基本不等式专题---完整版

1、基本不等式专题辅导8一、知识点总结1、基本不等式原始形式二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式(1)若 a,b R，则 a2b22ab121、设a,b均为正数，证明不等式：.ab >1 1b222、基本不等式一般形式（均值不等式）(2)右 a, b R，则 aba,b,c为两两不相等的实数，2(2)若 a,bR*，则 ab 口2b2abbcca若 a,b R ,则 a b 2 ab3、基本不等式的两个重要变形（1）若 a,bR*，则 ab2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”4、

2、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1(1)若 x 0，则 x 2（当且仅当x1时取“=”)x1(2)若 x 0,则 X -2（当且仅当x1时取“=”)X(3)若 ab 0，则-2（当且仅当ab时取“=”)b a22(4)若 a, b R，则 ab（旦b)2 ab2 2(5)若 a, b R，贝U1.ab aba2b2v1122(1已知aa,b,c1,求证:a )(1b)(1 c) 8abca b特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”6、柯西不等式（1）若 a, b,c, d R，则（a2 b2）（c2 d2） （ac bd）2a, b, c R(2) 若 a1, a2,

3、 a3, bi, b2, b3 R，则有：22 2 2 2 22(a1a2a3)(柑b?b3)(aQa?b2asbs)(3) 设a1,a2, ,an与dd ,b是两组实数，则有/2222222佝 a2a. )(d b2bn ) (a a2b2an bn)(1)y 3x2 彩(2) y x(4 x)6、（2013年新课标H卷数学（理） 选修4 5:不等式选讲设均为正数，且,证明：（I）; （ n）.1(3) y x (x 0)x1(4) y x (x 0)x题型三：利用不等式求最值1、已知x 2，求函数y 2x（一）（凑项）42x 4的最小值;7、（ 2013年江苏卷（数学） 选修4 5:不等式

4、选讲已知 a b 0,求证:2a3 b3 2ab2 a2b变式1 :已知x 2，求函数y2x42x 4的最小值;变式2:已知x 2，求函数y2x42x 4的最大值;练习：1、已知x题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域5,求函数y 4x 2 的最小值;44x 52、已知x，求函数y 4x 2的最大值;44x 5变式：若0 x 4，求y . x(8 2x)的最大值;题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当时，求y x(82x)的最大值；3、求函数y 2x 15 2x(- x -)的最大值;2 2(提示：平方，利用基本不等式)变式1：当时，求y 4x(8 2x)的最大值;变式：求函

5、数y 、4x 311 4x(- x -11)的最大值;443变式2：设0 x ，求函数y 4x(32x)的最大值。22、若0 x 2，求y x(6 3x)的最大值;题型五：巧用“1”的代换求最值问题1 11、已知a,b 0,a 2b 1，求t的最小值;a b法一：xy变式5：（1 ）若 x, y 0 且 2x y.111，求一x y的最小值；（2）若 a,b,x, y R 且axb仁求x yy的最小值;19变式4：已知x, yO ,且4，求x y的最小值;1 1变式1 ：已知a,b 0,a 2b 2，求t的最小值;a b变式2：已知x, y2 80,1，求xy的最小值；x y变式3：已知x,

6、y1 10，且9，求x y的最小值。x y变式6：已知正项等比数列 an满足：a7 a6 2a5，若14存在两项am, an，使得 am3n 4，求的最小值；m n题型六：分离换元法求最值（了解）题型七：基本不等式的综合应用1）的值域;ab1、已知log 2 a log 2 b 1，求39的最小值1、求函数y7x IO,(xx 1变式：求函数y1）的值域;2、（ 2009天津）已知a, b 0,求2、ab的最小值; a b2、求函数y（提示：换元法）变式1: （2010四川）如果a b 0，求关于a,b的表达2 1 1式a的最小值;ab a(a b)变式：求函数y航的最大值;变式2：（2012

7、湖北武汉诊断）已知，当 a 0,a1时,函数y loga（x 1） 1的图像恒过定点 A，若点A在直线mx y n 0上，求4m 2n的最小值;4、（ 2013年山东（理）设正实数x, y, z满足2 x3xy24y z 0 ,贝U当xyz取得最大值时,2 1-的最大值为（)x yzA.0B. 1 C .-D.343、已知 x, y 0, x 2y 2xy 8，求 x 2y 最小值;（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）变式1:已知a,b 0，满足aba b 3，求ab范围;变式2：（2010山东）已知x, y求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式 3:（ 2011 浙江）已知

8、x,y 0，x2 y2 xy 1， 求xy最大值；2变式：设x,y,z是正数，满足x 2y 3z 0，求的xz最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围1 a1、( 2012沈阳检测)已知x, y 0,且(x y)()9x y恒成立，求正实数 a的最小值；题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式a b(a,b,c,d R,当且仅当一 一；即ad be时等号成立)c d若 a, b,c,d R，则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22、二维形式的柯西不等式的变式(1) Ja2 b2ac bd(a,b,c,d R,当且仅当一-;即ad be时等号成立)c d(2) . a2 b2、c

9、2 d2 ac bd11 n2、已知x y z 0且恒成立,x y y z x z如果n N ，求n的最大值；(参考：4)(提示：分离参数，换元法)(a,b,c,d R,当且仅当一-;即ad be时等号成立)c d(3) (a b)(c d) (. ac . bd)2(a,b, c, d 0,当且仅当-;即ad be时等号成立)c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式(当且仅当0,或存在实数k,使a k时,等号成立)4、三维柯西不等式若 an ,a2, a3,b1,b2,b3 R，则有:14变式：已知a,b 0满则丄-a b求c的取值范围；2，若a b c恒成立,/ 2 2(a1a2a32)(

10、1bjb22 b32)心柑 a?b2 a3b3)2(ai,bi R,当且仅当色 电 更时等号成立)b1 b2 b35、一般n维柯西不等式设a1 ,a2, ,an与d,b2, ,bn是两组实数，则有：2 2 2 2 2 2 2 (a a2an)(b1 b2bn ) (a a2b,anbn)(a,bi R,当且仅当色邑也时等号成立)b1 b2bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, y, z R，若 x2 y2 z24，则 x 2y 2z 的4、（ 2013 年湖南卷（理）已知 a, b, c , a 2b 3c 6,则a2 4b2 9c2的最小值是（Ans:12）最小值为时,(x, y,z)析：（x2y2z)2 (x2 2 2y z!)12 (2)2 224936x 2y2;z最小'值为6x此时yz6212212(2)2223244x,yz33，32、设 x, y, zR,2xy 2z 6，求x22 2y z的最小值m ,并求-此时x,y,z之值。Ans: m4 24i 4;(x,y,z)(3, 3,3)5、（ 2013年湖北卷（理）设x,y,z R ,且满足：x2 y2 z21 , x 2y 3z . 14 ,求 x y z 的值；3、设 x, y,z