《直线与圆锥曲线》导学案

1、高二数学选修2-12.4 直线与圆锥曲线导学案撰稿：审核 :时间：班级 :姓名 :组别 :组名 :【学习目标】1、熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及数与形的对应关系；2、能够解决直线与圆锥曲线的弦长、中点弦等相关问题；3、通过对直线与圆锥曲线的研究培养学生运用数形结合、方程和转化等数学思想方法解决直线与圆锥曲线综合问题的能力。【重点难点】重点：直线与圆锥曲线相交的有关问题；难点： 1、综合分析已知条件通过转化进而得到有关量之间的关系；2、数学思想方法的灵活运用，简化有关的计算【知识盘点】一直线与圆锥曲线的位置关系1 代数法：判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时，通常将直线l 的方程AxB

2、yC0(A,B不同时为0) 代入圆锥曲线r的方程F (x, y)0 ，消去y (也可以消去x)得到一个关于变量x (或y)的一元方程，即AxByC0 消去y后得ax 2bxc0 ，F ( x , y )0(1)当 a0 时，则有0，直线 l 与曲线 r；0 ，直线 l 与曲线 r；0 ，直线 l与曲线 r。(2)当 a0 时，即得到一个一次方程，则l 与 r 相交，且只有一个交点，此时，若r 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是；若 r 是抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是。2几何法：直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类：(1)直线与圆锥曲线没有公共点直线与圆锥曲线；(

3、2)直线与圆锥曲线有且只有一个公共点对椭圆而言，直线与椭圆；对双曲线而言，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线，对于抛物线而言，表示直线与其或与其对称轴平行；(3)直线与圆锥曲线有个相异的公共点直线与圆锥曲线，此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦。二中点弦问题已知弦 AB 的中点， 研究 AB 的斜率与方程 . AB 是椭圆 x 2y 2 1 ( ab 0)的一条弦， 中点 M 坐标a 2b 2为 ( x0 , y0 ) ，则直线的斜率为。运用点差法求AB 的斜率：设x2x222，(x1 x2)(x1 x2 )12y1y20a2b22a运用类比思想，可以推出已知A( x1 , y1 )

4、, B( x2 , y2 ), A, B 都在椭圆上，则x12y 121 ，两式相减，得a 2b 2x 22y 221a 2b 2(y1 y2)(y1 y2)0，从而 y1y2b2 ( x1x2 )，故 kAB。b2x1x2a2 ( y1y2 )AB 是双曲线 x2y2的弦，中点 M ( x , y) ，则 kAB；2210 0ab已知抛物线 y22 px( p 0) 的弦 AB 的中点 M (x , y )，则 kAB.0 0三弦长问题 .(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线相交于两点P1 (x1, y1 ) ， P2 (x2 , y2 ) ，则所得的弦长为或，(2)当直线的斜率不存在时，可求

5、出交点的坐标，直接运算；(3) 经过圆锥曲线的焦点的弦( 也称为焦点弦 ) 的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为，往往比利用弦长公式简单。【基础闯关】1过点 P(2, 4) 作直线与抛物线y28x 只有一个公共点，这样的直线有()(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条2与直线 2xy4 0 平行的抛物线yx2 的切线方程为 ()(A) 2x y30(B) 2xy 30(C)2xy 1 0(D)2xy1 03抛物线y24x过焦点的弦的中点的轨迹方程是()(A) y22(x1)(B) y2x 1(C)y 2x1(D)y22x124直线 xy1 与椭圆43的点C共有()x2y2C

6、使ABC 的面积等于12，这样161 相交于 A, B 两点，椭圆上的点9(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个5y24x的焦点F 作垂直与x轴的直线， 交抛物线于 A, B 两点，则以 F 为圆心， AB 为过抛物线直径的圆的方程是交于 A,B.F ，点(8,8) ，则已知直线 l与抛物线y28x两点，且 l 过抛物线的焦点A的坐标为6线段 AB 的中点到抛物线准线的距离是.【典例精析】例 1已知直线 y(a1)x1与曲线 y2ax (a 0) 恰有一个公共点，求实数a 的值。2P( 1,1)作直线与椭圆 x2y21交于A, B两点，若线段AB 的中点为 P ，求直线 AB 所例

7、过点42在的直线方程和线段AB 的长度 .变式训练椭圆 a2 x2b2 y21 与直线 x y 10 相交于 A,B 两点， C 是 A,B 的中点 .若|AB| 2 2，直线 OC 的斜率为2 ，求椭圆的方程。2例3 已知椭圆 E : x2y21 ，试确定 m 的取值范围，便得椭圆E 上存在不同的两点关于直线43l : y4xm 对称。例 4 给定双曲线 x 2 y 21 .2(1)过点 A(2,1) 的直线 l 与所给的双曲线交于P1 , P2 ，求线段 PP12 的中点 P 的轨迹方程；(2)过点 B(1,1)能否作直线 m ，使 m 与所给的双曲线交于 Q1, Q2 ，且 B 是线段

8、Q1Q2 的中点？若存在，求出直线方程 .如果不存在，请说明理由。【能力提升】1 已知抛物线 y22 px( p0) 的焦点在直线 yx2 上，现让抛物线作平行移动，当抛物线的焦点沿直线 y x2移动点 (2 a,4 a2) 时，抛物线的方程应为()(A) ( y6)28(x6)(B) ( y6)28(x6) (C)(y6)2 8(x6)(D)( y6)28(x 6)2不论 k 取值何值， 直线 yk(x2)bxy1)与曲线 22总有公共点， 则实数 b 的取值范围是 (A) (3,3)(B) 3,3(C) (2, 2)(D) 2,2x2y2则3已知双曲线1 的右焦点为 F ，若过点 F 的直

9、线与双曲线的右支有且只有一个交点，124直线斜率的取值范围是()(A) (3 ,3 )(B) (3, 3)(C) 3 ,3 (D)3,333334 如果以原点为圆心的圆，经过双曲线2： 1 的两段圆弧，那么该双曲线的离心率为x2y 2的焦点，而且被直线l : xa2分成弧长为a1c2b 2_5yx3与抛物线y24x交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别直线为 P,Q ，则梯形APQB 的面积为 _6 设坐标原点为O，抛物线 y22x 与过焦点的直线交于A, B 两点，则 OA OB_椭圆x 2y 21中过点P(1,1)的弦恰好被 P 点平分，则此弦所在的直线方程是7428e，焦点 F 到其相应准线的距离为p ，弦 AB 过焦点 F ，若 AB 的倾斜角已知椭圆的离心率为为 ，则|AB|_.9 在以 O 为原点的直角坐标系中，点A （ 4， 3）为 OAB 的直角