数学分析曲面积分182PPT课件

1、一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 第1页/共46页其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫指定了侧的曲面叫有向曲面有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(第2页/共46页双侧曲面双侧曲面 . 1曲

2、面曲面法向量的指向法向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .第3页/共46页单侧曲面单侧曲面 . 2莫比乌斯带莫比乌斯带第4页/共46页224 图图ABCD(a)ACBD0M(b)第5页/共46页通常由 ( , )zz x y所表示的曲面都是双侧曲面, 其法 线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧, , 另一侧称为下侧. . 当 S 为封闭曲面时, ,法线方向朝外 的一侧称为外侧，另一侧称为内侧. . 习惯上把上侧 作为正侧, ,下侧作为负侧; ;又把封闭曲面的外侧作为 正侧, , 内侧作为负侧. .第6页/共46页二、第二型曲面积分的概念与计算流量问题流量问题 . 1流向曲面一侧的流

3、量流向曲面一侧的流量Avn A. cosAnvAv 第7页/共46页),( , ),( ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxv )2(流速场流速场,面面是流速场中的一有向曲是流速场中的一有向曲S,),(上上连连续续在在SzyxR),(),(zyxQzyxPS求单位时间内流经曲面求单位时间内流经曲面?的流量的流量xyzoS第8页/共46页xyzoSiS),(iii ivin1. 分割 该点的流速该点的流速则则单位法向量单位法向量,iSnS小块小块分成分成把曲面把曲面,的面积的面积表示表示iiSS ,),( iiiiS 任取任取),),( , ),( ),(iiiiiiiiiiRQPv ),

4、cos,cos,(cosiiiin .iiiSnv 第9页/共46页2. 求和 niiiiSnv1 iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyxzyziiiiiiiiniiiiiSRSQSP ),(),(),(1 3.3.取极限0|T.的精确值的精确值得到流量得到流量 第10页/共46页iiiSSyz cos iiiSSzx cos iiiSSxy cos ;值值投影区域的面积的近似投影区域的面积的近似上上的指定侧在坐标面的指定侧在坐标面yzSizxxy第11页/共46页定义定义 . 2,上的函数上的函数为定义在双侧曲面为定义在双侧曲面设设SRQP ,

5、T的一侧作分割的一侧作分割指定指定在在S,21nSSSnS个小曲面个小曲面分成分成把把, max|1的直径的直径的细度的细度分割分割iniSTT ,yziS xyiS 在三个坐标面上的投在三个坐标面上的投分别表示分别表示iS,的面积的面积,),( iiiiS 任取任取若极限若极限,的方向来确定的方向来确定它们的符号由它们的符号由iS,zxiS 影区域影区域第12页/共46页 niiiiiTyzSP10|),(lim niiiiiTxzSQ10| ),(lim niiiiiTxySR10|),(lim ,存在存在),( iii 和和), 2 , 1(ni ,的取法无关的取法无关 T且与分割且与分

6、割则称此则称此所所在曲面在曲面极限为极限为SRQP,.第二型曲面积分第二型曲面积分指定的一侧上的指定的一侧上的记为记为 SdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( SSSRdxdyQdzdxPdydz或或第13页/共46页 :注注; )1(存在条件存在条件; )2(物理意义物理意义; )3(性质性质. SRdxdyQdzdxPdydz则则的另一侧的另一侧表示曲面表示曲面若用若用 , )4(SS SRdxdyQdzdxPdydz第14页/共46页第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质: :1. 若 d dd dd d (1,2, )iiiSP y zQ z xR x

7、 y ik 存在, 1d dd dd d ,ikiiiiiScP y zQ z xR x y 111()d d()d d()d dkkkiiiiiiiiiSc Py zc Qz xc Rx y则有 第15页/共46页其 中 (1,2, ).ic ik是是常常数数2. 若曲面S是由两两无公共内点的曲 面 12,kS SS所组成, 则有 d dd dd dSP y zQ z xR x y1d dd dd d .ikiSP y zQ z xR x y第16页/共46页计算计算 . 3是定义在正则曲面是定义在正则曲面设设RxyDyxyxzzS ),( ),( :,上的连续函数上的连续函数,的侧的侧指定

