电磁场与微波技术(场论)

1、zyxAzAyAxA222zyxAAAA该矢量的模为 A的单位矢量为 coscoscoszyaxAAzAAyAAxAAAzyx标量场标量场)2() 1( 45),(222zyxzyx 如温度场如温度场, ,电位场电位场, ,高度场等高度场等; ;矢量场矢量场zxyzyzxxxyzyx2),(22A如流速场如流速场, ,电场电场, ,涡流场等。涡流场等。zyxBzByBxB)( )( )( zzyyxxBAzBAyBAxBA(2) 矢量的加法和减法矢量的加法和减法zyxAzAyAxA(1) 矢量的数乘矢量的数乘zyxaAzaAyaAxaA(3) 标量积和矢量积标量积和矢量积 标量积标量积ABAB

2、aABcosBAABBA并有并有 1 , 0zzyyxxxzzyyx2222AAAAAABABABABAzyxzzyyxx因而得因而得 矢量的相乘有两种定义矢量的相乘有两种定义-标量积标量积(点乘点乘)和矢量积和矢量积(叉乘叉乘)。矢量积矢量积A AB BABaABnsinBA)(ABA(3) 标量积和矢量积标量积和矢量积 并有 )( )( )( ) () (xyyxxxxzyzzyzyxzyxBABAzBABAyBABAxBzByBxAzAyAxBA故 yxzxzyzyxzzyyxx, , 0标量三重积为 )()()(BACACBCBA矢量三重积为 （4） 三重积三重积 矢量的三连乘也有两种

3、-标量、矢量三重积。B)C(AC)B(AC)(BAztAytAxtAtzyxddddddddA例例 求矢量场 的矢量线方程。解解 矢量线应满足的微分方程为 zyxA222zyyxxyzyzyxyxyx222dddzyzxyxyxyxyx2222dddd2221cyxxcz从而有从而有 解得矢量方程 c1和c2是积分常数。 lllAdcosdlArrq420EbarrrrbabarrqrrqrElEbaba114d4dcosdd020lE例例 设设，求任意两点a、b间的矢量E的线积分。解sssAdcosdsA例例 已知矢量场 ，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。

4、解解 21dddssssrsrsr220cosddsssrsr32111111dddddddddddHHHyxHyxHyxzyxyzyxsrssssssz zyyxxr(1) 单位矢量单位矢量 一个特定方向上的单位矢量等于该一个特定方向上的单位矢量等于该方向上的任一矢量除以其幅值方向上的任一矢量除以其幅值(2) 分矢量分矢量 一个矢量在特定方向上的投影为其在一个矢量在特定方向上的投影为其在该方向上的分量该方向上的分量(3) 切向矢量（分量）切向矢量（分量） (4) 法向矢量法向矢量 （分量）（分量）（1） 标量场标量场) 2() 1( 45),(222zyxzyx 标量场的场线标量场的场线-

5、-等值线等值线( (面面) )。等值线等值线标量场标量场(x, y, z)的等值面方程为的等值面方程为 const.),(zyx（1） 标量场标量场例例 求数量场求数量场 =(x+y)2-z通过点通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。解解 点点M的坐标是的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为。其等值面方程为 22)(0)(yxzzyx或或 （2） 矢量场矢量场矢量场的场线矢量场的场线- -矢量线。矢量线。zxyzyzxxxyzyx2),(22A0d lA其方程为其方程为zAyAxAzyxddd

6、三维场三维场在直角坐标下在直角坐标下二维场二维场yAxAyxdd（2） 矢量场矢量场例例 求矢量场 的矢量线方程。解解 矢量线应满足的微分方程为 zzyyyxxxy222Azyzyxyxyx222dddzyzxyxyxyxyx2222dddd2221cyxxcz从而有从而有 解得矢量方程 c1和c2是积分常数。 矢量场矢量场-矢量线矢量线标量场标量场-等值线等值线( (面面) )。const),( zyxh其方程为其方程为0d lA其方程为其方程为zAyAxAzyxddd在直角坐标下在直角坐标下: :yAxAyxdd矢量线矢量线在某一温度上沿什么方向温度变化最快？在某一温度上沿什么方向温度变化

