数形结合在高中数学中应用

1、数形结合在高中数学中应用数形结合思想是中国古代数学四大数学思想之一， 它体现的不仅是简单的一种解题思路，而是代表了一个时期 数学发展的最高成果；经过了几代数学家的努力，这种思想 和教学原则已经广泛运用于中学数学的教学当中本文先讲 述了数形结合的内涵和重要性，接着从“以数解形”和“以 形助数”两个方面利用具体题目探讨其在高中数学教学中 的具体应用.一、数形结合的内涵和重要性数字与图形，作为髙中数学中两个重要的信息载体，代 表的是代数与几何两个学科的联系，各个学科之间是相互联 系的，这样数形结合这个思想因此产生数形结合从字面上 来看就是在解决较为抽象的数学问题时，通过对相对具体的 图象分析，间接的

2、去解决原问题，这是一种从抽象到直观， 从复杂到简单的过程；当然数形结合的思想远远不止这个方 面，因为数和形之间并无主次、轻重的关系，数和形是可以 相互转化的.总的来说数形结合就是根据数学问题的条件和结论之 间的内在关系，既分析其代数关系又要揭示其几何意义，使 得数量关系和几何表达式结合起来，将问题简化.二、数形结合在高中数学教学中的体现1. “以数解形”在很多的问题中，题目可能只是给了一个图形和简单的 描述，这样对学生来说感觉就比较抽象，这时我们就需要根 据图形找出尽可能多的隐含条件，利用代数运算去分析题 目，这种类型的题目经常出现在函数和空间立体几何中出现.例1如图1,已知abcd是上、下底

3、边分别为2和6,高 为3的等腰梯形，将它沿其对称轴001折成直二面角，如图 2.1证明：ac1b01； (2)求二面角0-ac-01余弦的大小.2“以形助数”与以数解形相对，当题目只是给出部分代数关系时，我 们要将代数语言转化为几何的语言，画出图象，根据图象反 映出的问题求解，因为相比数字运算，直接的观察图象更加 的直观，所以这个方法非常的实用，比以数解形用的更广.例 2 已知 m=(x, y) | y=9-x2, yho, n=(x, y) |y二x+b, p二mqn, p为单元素集合，求b的范围.例3如图所示，m为抛物线y2=4x上一点，f是抛物线 的焦点，以fx为始边，fm为终边的角，x

4、fm=60° ；求|fm|.图5图6分析：这是一道典型的圆锥曲线中的求距离的 问题，一般涉及到曲线上的点到焦点或准线距离时，可以根 据定义，利用数形结合的思想求解，将解题直观化.解：如图6,过点m做准线的垂线mn,设x轴与准线1 交与点g,过点f做fh丄nm,垂足为h,由抛物线的定义知 |mf| = |mn| ,设 |mf|=x,在 rtahfm 中，|hm|=l/2x,则 |nh|=|mn|-|mh|=12x,又|nh|=|gf|=2,故 12x=2, x=4,即 i mf | =4.注：教参上的解题过程是先求直线mf的方程，再将直 线mf的方程与抛物线方程联立解出m的坐标，再利用两点 间的坐标公式求解，这种做法比较繁琐，计算容易出错，将 “数”与“形”结合是亮点所在.通过对以上几个问题的探讨，我们已经知道数形结合思 想在解题中的魅力所在，在高中，从集合到函数，从函数到 方程，再从方程到概率和立体几何都可以看到数形结合的广 泛运用，作为一个重要的思想方法，教师在教