Lagrange插值学习教案

1、会计学1Lagrange插值插值第一页，共30页。这就是这就是(jish)本章要讨论的本章要讨论的“插值问插值问题题”例例第1页/共30页第二页，共30页。 当精确函数当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在区间非常复杂或未知时，在区间a, b上一系列节点上一系列节点 x0 xm 处测得函数值处测得函数值 y0 = f(x0), , ym = f ( x m ) ， 由 此 构 造， 由 此 构 造 ( g u z o ) 一 个 简 单 易 算 的一 个 简 单 易 算 的近 似 函 数近 似 函 数 g ( x ) f ( x ) ， 满 足 条 件， 满 足 条 件 g(xj)

2、 = f(xj) (j = 0, , m) (*)这个问题称为这个问题称为“插值问题插值问题”。一、插值问题一、插值问题(wnt)(wnt)这里的这里的 g(x) 称为称为(chn wi)f(x) 的插值函数的插值函数。节点节点 x0 xm称为插值节点称为插值节点, 条件条件(*)称为称为插值条件插值条件，区间，区间a, b称为称为插值区间插值区间。定义定义1第2页/共30页第三页，共30页。x0 x1x2x3x4 xf(x)g(x)第3页/共30页第四页，共30页。代数代数(dish)多项式多项式用代数用代数(dish)(dish)多项式作插值函数的插值称为代数多项式作插值函数的插值称为代数

3、(dish)(dish)插值插值本章主要讨论的内容本章主要讨论的内容插值函数的类型有很多种插值函数的类型有很多种插值问题插值问题插值法插值法插值函数插值函数第4页/共30页第五页，共30页。代数代数(dish)插值插值第5页/共30页第六页，共30页。二、代数插值问题解的存在二、代数插值问题解的存在(cnzi)(cnzi)惟一性惟一性nnnxaxaaxp10)(令令只要证明只要证明pn(x)的系数的系数 a0 ,a1, an 存在存在(cnzi)唯一即可唯一即可,给定区间给定区间a, b上互异的上互异的n+1个点个点 的一组函的一组函数数值值 f (xj)，j = 0,n , 求一个求一个n次

4、多项式次多项式 pn(x)Pn, 使使得得njjx0., 1 , 0, )()(njjjnxfxp为此由插值条件知为此由插值条件知 pn(x)的系数的系数(xsh)满足下列满足下列n+1个个代数方程构成的线性方程组代数方程构成的线性方程组 : )()()(101111000010nnnnnnnnnxfxaxaaxfxaxaaxfxaxaa第6页/共30页第七页，共30页。而而ai (i=0,1, 2, n)ai (i=0,1, 2, n)的系数的系数(xsh)(xsh)行列式是行列式是VandermondeVandermonde行列式行列式由于由于(yuy) xi (yuy) xi 互异，所以

5、上式右端不为零互异，所以上式右端不为零，从而方程组的解，从而方程组的解 a0 ,a1 ,an a0 ,a1 ,an 存在且唯一。存在且唯一。nnnnnnnxxxxxxxxxxxxV21211020010111),(niijjixx110)(第7页/共30页第八页，共30页。为此为此(wi c)我们必须从我们必须从其它途径来求其它途径来求 pn(x)：不通过求解方程组而获得不通过求解方程组而获得插值多项式。插值多项式。通过解上述方程组求得插值多项式通过解上述方程组求得插值多项式pn(x)的方的方法并不可取法并不可取(kq)。 这是因为当这是因为当n较大时解方程组的较大时解方程组的计计算量较大，而

6、且方程组系数矩阵的条件数一般算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大（可能是病态方程组）较大（可能是病态方程组）, 当阶数当阶数n越高时，越高时，病态越重。病态越重。第8页/共30页第九页，共30页。基本思想：基本思想：在在n 次多项式空间次多项式空间Pn 中找一组合适中找一组合适(hsh)的基的基函数函数0(x), 1(x), , 3(x), 使使不同的基函数不同的基函数(hnsh)(hnsh)的选取导致不同的插值方法的选取导致不同的插值方法Lagrange插值插值Newton插值插值)()()()(1100 xaxaxaxpnnn三、插值多项式的构造方法三、插值多项式的构造方法知识点一