7、最快？ 标量场(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为沿该方向的方向导数 。 它的值与所选取的方向 有关, 设 l /lcoscoscoszyxlcoscoscoszyxlzzlyylxxl 0000limMMMuMuluMMM垂直于等值面；垂直于等值面；指向变化最快的方向；指向变化最快的方向；最大的变化率；最大的变化率；lulugrad coscoscoszuyuxuluzzuyyuxxuugradG引入引入 zzyyxxzzyyxx则则 ),cos(|lll|maxl定义标量场定义标量场(x, y, z)在点在点P(x, y, z)处的梯度处的梯度(gradient)为为 zzyyxx

8、grad, 0cl0clcn 标量函数标量函数的的等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为即梯度的方向与过即梯度的方向与过该点的等值面相垂该点的等值面相垂直直, 并由梯度定义并由梯度定义知知, 它指向它指向增大的增大的方向。方向。 一座山的等高线图一座山的等高线图 22222220)( )(zyxff)(1)()(2梯度运算有如下规则梯度运算有如下规则: 例例 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿 方向的方向导数。 解解 l方向的方向余弦为 zyxu22zyxl22222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu而 在l方向的方向导数为 32cos,32cos

9、,31cos22232232231zyxzyzxlu在点M处沿l方向的方向导数 324232132131Ml例例 求r在M(1，0，1)处沿 方向的方向导数。解解 r的梯度为 ) (1gradz zyyxxrrr点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, 2222zyxr 所以r在M点处的梯度为 yxrr2121gradr在M点沿l方向的方向导数为 lrlrMzyx22lzyxlll323231而 21322132203121Mlr所以 标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量, ,是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数; ; 梯度的方向为该点最大方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向导数的

10、方向, ,即与等值线（面）即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的相垂直的方向，它指向函数的增加方向。增加方向。 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最的最大变化率，即该点最大方向导数大方向导数; ; 三维高度场的梯度三维高度场的梯度例例 高度场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大数值等于该点位移的最大变化率；变化率； 指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。例例 电位场的梯度电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向数值等于

11、该点的最大方向导数；导数； 电位场的梯度电位场的梯度snsdd 1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.1 通量通量 元通量元通量sssnAsAdd通量通量SsA d矢量矢量 E E 沿闭合曲面沿闭合曲面S S 的面积分的面积分 0 (0 (有正源有正源) ) 0 ( 0 (有负源有负源) ) =0 ( =0 (无源无源) )矢量场的通量矢量场的通量 可以根据净通量的大小判断闭合面可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质中源的性质: :ssE d通量的物理意义通量的物理意义定义矢量定义矢量A A在某点的散度在某点的散度(divergence), (divergence), 记为记为

12、divdivA A: : VsAASxdlimdiv1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.2 散度散度 哈密顿哈密顿(W .R .Hamilton)引入微分算子引入微分算子zzyyxxAAdiv则散度可以表示为则散度可以表示为zAyAxAAzAyAxzzyyxxAzyxzyx)(1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.2 散度散度 VnnVnSVVndlimd10AASA得高斯公式得高斯公式( (散度定理散度定理) ) 该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场A与边界与边界S S上的场上的场A之间的关系。之间的关系。VSVddASA 矢量函数的面积分与体积分的

13、互换。矢量函数的面积分与体积分的互换。1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.2 散度散度 VnnVnSVVndlimd10AASA意义意义例例 球面球面S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为 ,r rz zyyxxr试利用散度定理计算试利用散度定理计算 Sdsr解解3zzyyxxrVSVrrdvrdvrds3343433 矢量矢量A沿某封闭曲线的线积分沿某封闭曲线的线积分, 定义为定义为A沿该曲线的环量沿该曲线的环量(或旋涡或旋涡量量), 记为记为 llA d1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.3 环量环量 LSSPSld1limdd环量密度环量密度取不同的路

