初二数学寒假讲义 第5讲.梯形 教师版

1、5梯形初步满分晋级阶梯四边形3级梯形四边形2级矩形、菱形、正方形四边形1级平行四边形寒假班 第三讲寒假班 第四讲寒假班 第五讲漫画释义 找梯形知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题型目标梯形的定义、等腰梯形的性质及判定例1；演练1；例2；例3；演练2；梯形中的常见辅助线例4至6；演练3至5；例7；编写思路本讲内容主要分为两个模块，其中模块一主要为梯形的定义、等腰梯形的性质及判定，主要重点练习了和等腰梯形相关的题型，并强化了等腰梯形的性质及判定，学生尤其需要注意的是等腰梯形对角线相等这个性质，比较容易被忽视；模块二主要归纳了梯形中的常见辅助线的作法，老师可以结合班内情况重点对例6进行深入拓

2、展，本题可以用梯形中所有的做辅助线的方法，是一道经典题目； 本讲的最后一部分是2013年北京中考试题，题目难度不大，但是综合了平行四边形，勾股定理等相关知识点，综合性较强模块一 梯形的定义、等腰梯形的性质及判定知识导航定 义示 例 剖 析梯形:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形梯形中，等腰梯形:两腰相等的梯形梯形中，且直角梯形:有一个角是直角的梯形梯形中， ，相 关 概 念示 例 剖 析梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底（与位置无关）；梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做腰；梯形的高：两底间的距离叫做高等腰梯形的性质示 例 剖 析两腰相等同一底上的两个角

3、相等对角线相等 AB=DCAC=DB 判 定两腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形夯实基础【例1】 下列说法正确的是（ ）A梯形是特殊的平行四边形B等腰梯形的两底角相等C有两邻角相等的梯形是等腰梯形D有且只有一组相邻角为直角的四边形是直角梯形 如图是六个等边三角形组成的一个正六边形，请问图中共有_ 个平行四边形，_个等腰梯形 如图，在等腰梯形中，对角线， ，则如图，直角梯形ABCD中，AB/CD，CBAB，ABD是等边三角形，若AB=2，则BC=_【解析】 D； 6；6； ； 能力提升【例2】 如图，在梯形中，平分，过点作，交的延长线于点，且

4、求证：梯形是等腰梯形 若，求的长【解析】 平分又梯形是等腰梯形 由，得，且在中，【例3】 已知，如图，在ABC中，AB=AC，BEAC交AC于点E，CDAB交AB于D，求证：四边形DBCE是等腰梯形【解析】 AB=AC BEAC，CDAB=90°在BDC和CEB中BDCCEB（AAS）BD=CE，CD=BEAB=AC AD=AE在ADE中，=180°在ABC中，=180°DE/BC在ABC中，BD、CE交于一点BD与CE不平行四边形DBCE是梯形梯形DBCE是等腰梯形模块二 梯形中的常见辅助线知识导航类型图 形作 法本质典型应用与高有关过作于，过作于（简称作双高）

5、把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形面积计算与腰有关过作交于（平移一腰）把梯形转化为一个平行四边形和集中两腰、上下底之差的三角形（）梯形中四边关系过作，交延长线于（平移一腰）过作交于，交于（平移两腰）把梯形转化为两个平行四边形和一个集中两腰和上下底之差的三角形（）分别延长、 交于点（补成三角形）把梯形补全为 梯形中构造特殊三角形与对角线有关过作交延长线于（平移对角线）把梯形转化为一个平行四边形（）和一个集中两条对角线与上下底之和的三角形（）集中对角线 与腰的中点有关连接并延长交延长线于（倍长类中线）将梯形切割拼接成一个与它面积相等的三角形（）梯形的中位线证明；梯形拼接成三角形或四边形夯实基础【

6、例4】 等腰梯形中，若，则= 在梯形中，则的长度为 如图，在梯形中，点、分别是、的中点，则的长度为 【解析】 60°可平移一腰得到等边三角形可平移一腰（或延长两腰）得到含的直角三角形，用直角三角形的性质得答案 过点作、交于、（也可延长两腰，则需证明三点共线），又，【点评】 在梯形中，是两底中点的连线（），则能力提升【例5】 如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，对角线AC与BD相交于点O，BOC = 120°， AD = 2，BC = 4求等腰梯形ABCD的面积【解析】 作DEAC，交BC 延长线于E，作DFBE于F ADBC， ACED是平行四边形， DE

7、 = AC， CE = AD又梯形ABCD 是等腰梯形，AC = DB， DB = DEDBE 是等腰三角形BOC=120°，ACDE， BDE=120° DBE=DEB=30°又DFBE，BF=EF=(BC+CE)= (BC+AD)= (42)=3在Rt中， BD2 =BF2DF 2 ，DF=BD，DF= SABCD =等腰梯形ABCD的面积是【例6】 如图，在梯形中，为中点，交于点，求的长【解析】 解法一：过点作于点 ， 可得四边形为矩形 ， ， ， 又为中点， ， 在中，解法二：延长交的延长线于点 ， 四边形为平行四边形， ， ， 设，则， 解得 ，在中，