7、知识点一第9页/共30页第十页，共30页。n = 1可见可见(kjin) P1(x) 是过是过 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 两点的两点的直线。直线。)()(0010101xxxxyyyxP 101xxxx 010 xxxx = y0 + y1l0(x)l1(x) 10)(iiiyxl2 Lagrange插值插值求求 n 次多项式次多项式 使得使得nnnxaxaaxP 10)( ),0,1,niiP xy in已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求求101( )P xaa x100111(),()P xyP xy使得第10页/共30页第十一页，共30页。011

8、101110()()()()() ( )()()()()()jjnjjjjjjjjnniijiijxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxx与节点有关与节点有关(yugun)，而与，而与f 无关无关这里每个这里每个lj(x)lj(x)都是都是n n次多项式，且容易次多项式，且容易(rngy)(rngy)验证验证lj(x)lj(x)满足满足j =0,1,=0,1,，njijixlij, 1, 0)(知识点二知识点二第11页/共30页第十二页，共30页。n = 1n = 2第12页/共30页第十三页，共30页。0010000011111101( )( )( )( )( )( )( )(

9、)( )( )( )( )nnnnnnnnl xl xl xcf xl xl xl xcf xl xl xl xcf x 可以可以(ky)(ky)证明函数组证明函数组l0(x)l0(x)，l1(x)l1(x)，, , ln(x) ln(x) 在插值区间在插值区间a,ba,b上线性无关，所以这上线性无关，所以这n+1n+1个函数可作为个函数可作为PnPn的一组基函数，称为的一组基函数，称为LagrangeLagrange插值基函数插值基函数第13页/共30页第十四页，共30页。0011()100()010()001nncfxcfxcfx 由由LagrangeLagrange插值基函数插值基函数(

10、hnsh)(hnsh)满足满足 ，方程组变成，方程组变成因此因此(ync)(ync)得到插值多项式得到插值多项式Ln(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+ f(xn) ln(x)Ln(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+ f(xn) ln(x)记为记为Ln(x) f( (xj) )lj( (x) )称称L Ln( (x) )为为n次次Lagrange插值多项式插值多项式jijixlij, 1, 0)(知识点三知识点三第14页/共30页第十五页，共30页。二、二、插值余项插值余项 /* Remainder */(1)0( )( )( )( )()(1)!nnn

11、niifR xf xL xxxnRolles Theorem的推论的推论: 若若 充分光滑，且充分光滑，且0)()(0 nxx 存在存在),(ba 使得使得0)()( n)(x 定理定理(dngl)1 若若在在a , b内存在内存在, 则在则在a , b上上的的n+1个互异的点，对个互异的点，对 f（x)所作的所作的n次次Lagrange插值多项式插值多项式Ln (x) 有误差估计有误差估计 )()1(xfn第15页/共30页第十六页，共30页。 由于由于(yuy)Rn(xi) 0 ，i=0,1,，n( )()(0nRxxu xxnii任意任意(rny)固定固定 x xi (i = 0, ,

12、n), 考察考察 (t)有有 n+2 个不同个不同(b tn)的根的根 x0 xn x(1)( )( )(1)!nfu xnniinxtxutRt0)()()()(niinxtxutLtf0)()()()(),(, 0)()1(baxxn证明证明第16页/共30页第十七页，共30页。已知已知233sin,214sin,216sin 分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50， 并估计并估计(gj)误差。误差。 n = 1分别利用分别利用x0, x1 以及以及(yj) x1, x2 计算计算4,610 xx利用利用216/4/6/214/

13、6/4/)(1 xxxL015sin 50()0.7761418L(2)1()13( )()(),sin2!6422xxfR xxx150.01319()0.0076218R 例例1解解第17页/共30页第十八页，共30页。sin 50 = 0.7660444利用利用x0, x1 作为作为(zuwi)插值节点的实际误差插值节点的实际误差 0.010013,421 xx利用利用 计算计算(j sun)得：得：sin 50 0.76008, 150.005380.0066018R利用利用x1, x2作为插值节点作为插值节点(ji din)的实际误差的实际误差 0.00596第18页/共30页第十九

