a2、L、an是n个互不相同的正整数，求证:a222a332On.分析：由于ai、a?、an是n个互不相同的正整数，因此它们可以进行排序；同时，观察需要证明的不等式，可以联想到ai a?、an对应的另一列数是i、厶、2ii4，由此可以联想到应用排序不等式。值得注意的是不

3、能直接假设nai a2 Lan，会影响两列数的乘积之和是顺序和、乱序和还是反序和，所以需要定义ai、a2、L、an的大小关系。证明：设bp b2、L、bn是耳、a2、L、an的一个排列，且满足 bi v b2 vv bn .2，bn因为bi b2、L、bn是互不相同的正整数，所以bi i， b2i ii又因为i歹 厂7，故由排序不等式：乱序和反序和，得：1 1a1 1 a2 22 a3 32 L1an2n1 1d 1 P 尹 d 32 Lbn An1111 2 2 3 2 L22321彳1n 21n221l +原不等式成立a£2a2a3a3ai例2设印、a2、a3都是正数，求证:ai

4、a2a3a3 ai a?1 1，应用排序不等式证明不等式。a3a2ai不妨设a1a2a3，那么aa2aa3a2a3，11 1a3a2a由排序不等式：顺序和乱序和,刁曰得：aa28283a3aaa2a2 a3a3a1a1a2a383aa?a?a3a1原不等式成立.证明:、 1aia2 a3，构a1 a2a1a3a2 a3 和例 3 设a2、L、an 是 1,2,L ，n的一个排列，求证:分析：观察需要证明的不等式，我们需要构造两组数，并且这两组的乘积可以出 现印、a“ a3，满足不等式的右端；观察不等式的左端，我们可以不妨设1 2 l n 1 更02 lan 12 3na2a3an分析：通过观察

5、，把a-i> a2丄、an 1与a2、a3、L、an分别看作两组有大小顺序的 数组，联想应用排序不等式进行证明。证明：设 0、b2、L、bn 1 是 a1>a2、L、an 1的一个排列，且 db2Lbn 1 ；C1、q、L、Cn 1 是a?、a3、L、an的一个排列，且C1c2 LCn 1 ，那么11厂L，且 bi1，b22，-，bn 1 n 1，C12，C23，-，Cn 1n .C1C2Cn 1由排序不等式：乱序和 反序和，得:a1a2a2a3an 1anbC1b2C2bn 11原不等式成立.总结：应用排序不等式证明不等式，必须构造出两列个数相等的数组， 并且要利 用数组的大小关

6、系进行解题。因此，比拟数组的大小关系是解题的根底。 灵活构 造两列数组，也是解题的关键所在。并且需要注意，在未给出数组大小关系的时 候，要不失一般性的对数组进行大小顺序的排列。二、经过是当变形后，在运用排序不等式解决问题有些需要证明的不等式并不是直接给出排序不等式的乘积之和的形式，这时就需要我们对不等式从结构上观察进行适当的变形，为使用排序不等式创造条 件。例1设a、b c为正数，求证:2 , 2 2 , 2 , 2 2c b a b b c 0 a b b c c a分析：此题通过观察发现，我们可以将不等式转化为c2a2b2a b b c c ab2b cc2的形式，进而应用排序不等式进行解

7、题。a2b2c2a b b c c ab 2 .2证明：原不等式等价于a b b c c a c2， abac乱序和，得：a2 b2b c c aa2b2a b b ca2 b2b2 c2例 2 设 0 a1 a2 Lan， 0 bb2Lbn， 5c2、L、cn 是 0、b2、L、bn 的任一排列，求证： aa2b2 L anblaa?'L a."aa2bn1 L anb,分析：通过观察发现，将结论中的指数形式转化为对数形式后， 便可应用排序不 等式，结合对数函数的单调性进而解决问题。证明：Q 0a1a2Lan，In a1In a2LIn an又 0 Db2Lbn，由排序不等

8、式：顺序和 乱序和 反序和，得:b1 In a1b2 In a2 Lbn In anCi In ajq In a2 Lcn In an bn In a1bn 1 In a2 Lbi In anIna1bla2b2Lan"Ina1Cia2°LanC1Ina1bna2bn1 Lanb1Q f x Inx x 0为单调递增函数，所以aib1a2b2Lanbhaa?。La.詁a?*1Lanbl例3设a、b c为正实数，求证:3 ab33ca b cbcacba分析：通过前面几道题的训练，我们很容易构造两个数组，应用排序不等式；但 通过计算我们发现，应用一次排序不等式后，形式进行了转

9、化，需再次运用排序 不等式并结合不等式的性质解决问题。证明：不妨设0 a b c，那么ab acbc，刁曰得：3,3a b31c，ab1 1 ac bc由排序不等式：顺序和乱序和,3.333 332 22a b ca bc abcbc ac baac abbc cab又 a2 b2 c2，a b 1由排序不等式：顺序和 乱序和，得:3 ab33 ca2b22 c2 . 2 2a b ca b cbcacbac aba b c原不等式成立.三、两次或屡次运用排序不等式，通过累加法解决问题根据排序不等式：顺序和 乱序和 反序和，我们可以发现乱序和的形式不止一种，所以我们经常利用这一点构造多个不等式

10、进行累加，从而得到所需要的不等式，这是运用排序不等式的常用策略。例1在ABC中，求证:aA bB cC _ a b c 3分析：根据三角形边和角之间的关系，并注意到aA bB cC的形式，我们很容易联想到应用排序不等式；假设注意到A B C,那么问题迎刃而解。证明：不妨设a b c，那么A B C由排序不等式：顺序和 乱序和，得：aA bB cC aA bB cC aA bB cC aC bA cBaA bB cC aB bC cA以上三式相加，得：3 aAbBcCa b cA BCa b c即aAabBcCbc3例2设a、bc都是正数，求证：2 ab2c2ia b cb cc aa b 2分

11、析：通过观察发现，我们可以构造两个数组0 a b c和 ，但它们的乘积没有出现不等式右端 a c a b0旦b c们便可通过累加法来约去每一项分母。 a bb c a c乱序和，得:证明：不妨设0 a b c， 0由排序不等式：顺序和b2b2c两式相加,得:a、b、c的形式，我b2原不等式成立.例3 切比雪夫不等式设ai、a?、L、，bi、b?、L、bn为任意两组实数，如果aia2Lanbibnaibia2b2Lanbnaia2nL anb-ib2L bnaibna2bn i L an0n，当且仅当an 或 bib2 Lbn时，等号成立。证明：先证aibia?b2nLanbnai去 L ann

12、blb2Lbnn此不等式等价于 naibia2b2Lanbnaia2L anb|b，L bnQaia2Lanbib2Lbnaibazb?Lan bn4 a a?b3 Lanba1b3a?b4 Lanb2Ma1bna2b| Lani 1由排序不等式：顺序和 乱序和，得:aiba?b2Lan baiba?b?Lan bnaiba?b2Lan baib?a?b3Lanbaiba?b2Lan baibsa?b4Lanb?Maiba?b2Lan biaibnazbiLan 0以上n个式子相加，得:n aib1a2b2Lan bnaa?Lanbib? Lbnaibia?b2Lanbnaia?Lanbib?Lbnnnn同理,由排序不等丄式:顺序和fl乱序和反序和,刁曰得：aiba?b?Lanbnaib