《Lagrange插值》ppt课件

1、 插值的根本概念，插值多项式的存在独一性；插值的根本概念，插值多项式的存在独一性； LagrangeLagrange插值插值( (含线性插值、抛物插值、含线性插值、抛物插值、n n次次LagrangeLagrange插值公式；插值公式； 插值余项；插值余项； 插值方法：插值方法：1 1解方程组、解方程组、2 2基函数法。基函数法。 设知某个函数关系设知某个函数关系 在某些离散点上的函在某些离散点上的函数值：数值： 插值问题：根据这些知数据来构造函数插值问题：根据这些知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式的一种简单的近似表达式, ,以便于计以便于计算点算点 的函数值的函数值 ，或计算函，或计算

2、函数的一阶、二阶导数值。数的一阶、二阶导数值。( )f xx0 x0yy1y1nyny1x1nxnx,0,1,ixx in( )yf x( )yf x 在众多函数中在众多函数中,多项式最简单、最易计算，知函数多项式最简单、最易计算，知函数 个互不一样的点处的函数值个互不一样的点处的函数值 ，为求，为求 的近似式，自然应中选的近似式，自然应中选 次多项式次多项式n使使 满足条件满足条件( )1yf xn在nixfyii, 1 ,0),()(xfy 2012( )nnnP xaa xa xa x( ),0, 1,niiP xyin0,111( ),( ),(33),1(,)(0,1, )( ),(

3、 )nnnf xpxx xxnxyinypxyf x称为被插函数称插值多项式 条件称插值条件称插值节点 这种求函数近似式的方法称为插值法几何上 其实质是用通过个点的多项式曲线当作曲线的近似曲线.如图所示)(xPn插值多项式的几何意义插值多项式的几何意义定理：定理：(独一性独一性) 满足满足 的的 n 阶插值阶插值niyxPii,., 0,)( 多项式是独一存在的。多项式是独一存在的。设所要构造的插值多项式为：设所要构造的插值多项式为： nnnxaxaxaaxP 2210)(由插值条件由插值条件 niyxPiin, 1, 0)( 得到如下线性代数方程组：得到如下线性代数方程组： nnnnnnnn

4、nyaxaxayaxaxayaxaxa101111000100111此方程组的系数行列式为此方程组的系数行列式为 nijjixx0)(范得蒙行列式范得蒙行列式 ！当当 jixx 时， ;, 2 , 1ninj, 2 , 1D 0，因此，因此，Pn(x)Pn(x)由由a0, a1, ana0, a1, an独一确定。独一确定。nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111 一、解方程组法：一、解方程组法： 类似插值独一性定理证明过程，先设插值多项式函类似插值独一性定理证明过程，先设插值多项式函数为数为 ，将，将 个节点个节点的函数值代入多项式里，便得到的函数值代入多项式里，便得到 个等

5、式，得到一个个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。到所要求的插值多项式。二、基函数法：一种既能防止解方程组，又能适宜于计算机二、基函数法：一种既能防止解方程组，又能适宜于计算机求解的方法，下面将详细引见。求解的方法，下面将详细引见。nnnxaxaxaaxP 2210)(1n1n拉格朗日拉格朗日LagrangeLagrange插值公式的根本思想是，插值公式的根本思想是，把把pn(x)pn(x)的构造问题转化为的构造问题转化为n+1n+1个插值基函数个插值基函数li(x)(i=0,1,n)li(x)

6、(i=0,1,n)的构造。的构造。 x0 x1(x0 ，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可见可见 是过是过 和和 两点的直线。两点的直线。x0 x1x2p2(x) f(x)f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。 nnnxaxaaxP 10)(要求：无重合节点，即要求：无重合节点，即jixx ji 设延续函数设延续函数 在在a, ba, b上对给定上对给定n + 1n + 1个不同结点：个不同结点：分别取函数值分别取函数值其中其中试构造一个次数不超越试构造一个次数不超越n n的插值多项式的插值多项式使之满足条件使之满足条件 i =