14、径，其环量密度不同。取不同的路径，其环量密度不同。 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。最大环量密度的方向。AArot 旋度旋度( (curl或或rotation) )与环量密度的关系为与环量密度的关系为nSeA rot dd在直角坐标系下在直角坐标系下zyxzyxAAAzyxA1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.4 旋度旋度 SlAnAlSmax0dlimCurl1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.4 旋度旋度 旋度的物理意义旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。

15、矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若在矢量场中，若A=J 0,称之为称之为旋度场旋度场( (或涡旋场或涡旋场) )，J 称称为为旋度源旋度源( (或涡旋源或涡旋源) )； 点点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场处处若矢量场处处A=0，称之为无称之为无旋场旋场( (或保守场或保守场) )。矢量矢量A的旋度可表示为算子与的旋度可表示为算子与A的矢量积的矢量积, 即即 AAcurl 计算计算A时时, 先按矢量积规则展开先按矢量积规则展开, 然后再作

16、微分运算然后再作微分运算, 得得 yAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyx) (1.4 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度1.4.4 旋度旋度 旋度运算符合如下规则旋度运算符合如下规则: AAAABAABBAAAABABA2)(0)()()()(在直角坐标系中有在直角坐标系中有 zyxAzAyAxA2222斯托克斯斯托克斯(Stockes)(Stockes)定理定理 A 是是环量密度，即围绕单位环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为分后，环量为iiilSAAld)(dSAlAd)(dSl即即StockeS

17、tockes s定理定理在电磁场理论中，在电磁场理论中，GaussGauss公式和公式和 StockesStockes公式是两个非常重要的公式。公式是两个非常重要的公式。矢量函数的线积分与面积分的互换。矢量函数的线积分与面积分的互换。该公式表明了区域该公式表明了区域S S中场中场A与边界与边界L L上上的场的场A之间的关系之间的关系例例 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为 2/3222030)(44zyxz zyyxxqrrqE求任意点处(r0)电场强度的旋度E。 解解33333333304rxyryxzrzxrxzyryzrzyxrzryrxzyxzyxqE可见, 向分量为零; 同样,

18、向和 向分量也都为零。 故 x y z 0E这说明点电荷产生的电场是无旋场。 因535333ryzryzryzrzy 矢量场的散度是一个标量函数矢量场的散度是一个标量函数, 而矢量场的旋度是一个而矢量场的旋度是一个矢量函数。矢量函数。 散度表示场中某点的通量密度散度表示场中某点的通量密度, 它是场中任一点通量源它是场中任一点通量源强度的量度强度的量度; 旋度表示场中某点的最大环量强度旋度表示场中某点的最大环量强度, 它是场中任一它是场中任一点处旋涡源强度的量度。点处旋涡源强度的量度。 散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定; 而旋度而旋度由各场分量在与

19、之正交方向上的变化率来决定。由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。 在有限区域内，矢量场由它的在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度散度、旋度及及边界条件边界条件唯唯一地确定。一地确定。已知已知矢量矢量A的通量源密度的通量源密度矢量矢量A的环量源密度的环量源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J场域边界条件场域边界条件（矢量（矢量A唯一地确定）唯一地确定）例：判断矢量场的性质判断矢量场的性质?FF?FF?FF=0=0=000=0 xyz 坐标变量坐标变量微元微元 zyxvddddzyxyzxxzyzyxddd, ddd, dddsssz zyyxxddddl柱坐标系 坐标变量坐标变量 0z三者总保持正交关系三者总保持正交关系, 并遵循右手螺旋法则并遵循右手螺旋法则z z 微元微元 zvdddd z zlddddzzzzddd, ddd, dddsssr00坐标变量坐标变量r三者总保持正交三者总保持正交关系关系, 并遵循右手并遵循右手螺旋法则螺旋法则微元微元 dsindddrrrvrrrddsind2s，dsinddrrsdddrrsdrsindddrr rlr r 1. 1.平行平面场平行平面场：如果在经过某一轴线如果在经过某一轴线( (设为设为 Z 轴轴) )的一族的一族平行平面上，场平行平面上，场