第九讲—点式空间群

1、第九讲第九讲 空间群空间群(I)(I)：点式空间群点式空间群复习：复习：点对称操作、点对称操作、7 7种晶系、种晶系、3232种点群、种点群、14种布拉菲格子种布拉菲格子360o/n (n = 1,2,3,4,6)1 (E, L1)2 (C2, L2)3 (C3, L3)4 (C4, L4)6 (C6, L6)1 (i, C)2 (, P), m3 (S65, Li3)4 (S43, Li4)6 (S35, Li6)+,+_,旋转轴，旋转轴， n 旋转反演轴，旋转反演轴， n 点对称操作点对称操作1 (E)2 (C2)3 (C3)4 (C4)6 (C6)1 (i)2 (), m3 (S65)4

2、 (S43)6 (S35)(C41, C42, C43, C44 )(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 )(C31, C32, C33)n = 1n (iCn), Sn = Cn(h, v, d) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E)点对称操作点对称操作!(C21, C22) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 S3, S32(C32), S33(h), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66对称条件对

3、称条件晶系晶系特点特点三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)a b c, abc, = = 90o abc, = = = 90oa = bc, = = = 90oa = bc, = = 90o, = 120oa = b = c, = = = 90oa = b = c, = = 菱形菱形a = bc, = = 90o, = 120o全对称点群全对称点群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m点群各符号的顺序点群各符号的顺

4、序123三斜三斜单斜单斜正交正交四方四方三方三方六方六方立方立方只用一个符号只用一个符号第一种定向：第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴是唯一轴2或或2沿沿a2或或2沿沿b2或或2沿沿c4或或4沿沿c2或或2沿沿a和和b2或或2沿沿ab3或或3沿沿c2或或2沿沿a、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、b和和a+b3或或3沿沿 2或或2沿沿 2或或2 a、b和和a+b2或或2沿沿a、b和和a+b4、4、2或或2沿沿 1(L1)m(P)1(C)42m (Li42L22P)2(L2)2/m (L2PC)222(3L2)mm2 (L22P)mmm (3L23PC)4

5、 (Li4)422 (L44L2)4/mmm(L44L25PC)4mm (L44P)4/m (L4PC)4(L4)62m (Li63L23P)6 (Li6)622 (L66L2)6/mmm (L66L27PC)6mm (L66P)6/m (L6PC)6(L6)23(3L24L3)m3 (3L24L33PC)432 (3L44L36L2)m3m (3L44L36L29PC)3m (Li33L23P)3(L3)3m (L33P)32(L33L2)43m (3Li44L36P)3(Li3) 从旋转点群推导从旋转点群推导3232种点群种点群 点群的熊夫利斯符号点群的熊夫利斯符号 1 2 3 4 622

6、2 32 422 62223 432C1 C2 C3 C4 C6 D2 D3 D4 D6 T O循环点群循环点群二面体点群二面体点群立方点群立方点群m3 m3mS2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h D6h Th Oh1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmmm3 m3m1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmm C1h S4 C3h C2v C3v C4v D2d C6v D3hTdmmm2463m4mm 42m43m6mm 6m2 推导推导3232种点群的种点群的熊夫利斯方案熊夫利斯方案 熊夫利斯符号熊夫利斯符号1(C1)

7、m (C1h)1(Ci)42m (D2d)2(C2)2/m (C2h)222(D2)mm2 (C2v)mmm (D2h)4 (S4)422 (D4)4/mmm(D4h)4mm (C4v)4/m (C4h)4(C4)62 (D3h)6 (C3h)622 (D6)6/mmm (D6h)6mm (C6v)6/m (C6h)6(C6)23(T)m3 (Th)432 (O)m3m (Oh)3m(D3d)3(C3)3m (C3v)32(D3)43m (Td)3(S6)TThTdOOhTetragonalOctahedral点群各符号的顺序点群各符号的顺序123三斜三斜单斜单斜正交正交四方四方三方三方六方六

8、方立方立方只用一个符号只用一个符号第一种定向：第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴是唯一轴2或或2沿沿a2或或2沿沿b2或或2沿沿c4或或4沿沿c2或或2沿沿a和和b2或或2沿沿ab3或或3沿沿c2或或2沿沿a、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、b和和a+b3或或3沿沿 2或或2沿沿 2或或2 a、b和和a+b2或或2沿沿a、b和和a+b4、4、2或或2沿沿 第八讲第八讲 1414种布拉菲格子种布拉菲格子旋转对称性旋转对称性晶系、参考轴晶系、参考轴初基初基P单胞单胞 (6)有心化有心化新的点阵新的点阵(有心有心 8 种种)满足点阵条件满足点阵条件 + 晶系

9、不变晶系不变P点阵中高对称位置加心点阵中高对称位置加心(体心体心I, 全面心全面心F, 单面心单面心A, B或或C 双面心双面心)14种布拉菲点阵种布拉菲点阵旋转对称性旋转对称性六方格子特殊心六方格子特殊心 菱形菱形( (三方三方) )单胞单胞ABXXXX双面心不满足点阵条件！双面心不满足点阵条件！三三斜斜晶晶系系单单斜斜晶晶系系三斜三斜 P P单斜单斜 P P单斜单斜 B B单斜单斜 C = PC = P不是新点阵不是新点阵单斜单斜 B = I = F = Ab b轴为唯一轴轴为唯一轴: :B = P，C = I = F = A正交正交 P P正交正交 C C正交正交 I I正交正交 F F

