新湘教版九年级数学下二次函数知识点

1、2021新湘教版九年级数学下第一章二次函数一二次函数21、二次函数的概念：一般地，形如 y二ax bx c a , b, c是常数，a=0的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a =0，而b，c可以为零二次函数的定义域是全体实数.2.、二次函数y=ax2bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，x最高次数是2.a, b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二二次函数的图像和性质1、二次函数的根本形式21二次函数根本形式：y =ax的图像和性质:a的符号开口 方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(0，0)y轴x >

2、0时，y随x的增大而增大；x <0时，y随x的增大而减小；x =0时，y有最小值0 .a <0向下(0，0)y轴x > 0时，y随x的增大而减小；x <0时，y随x的增大而增大；x =0时，y有最大值0 .22 y =ax c的图像和性质：上加下减a的符号开口 方向顶点坐标对称轴性质a =0向上(0, c1 y轴x>0时，y随x的增大而增大；x < 0时，y随x的增大而减小；x =0时，y有最小值c .a <0向下(0, c1 y轴x > 0时，y随x的增大而减小；x <0时，y随x的增大而增大；x =0时，y有最大值c . 23 y =a

3、 x -h的性质左加右减a的符号开口 方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h ,0)X=hx > h时，y随x的增大而增大；x < h时，y随x的增大而减小；x =h时，y有最小值0 .a <0向下(h, 0)X=hx > h时，y随x的增大而减小；x < h时，y随x的增大而增大；x =h时，y有最大值0 .2(4)二次函数y =a X -hk的图象与性质a的符号开口 方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h, k)X=hx >h a <0时，y随x的增大而增 大；xvh时，y随x的增大而减小；x =h时，y有最小值k .a <0向下

4、(h, k)X=hx ah时，y随x的增大而减小；x <h时，y随x的增大而增大；x =h时，y有最大值k .22-3(5)二次函数y =ax2 bx c的图像与性质a的符开口顶点对称性质号方向坐标轴x A少时,y随x的增大而增大；2a(b2 、4ac b2bx =ba >0向上12ax<时，y随x的增大而减小；2a4a丿2ab亠=4ac -b2x =-时，y有最小值2a4ax<时,y随x的增大而增大；2a(b4ac -bx =b .a <0向下1 -，f2ax >时，y随x的增大而减小；12a4a 丿2ab亠=，“ 4ac -b2x =-时，y有最大值.2

5、a4a2、二次函数y =ax2 bx c图象的画法画精确图：五点绘图法(列表-描点-连线)2 2利用配方法将二次函数y =ax bx c化为顶点式y二a(x-h) k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图画草图：抓住以下几点：开口方向，对称轴，与x轴y轴的交点，顶点3、二次函数图象的平移：平移步骤：2将抛物线解析式转化成顶点式 y=a xh k，确定其顶点坐标 h，k ；保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:平移规律：在原有函数的根底上 h值正右移，负左移; 概括成八个字“左加右减，上加下减.k值正上移，负下移2 24、二次

6、函数y =a x -h 亠k与y =ax - bx - c的比拟：从解析式上看,2 2 y = a x -h 亠k与y = ax bx c是两种不同的2 表达形式，后者通过配方可以得到前者，即曇2 2一，其中h b ,"空口 4a2a4a5、求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法： y = ax2 + bx + c = a xb 2 4acb2b 4acb2b，顶点是(，-)，对称轴是x =2a4a2a 4a2a4a 配方法：将抛物线的解析式化为y = ax-hf +k的形式，得到顶点为h, k，对称轴是直线 x=h. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴

7、的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 抛物线y二ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为 0，c;6、二次函数的图象与各项系数之间的关系21 二次项系数a :二次函数y =ax bx c中，a作为二次项系数，显然 a=0a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的 a的值越大，抛物线的开口越小.2 一次项系数b :在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴的位置.在a 0的前提下：当b 0时，一：0，即抛物线的对称轴在 y轴左侧；当b =0时，一=0，2a2a即抛物线的对称轴就是 y轴；当b .0时，-一0，即抛物线对称轴在 y轴的右侧.

8、2a在a ：0的前提下：当b 0时，-一、0，即抛物线的对称轴在 y轴右侧；当b=0时，-=0，2a2a即抛物线的对称y=ax2 b称迪就最o y或向下k<09l时平移个单位，即抛物线对称轴在 y轴的左侧. 25 y=ax 2+ kab的符号的判定：对称轴 向上k>0【或下k<0】平移|k个单位向右h>0【或左h<0】平移|k|个单位2a轴左边那么ab > 0，在y轴的右侧那么ab v 0，向右h>0【或左h<0】 平移|k|个单位概括的说就是“左同右异向右h>0【或左h<0】平移|k|个单位y=a(x h)2向上k>0【或下k

9、<0】平移|k|个单位' y=ax-h2+k3常数项c :决定了抛物线与 y轴交点的位置.当C 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;当c =0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ；当c ：0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.二不共线二点确定二次函数的表达式1、用待定系数法求二次函数的解析式一般式:'一 ' _1'.图象上三点或三对：、；的值，通常选择一般式.顶点式:亠匚.图象的顶点或对称轴或抛物线上纵坐标相同的两点，通常选择顶点式交点式:y-aY T图象与.轴的交

10、点坐标，通常选择交点式.2、二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达(1)关于X轴对称:y =ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y = -ax2 - bx - c ；2y=ax-h k关于x轴对称后，得到的解析式是(2)关于y轴对称:a bx c关于y轴对称后，得到的解析式是=ax2 - bx c .2y=ax-h k关于y轴对称后，得到的解析式是(3)关于原点对称:y二ax? bx c关于原点对称后，得到的解析式是y二-ax? bx - c ；2 2y " x hk关于原点对称后，得到的解析式是-a x h -k(4)关于顶点对称即：

11、抛物线绕顶点旋转180°y =a bx c关于顶点对称后，得到的解析式是"/bx c 上2a ；2y二a x - h k关于顶点对称后，得到的解析式是2y = -a x - h j 亠 k5关于点m，n h寸称:. 2y =a xhk关于点m，n对称后,2得到的解析式是厂一处“-亦 公*根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变习惯上是先确定原抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写岀其对称抛物线的表达式.四二次函数与一元二次方程的关系2二次函数与一元二次方程的关系：函数y =ax bx c，当y = °时，得到一元二次方程ax2 bx 0，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象