二次根式的基本定义

1、知识占八、【知识要点】 二次根式的定义:形如:- 11的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当注意理解：是一个非负数时，丄：才有意义.1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从化简结果上判断，如都是二次根式。2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的。、4、形如 b 佝a 二的式子也是二次根式，b与是相乘关系，当 b是分数时，写成假分数。5、式子I "（a止1 表示的是非负数。6、 ；i+b（a止和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。二次根式定义: （填序号变式练习：【例1】下列

2、各式Jx2 +2, 4）丽,5）屮1）2,6）/,7） Ja2 2a+1，其中是二次根式的是1、下列各式中，一定是二次根式的是（）D、 a B、 -10 c、 a 1 D、2、在石、Ja2b、丿x +1、J +x2、3中是二次根式的个数有3、下列的式子一定是二次根式的是（C.4、式子：I JI丨':、1 'I -:丘打-I ;I中是二次根十：式的代号为（A.B.CD.例 2】若 '11是正整数，最小的整数 门是（ ）A. 6B. 3C. 48D. 2变式练习:1、已知：汁是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（A. 0B. 1C. 2D. 52、二次根式是一个整数，那么

3、正整数 a最小值是.1、 二次根式具有双重非负性。 : 1 ( 1 ' - 02、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母 不为0.3、 如果式子中含有零指数幕或负整数指数幕，有意义的条件是，度数不为0./2x 4-1【例3】式子，|有意义的x的取值范围是变式练习：1、 使代数式X -3有意义的x的取值范围是()X4A、x>3B、x> 3C、x>4D、x> 3 且 x 工 42、 使代数式、.x2 2x -1有意义的x的取值范围是13、 如果代数式. - m 有意义，那么，直角坐标系中点P ( m， n

4、)的位置在().mnA、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 4】若 y= X 5 + . 5 X +2009，则 x+y=变式练习：1、 若.x -1 - 1 -x(x y)，则 x -y 的值为()A1B. 1C. 2D. 32、 若x、y都是实数，且y= - 2x -33 -2x 4，求xy的值3、当a取什么值时，代数式 2a 11取值最小，并求岀这个最小值。4、 若实数 a、b、c满足" +|a+b| V “ +'，则 2a-3b+c2 的值为.J界 一 9 + J-F +。5、已知讨=，求2x+y的算术平方根.二次根式整数部分小数部分：已知a是.5整数部

5、分，b是.5的小数部分，求 a的值。b+21、若 3的整数部分是a，小数部分是b9 3a - b二。2 1x 2、 若,17的整数部分为x，小数部分为y,求y的值.二次根式性质：1. 非负性： a(a - 0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. ( a)2 =aa 0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a=( a)2(a_0)3护羽屮：旳-a(a cO)注意：(1)字母不一定是正数.(2) 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3) 可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果

6、因式的值是负的，应把负号留在根号外.2fa(a _ 0) 24.公式- a2 a与(.a)2=：aa 0)的区别与联系_a(a 龙0)(1) . a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2) (i a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.(3) 、., a2和(、a)2的运算结果都是非负的.例 5】若 a -2| + Jb -3 +(c-4 ) =0,则 a_b + c =.变式练习： 21、若.m -3 (n，1)= 0 ,则 m n的值为。 22、已知x,y为实数，且、x-1,3y-20，则xy的值为()A. 3 B.- 3C. 1 D.- 13、 已知直角三角

7、形两边 x、y的长满足| x 4丨+ ； y 5y 6 = 0，则第三边长为.20054、若例6】如果电匕=2?x，那么x取值范围是(A. x<2B. xv 2C. x>2D. x>2例7】化简二次根式 a2的结果是a(A)、.-a -2 (B) - a -2 (C) . a - 2 (D) - a -2变式练习:1、把二次根式a -化简，正确的结果是()A.B. _ -aC. 、aD.aab V与.a 2b 4互为相反数，则abX + 16的结果为2x-5，则3、若化简I 1 二2、已知 0vav 1，化简 J； I .' ' + .1 <x的取值范围

8、是()A、任意实数 B、1丄丫二C、x二I D、x 4、若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简 I 二I匸；？|b?c|=.5、已知：实数a, b在数轴上的位置如图所示，化简： ；：+2+1 : -|a-b| .6、 已知，I； 一 1二求八、 W J1 ' 的值。最简二次根式：(1) 最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式，(被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数 2，都是1)；分母中不含根号.化最简根式时注意：(1 )被开方数是带分数的要化成假分数。(2) 被开方数学是小数的要化成分数。(3) 被开方数中含有能开方的多项式时，

9、要先因式分解再开方。同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根 式。【例7】在根式1) .a2 b2;2)-xy;4) J27 abc，最简二次根式是()A. 1)2)B. 3)4)C. 1)3)D. 1)4)2、下列根式中，不是.最简二次根式的是()D.A.7B.3C.13、下列根式不是最简二次根式的是()A.、a2 1B.、,2x 1,2bC. 4D. . 0.1y.8 B. . 27 C.2、5 D.例 8】下列根式中能与 ,3是合并的是()A.【例9】将a J 匚根号外的因式移入根号内的结果是练习：化简：孑，£0.72, J32加y'（y<0）?，血5<? + 50说分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确 定方法如下：单项二次根式：利用a匕a二a来确定，如：玄与、a ， 、a b与 . a b， . a -b与a -b等分别互为有理化因式两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a b与a -vb，'一 a