10、正正交交晶晶系系正交正交 C = A = B C = A = B P ? P ?立方立方 P P立方立方 I, bccI, bcc立方立方 F, fccF, fcc四方四方 I I四方四方 P P四四方方晶晶系系立立方方晶晶系系四方四方 C = P A BC = P A B四方四方 F = IF = I单面心破坏单面心破坏4 4个个3 3次对称性！次对称性！非点阵非点阵非点阵非点阵六六方方晶晶系系三三方方菱菱形形晶晶系系六方六方 P P三方三方 R R底面心：正交底面心：正交侧面心：非点阵侧面心：非点阵+c/2体心：非六方点阵体心：非六方点阵+c/2(1/3, 2/3, 0)：P+2c/3+c

11、/3(1/3, 2/3, 2/3)：R有心化有心化(1/3, 2/3, 1/3)：R+2c/3+c/3abc正定向正定向+c/3+2c/3abc反定向反定向六六角单胞有心化后，已不具有角单胞有心化后，已不具有6 6次对称性，却导出有次对称性，却导出有3 3次对称性的次对称性的菱形初基单胞。菱形初基单胞。R R 点阵可由两种轴系表示：点阵可由两种轴系表示：R R晶系、六角晶系晶系、六角晶系a = bc, = = 90o, = 120oa = b = c, = = 菱形菱形点对称点对称条件条件晶系晶系点群点群三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)

12、2(C2)或或2(m)两个两个2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)布拉菲布拉菲点阵点阵PP, BP, C, I, FP, IPP, I, FP1(C1), 1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h)42m (D2d)4 (S4),422 (D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3), 3m (C3v), 32(D3),3(S6),622 (D6),6/mmm (D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6

13、(C6),62 (D3h)6 (C3h),23(T), m3 (Th),432 (O), m3m (Oh)43m (Td),第九讲第九讲 点式空间群点式空间群空间群：空间群：所谓结晶学空间群就是能使三维周期物所谓结晶学空间群就是能使三维周期物体（无限大晶体）自身重复的几何对称对称操作的体（无限大晶体）自身重复的几何对称对称操作的集合，构成数学意义上的群。集合，构成数学意义上的群。 晶体宏观对称性是晶体结构（原子排列对称性）即微观对晶体宏观对称性是晶体结构（原子排列对称性）即微观对称的反映。称的反映。 晶体的宏观外形是作为一个连续整体来看的有限图形，而晶体的宏观外形是作为一个连续整体来看的有限图

14、形，而晶体的微观结构是不连续排列的原子在三维空间无限展开。晶体的微观结构是不连续排列的原子在三维空间无限展开。 宏观对称性的点群中对称要素必须交于一点，只有方向的宏观对称性的点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和概念。微观对称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。位置的概念。点式空间群：点式空间群：由全部作用于同一个公共点由全部作用于同一个公共点上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操作和平移对称操作组合而产生。作和平移对称操作组合而产生。? 螺旋轴或滑移面不是其基本对称元素。螺旋轴或滑移面

15、不是其基本对称元素。? 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与空间群点群相同的空间群点群相同的位置对称性位置对称性晶系晶系点群点群布拉菲布拉菲点阵点阵三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方PPPPPPP1,1m,2,2/m222, mm2, mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3, 3m, 32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23, m3,432, m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,

16、P4/m,P4,P31m,P3, P3m1, P312, P3,P23, Pm3,P432, Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222, Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3, R3m, R32, R3,P321, P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23, Im3,I432,Im3mI43m,F23, Fm3,F432, Fm3mF43m,42m (Li42L22P)62m

17、(Li63L23P)6m2 (Li63P3L2)4m2 (Li42L22P)30o45o3 (L3)3m (L33P)32 (L33L2)3 (L3C)3m (L33L23PC)3m131m3213123m131m晶系晶系点群点群布拉菲布拉菲点阵点阵三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方PPPPPPP1,1m,2,2/m222, mm2, mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3, 3m, 32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23, m3,432, m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,Pm

18、mmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3, P3m1, P312, P3,P23, Pm3,P432, Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222, Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3, R3m, R32, R3,P321, P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23, Im3,I432,Im3mI43m,F23, Fm3,F432,

19、Fm3mF43m,非点式对称操作非点式对称操作? 螺旋轴：螺旋轴：11种，种，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65? 滑移面：滑移面：a、b、c；n；d点对称操作：点对称操作：r = Rr r=xa + yb +zc r=xa + yb +zc空间群操作：空间群操作：r = R|tr = Rr + t (赛兹算符赛兹算符) 对非点式操作对非点式操作 t = ，而对于，而对于点式操作点式操作t = = 0 = tN+P1abc+P1,_,_,_,_+_,+P2abcP2/m+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-反映面，镜面反映面，镜面Pm+,-+,-+,-+,-Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/2-1/4单斜单斜 B B滑移面滑移面Cm+,+,+,+,+,+Bm+,-+,-+