8、上侧为积分曲面指定上侧为积分曲面 S则有则有,),(,),( xyDSdxdyyxzyxRdxdyzyxR则有则有如取下侧如取下侧 ,.),(,),( xyDSdxdyyxzyxRdxdyzyxR第17页/共46页|max00.iTSd的的直直径径()| |01( , , )d dlim(,)niiii xyTiSR x y zx yRS ()01lim( , (,),niiiii xydiRzS 由于 R 在 S 上连续, ()xyzD在在上连续(曲面光滑), 据 在 ( , , ( , )R x y z x y()xyD复合函数的连续性, 上也连续.由二重积分的定义, , ()max.i

9、xydS的直径的直径这里 显然有显然有 由第二型曲面积分的定义, 第18页/共46页()()01( , , ( , )d dlim( , ( ,).xyniiiii xydiDR x y z x yx yRzS :( , ) ,Sxx y z()( , )yzy zD()( , , )d d( ( , ), , )d d . (3)yzSDP x y zy zP x y zy zy z()( , , )d d( , , ( , )d d .xySDR x y zx yR x y z x yx y所以 这里 S 是取法线方向与 x轴的正向成锐角的那一 类似地, ,当 在光滑曲面 ( , , )P

10、 x y z上连续时, ,有 第19页/共46页():( , ), ( , )zxSyy z xz xD( , , )d d( , ( , ), )d d . (4)zxSDQ x y zz xQ x y z x zz x侧为正侧. .侧为正侧. 当 在光滑曲面 ( , , )Q x y z上连续时, , 有这里 S 是取法线方向与 y轴的正向成锐角的那一 第20页/共46页xyOz226图图 1S2Sd d ,Sxyz x y例1 计算 2221xyz其中 S 是球 面 的外侧( (图 22-6) ).解 曲面 S 在第一、五卦限部 分的方程分别为 22112222:1,:1.SzxySzx

11、y 0 ,0 xy部分并取球 面 在 第21页/共46页它们在 xy 平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分. 因积分是沿 12SS的的上上侧侧和和的下侧进行, 故 12d dd dd dSSSxyz x yxyz x yxyz x y()()22221d d1d dxyxyDDxyxyx yxyxyx y()2221d dxyDxyxyx y13220022dcos sin1d =.15rrr 第22页/共46页其中22ed d ,ySz xxzS例2 计算 是由曲面221,2yxzyy 与与所围立体表面的外侧. 解 曲面 123,SSSS 其中 221( , )1,1 ,Sx y xzy

12、222( , )2,2 ,Sx y xzy221:1;Dxz 其投影为第23页/共46页223( , ),12 ,Sx y yxzy112222eed dd dySDz xz xxzxz 21001edd2e.r rr 2222222eed dd dySDz xz xxzxz223:12.Dxz 其投影为222:2;Dxz 其投影为第24页/共46页2222001edd2 2e.r rr 22332222eed dd dyxzSDz xz xxzxz 22201edd2(ee).rr rr 222ed d2( 21)e.ySz xxz因此第25页/共46页如果光滑曲面 S 由参数方程给出: (

13、 , ),:( , ), ( , ).( , ),xx u vSyy u vu vDzz u v( , )( , )( , ),( , )( , )( , )y zz xx yu vu vu v 若在 D 上各点它们的函数行列式 不同时为零, 则分别有( , )d d( ( , ), ( , ), ( , )d d , (5)( , )SDy zP y zP x u v y u v z u vu vu v第26页/共46页( , )d d( ( , ), ( , ), ( , )d d , (6)( , )SDz xQ z xQ x u v y u v z u vu vu v( , )d d(

14、 ( , ), ( , ), ( , )d d , (7)( , )SDx yR x yR x u v y u v z u vu vu v注 (5),(6),(7) 三式前的正负号分别对应 S 的两个侧, 所选定的正 uvS特别当 平面的正方向对应于曲面 向一侧时, 式前取正号, 否则取负号. 3d d ,Sxy z其中 S 为椭球面 例3 计算 第27页/共46页2222221xyzabc的上半部分, 并取外侧. sincos,sinsin,cos(0, 02) .2xaybzc()3333d dsincosd d,(8)SDxy zaA 由(5)式有 解 把曲面表示为参数方程: : 第28