14、页，共30页。n = 24363264634643643634()()()()11( )()()2()()2()()3()()2xxxxL xxx23cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 xxxxxxR 250.000440.0007718Rsin 50 = 0.76604442次插值的实际次插值的实际(shj)误差误差 0.00061025sin 50()0.7654318L第19页/共30页第二十页，共30页。0)(xRn特殊地特殊地: 有有kxxf)(1)(0njjxlknjjkjxxlx0)(关于关于(guny)Langrange插值的几点说明插值的几点说明 仅与已知数据仅与

15、已知数据 有关有关，与与 的原来形式无关，但余式与的原来形式无关，但余式与 密切密切相关。相关。)(xLn), 1 , 0(),(niyxii)(xf)(xf(1)()(xfxLn即即若若 本身是一个不超过本身是一个不超过n次的多项式，则次的多项式，则)(xf(2)第20页/共30页第二十一页，共30页。从从 角度观角度观察，察，内插误差要小些，即内插误差要小些，即x 位于位于x0, x1, , xn之间。之间。而外插有可能误差变大，因此要慎用。而外插有可能误差变大，因此要慎用。)()()(10nxxxxxxx(3)Langrange插值也有其不足插值也有其不足为了提高精度有时需增加结点，但这

16、时原来求为了提高精度有时需增加结点，但这时原来求的的 全改变全改变, 也就是原来的数据不能利用也就是原来的数据不能利用, 浪浪费费资源；资源；)(xlj(4)第21页/共30页第二十二页，共30页。 用拉格朗日插值多项式用拉格朗日插值多项式Ln(x) 计算函数计算函数近 似 值 ， 如 精 度 不 满 足 要 求 需 增 加 插 值 节近 似 值 ， 如 精 度 不 满 足 要 求 需 增 加 插 值 节点 时 ， 原 来 算 出 的 数 据 均 不 能 利 用 ， 必 须点 时 ， 原 来 算 出 的 数 据 均 不 能 利 用 ， 必 须重新计算。为克服这缺点，通常重新计算。为克服这缺点，

17、通常(tngchng)可用可用逐次逐次线 性 插 值 方 法 求 得 高 次 插 值 。线 性 插 值 方 法 求 得 高 次 插 值 。第22页/共30页第二十三页，共30页。取取sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487，用线性插值计算，用线性插值计算(j sun)：)3367. 0()3367. 0(3367. 0sin0010101xxxyyyL330365. 00167. 002. 001892. 0314567. 0其截断误差为：其截断误差为：51092. 00033. 00167. 03335. 021|2)(|)(|max| )3367. 0(|1010

18、1xxxxxfRxxx 例例2解解第23页/共30页第二十四页，共30页。取取sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274,用线性插值计算用线性插值计算(j sun)：其截断误差为：其截断误差为：)3367. 0()3367. 0(3367. 0sin1121211xxxyyyL330387. 0)0033. 0(02. 0018787. 0333487. 0|2)(|)(|max| )3367. 0(|21201xxxxxfRxxx 51036. 10233. 00033. 03523. 021第24页/共30页第二十五页，共30页。取取sin0.32=0.314567

19、,sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274,用抛物线插值计算用抛物线插值计算(j sun)：其截断误差为：其截断误差为：)3367. 0(3367. 0sin2L0201021)()(yxxxxxxxx1210120)()(yxxxxxxxx2120210)()(yxxxxxxxx=0.330374 |6)()(|)(|max| )3367. 0(|210202xxxxxxxfRxxx 610178. 0第25页/共30页第二十六页，共30页。)3367. 0(2L)32. 03367. 0(32. 036. 0)3367. 0()3367. 0()3367. 0(111LLL)3367. 0(1L)3367. 0(1L)3367. 0(2L 是三节点抛物线插值计算的，它也可由 和 按类似线性插值的方法计算，即第26页/共30页第二十七页，共30页。一般情况一般情况(qngkung)，两个，两个k 次插值多项式次插值多项式可通过线性可通过线性插值得到插值得