8、【点评】 此外，本题方法还有： 延长交于一点； 过点作的平行线 当然不排除还有其它方法，此题几乎囊括了梯形所有常见的辅助线作法，比较具有代表性真题赏析【例7】 如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，求证：四边形是平行四边形；若，求的长（2013北京中考）【解析】 在中，是中点.，又.H且四边形为平行四边形过作于在中， 在中，在中【分析】梯形题目掌握起来比较容易上手，学生只要熟练掌握几种常见的作辅助线的方法即可，学有余力的班级，老师可以带着学生进行下面一道题目的探究巩固本讲知识【探究】如图，在梯形中，是的中点，求证：【解析】 如图，延长交的延长线于在和中，【点评】 此题是道经典题型，老师们可

9、以在此题的基础上进行拓展和变形，比如： 将上题中的“”与“”交换位置，其它条件不变，你会证明吗？ 此题中还可以拓展为：在梯形中，是的中点；平分； 以上四个条件，除由不能推出外，由其它任意两个作条件，均可推出另两个结论，老师可适当补充思维拓展训练（选讲）训练1. 在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD于点O，AEBC，DFBC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF=（ ）A9 B10 C11 D20如图，在梯形ABCD中，DCB=90°，ABCD，AB=25，BC=24将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为_ 【解析】 B ；30(提示：作

10、高运用勾股定理求边 )训练2. 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，BDDC，C=60°，AD=4，BC=6，求AB的长【解析】 过点A作AEBD，垂足为EBDDC，C=60°，BC=6，1=30°，CD=3， AD/BC，2=1=30°AEBD，AD=4， 训练3. 如图，在ABC中，且，点F在AC延长线上，且求证：四边形ADEF是等腰梯形【解析】 连接，过点作于点， 易知四边形为矩形，又四边形为平行四边形又四边形是等腰梯形训练4. 在梯形ABCD中，AD/BC，E为的中点，EF/AB交于点求证：；当，且平分时，求的长【解析】 延长交的延长线于， ，四

11、边形是平行四边形 实战演练知识模块一 梯形的定义、等腰梯形的性质及判定 课后演练【演练1】 如图，等腰梯形中，对角线平分，则梯形的面积为_ 若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长是（ ）A 21 B29 C21或29 D21或22或29 【解析】 ；B分析：很多学生会错选D，这种题型要确定梯形的腰与底，为此需分类讨论，解题的关键是，给出四条线段要构成梯形需满足一定的条件如下图，需满足： (利用三边关系)【演练2】 如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为，下底长为，腰长为，这样的纸片共有张打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的

12、示意图，并写出它们的周长 【解析】 如图：知识模块二 梯形中的常见辅助线 课后演练【演练3】 如图，在等腰梯形中，已知，延长到，使 写出图中所有与全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由； 探究当等腰梯形的高是多少时，对角线与互相垂直？请回答并说明理由【解析】 ，； 的理由是：又， 或的理由是：又四边形是等腰梯形，又， 当等腰梯形的高为时，对角线与互相垂直 理由是：设与的交点为点，四边形是等腰梯形，又，四边形是平行四边形， ，则又，又，即【演练4】 已知：如图，在梯形中，求的度数及的长【解析】 解法一：过点作交于点 ，四边形是平行四边形，可证是直角三角形，是等边三角形，在中， 解法二： 分别

13、作，、是垂足，四边形是矩形，在中，由勾股定理，得， 【点评】 此题的方法二中用到了：如果一个直角三角形一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°，这个定理可以让学生了解一下，到初三学习三角函数后就能直接用了，所以建议老师以第一种方法为主 另外可以总结有关梯形的一个规律：如果一个等腰梯形有一底边等于另一底与一腰的和，则该底边的两底角为60°（可用平移一腰来证明）【演练5】 在等腰梯形中， 如图1，若，梯形的高为，求梯形的周长； 如图2，若，求证： 【解析】 解：分别过、作于，于四边形为等腰梯形， 证明：过作交延长线于四边形为平行四边形，感恩地活着史蒂文斯失业了，一

14、切来得那么突然。一个程序员，在软件公司干了年，他一直以为将在这里做到退休，然后拿着优厚的退休金颐养天年。然而，这一年公司倒闭。史蒂文斯的第三个儿子刚刚降生，他感谢上帝的恩赐，同时意识到，重新工作迫在眉睫。作为丈夫和父亲，自己存在的最大意义，就是让妻子和孩子们过得更好。他的生活开始凌乱不堪，每天的工作就是找工作。一个月过去了，他没找到工作。除了编程，他一无所长。终于，他在报上看到一家软件公司要招聘程序员，待遇不错。史蒂文斯揣着资料，满怀希望地赶到公司。应聘的人数超乎想像，很明显，竞争将会异常激烈。经过简单交谈，公司通知他一个星期后参加笔试。凭着过硬的专业知识，笔试中，史蒂文斯轻松过关，两天后面试。他对自己年的工作经验无比自信，坚信面试不会有太大的麻烦。然而，考官的问题是关于软件业未来的发展方向，这些问题，他竟从未认真思考过。史蒂文斯觉得公司对软件业的理解，令他耳目一新，虽然应聘失败，可他感觉收获不小，有必要给公司写封信，以表感谢之情。于是立即提笔写道：“贵公司花费人力、物力，为我提供了笔试、面试的机会。虽然落聘，但通过应聘使我大长见识，获益匪浅。感谢你们为之付出的劳动，谢谢！”这是一封