三角形外接圆与内切圆半径求法

1、三角形的外接圆与内切圆半径的求法之马矢奏春创作一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边 .例 1 已知：在 abc中，ab13，bc 12，ac 5求 abc的外接圆的半径.解： ab13，bc 12，ac 5，ab2bc2ac2， c90，ab为 abc的外接圆的直径， abc的外接圆的半径为.2、一般三角形已知一角和它的对边例 2 如图，在 abc 中， ab 10，c100，求 abc外接圆 o的半径 . （用三角函数暗示）分析：利用直径构造含已知边ab的直角三角形 .解：作直径bd ，连结 ad.则 d180 c80， b

2、ad 90bd dsinab80sin10 abc外接圆 o的半径为80sin5.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都abcoabcod可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例 3 如图，已知，在abc 中， ab10， a70， b50求 abc外接圆 o的半径 .分析：可转化为的情形解题.解：作直径ad ，连结 bd.则 d c180 cab bac 60， dba 90ad dsinab60sin103320 abc外接圆 o的半径为3310.已知两边夹一角例 4 如图，已知，在abc 中， ac 2，bc 3，c60求 abc外接圆 o的半径 .分析：考虑求出ab

3、，然后转化为的情形解题.bc ，垂足为 e.则 dba 90， dc60，ce 21ac 1，ae 3，bebc ce 2，ab22beae7ad dsinab60sin72132 abc外接圆 o的半径为2131.已知三边例 5 如图，已知，在abc 中， ac 13，bc 14，ab15求 abc外接圆 o的半径 .分析：作出直径ad ，构造rt abc中 bcabcodabcodeabcode边上的高ae，利用相似三角形就可以求出直径ad.bc ，垂足为 e.则 dba cea 90， d c adb ace abaeadac设 cex, ac2-ce2ae2ab2-be2132-x21

4、52-(14-x)2x=5,即 ce 5ae12 1512ad13 ad465abc外接圆 o 的半径为865.二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例 6 已知：在 abc 中， c90，ac b，bc a，ab c求 abc外接圆 o的半径 .o的半径为 r ，则 cd=ce=r,bd=a-r,ae=b-r ，(a -r)+(b-r)=c,r=2cba, 即abc外接圆 o的半径为2cba.2、一般三角形已知三边例 7 已知：如图，在abc 中， ac 13，bc 14，ab15求 abc内切圆 o的半径 r.分析：考虑先求出abc 的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.abc

5、oedbcaabcoefd解 ： 利 用 例5的 方 法 ， 或 利 用 海 伦 公 式s)cs)(bs)(as(s( 其 中s=2cba) 可 求 出s abc 84 ， 从 而21ab?r+21bc?r+21ac?r=84, r=4已知两边夹一角例 8 已知：如图，在abc 中， cotb 34,ab5，bc 6求 abc内切圆 o的半径 r.分析：考虑先通过解三角形，求出abc的面积及ac 的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径 .解：作 abc的高ad.解直角三角形可得ad 3，cd 2，ac13，因为21ab ?r+21bc?r+21ac?r=21bc? ad, 可求得 r=61311已知两角夹一边例 9 已知：如图，在abc 中， b60， c45,bc6求 abc内切圆 o的半径 r.(