15、页/共46页其中2cos sinsin cos( , )sincos,( , )sin0bby zAbcc 积分是在 S 的正侧进行. 由上述的注, (8)式右端取正 ()33332d dsincossincos d dSDxy zabc 235432002sindcosd.5a bca bc 号, , 即 第29页/共46页 ,),( ),( vuvurr的方程为的方程为设正则曲面设正则曲面S则则 SdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(, ,上连续上连续在在函数函数SRQPF SndSF dudvrrrFvu)()( dudvrrrrrrrFvuvuvu)()(

16、 dudvvuyxrRvuxzrQvuzyrP),(),()(),(),()(),(),()(?第30页/共46页特殊地：),(yxzz .),( ,Dyx ., ,上连续上连续在在平面闭区域平面闭区域Dzzyx是有面积的是有面积的D则则 SdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( DyxdxdyRQzPz)(.面的定向来决定面的定向来决定右边的正负号要根据曲右边的正负号要根据曲.否则取负否则取负,取正取正,)( 和指定的曲面的侧一致和指定的曲面的侧一致如如vurr 第31页/共46页例例2 2 计算计算zdxdydydzxzS )(2, , 其中其中S是旋转抛物面是

17、旋转抛物面)(2122yxz 介于平面介于平面0 z及及2 z之间的部分的之间的部分的 下侧下侧. . S解解 Szdxdydydzxz)(2 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(4122222 xyDdxdyyxx)(21222.8 第32页/共46页三、两类曲面积分之间的联系,1cos22yxxzzz ,1cos22yxyzzz .11cos22yxzz :弦为弦为其单位法向量的方向余其单位法向量的方向余),(yxzz ,),( ,给出给出Dyx 由由设曲面设曲面S第33页/共46页四、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立 两种类型曲面积分的联系. .设 S

18、 为光滑曲面, 并以上侧为正侧, R 为 S 上的连续 函数, , 曲面积分在 S 的正侧进行. . 因而有 ()| |01( , , )d dlim(,).(9)niiii xyTiSR x y zx yRS 由曲面面积公式（第二十一章6）, 第34页/共46页()1d d ,cosi xyiSSx y iS其中 是曲面 的法线方向与 z 轴正向的交角, 它 是定义在 ()i xyS上的函数. 因为积分沿曲面正侧进行, 所以 是锐角. 又由 S 是光滑的, 所以 cos 在闭域在闭域使这点的法线方向与 z 轴正向的夹角 *i 满足等式 上连续. 应用中值定理, 在 内必存在一点, ()i x

19、yS()i xyS()*1,cosii xyiSS 第35页/共46页*()cos.i xyiiSS *()(,)(,)cos.(10)iiii xyiiiiiRSRS 或与 z 轴正向夹角的余弦, 则由 cos 的连续性, 可推 于是 现以 cosi 的法线方向 iS表示曲面在点表示曲面在点(,)iiix y z|0T时, (10)式右端极限存在. 因此由(9)式 得当 得到 第36页/共46页( , , )d d( , , )cos d.(11)SSR x y zx yR x y zS 这里注意当改变曲面的侧向时, 左边积分改变符号; cos 右边积分中角 改为 . 因而 也改变符号, (

20、 , , )d d( , , )cos d,(12)SSP x y zy zP x y zS 其中 , 分别是 S 上的法线方向与 x 轴正向和与 y 所以右边积分也相应改变了符号. . 同理可证: : ( , , )d d( , , )cosd,(13)SSQ x y zz xQ x y zS 第37页/共46页轴正向的夹角. 一般地有 cos,cos,cos 这样, 在确定了余弦函数 之后, 由 (11), (12),(13),(14) 式便建立了两种不同类型曲面积 分的联系. ()( , ),( , )xyzz x yx yD 注 当曲面由 表示, 且取上侧 ( , , )d d( ,

21、, )d d( , , )d dSP x y zy zQ x y zz x R x y zx y( , , )cos( , , )cosSP x y zQ x y z( , , )cosd .(14)R x y zS 第38页/共46页( , , )d d( , , )d d( , , )d dSP x y zy zQ x y zz x R x y zx y2222cos,cos,cos1;11yxxyxyzzzzzz () ( , , )()( , , )()( , , )d d .xyxyDP x y zzQ x y zzR x y zx y因此 上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影, 从而使计算得到简化. . 22d1d d ,xySzzx y 时, , 第39页/共46页 DSdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),( DS