7、0, 1, 2, niinyxP )( )yf x 知函数知函数 在点在点 上的值为上的值为 ，要求，要求多项式多项式 ，使，使 ， 。其几何意。其几何意义，就是经过两点义，就是经过两点 的一条直线，的一条直线，如下图。如下图。01,x x0011(,), (,)A xyB x y( )yf x01,yy100()p xy1( )yp x111()p xy一次插值多项式一次插值多项式 由直线两点式可知，经过由直线两点式可知，经过A A，B B的直线方程为的直线方程为 它也可变形为它也可变形为 显然有：显然有：1000110( )yyyyxxp xxx010110100)(,)(xxxxxlxx

8、xxxl记记可以看出可以看出的线性组合得到，其系数分别为的线性组合得到，其系数分别为 ，0y1y01( ), ( )lx l x0 x1x称称 为节点为节点 , 的线性插值基函数的线性插值基函数1001( )xxlxxx0110( )xxl xxx011010110( )xxxxL xyyxxxx线性插值基函数线性插值基函数满足下述条件满足下述条件01( ), ( )lx l x1001ix0 x1x0( )lx1( )l x并且他们都是一次函数。并且他们都是一次函数。留意他们的特点对下面的推行很重要留意他们的特点对下面的推行很重要 我们称我们称 为点为点 的一次插值基函数，的一次插值基函数，

9、 为点为点 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为取值为1 1，而在另外的插值点上取值为，而在另外的插值点上取值为0 0。插值函。插值函数数 是这两个插值基函数的线性组合，其组合是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种方式的插值称系数就是对应点上的函数值。这种方式的插值称作为拉格朗日作为拉格朗日LagrangeLagrange插值。插值。0( )lx1( )l x0 x1( )p x1x 线性插值只利用两对值及求得的线性插值只利用两对值及求得的 近似值，误差较大。近似值，误差较大。 p2(x)是是x的二次函数，称为二次插值多

10、项式。的二次函数，称为二次插值多项式。经过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。经过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。012,x x x以过节点以过节点 的二次函数的二次函数为插值函数。为插值函数。2( )L x用基函数的方法获得用基函数的方法获得2( )L x其中其中1200102()()( )()()xxxxl xxxxx0211012()()( )()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxl xxxxx( ,)(0,1,2)iix yi 设被插函数在插值节点设被插函数在插值节点处的函数值为处的函数值为012,yy y20 01 12 2( )( )(

11、)( )L xy lxy l xy lx 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式，而三个插值点可求出二次插值多项式。，而三个插值点可求出二次插值多项式。当 插 值 点 添 加 到当 插 值 点 添 加 到 n + 1 个 时 ， 我 们 可 以 利 用个 时 ， 我 们 可 以 利 用Lagrange插值方法写出插值方法写出n次插值多项式，如次插值多项式，如下所示：下所示：知知n+1个节点处的函数值个节点处的函数值iy0y1yixnx0 x1xny求一个求一个n次插值函数次插值函数( )nL x满足满足( )(1,2, )niL xyin构造各个插值节

12、点上的基函数构造各个插值节点上的基函数 满足如下条件满足如下条件( )(0,1, )il xin1000010000010 xix1x2xnx0( )lx1( )l xn( )lx求求n n次多项式次多项式 ， k = 0, 1, n k = 0, 1, n ikikxlik, 0, 1)(iinkkkinyxlyxP )()(1那么那么 i = 0, 1, 2, n即即 满足插值条件满足插值条件 根据根据 的表达式，的表达式， 以外一切的结点都是以外一切的结点都是 的根，的根，( )klx( )klx( )klxkx( )npx0111( )()()()()()kkknlxxxxxxxxxx

13、x nkjjjxx0)( 又由又由 ，得：，得： )()()(11110nkkkkkkkxxxxxxxxxx 因此令因此令()1kklxknknkjjjkjknkknyxxxxyxlxP 000)()()()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl nkjjjkjxxxx0从而得从而得n n 阶拉格朗日阶拉格朗日LagrangeLagrange插值公式：插值公式：)1( nf在在a , b内存在内存在, 调查截断误差调查截断误差( )( )( )nnR xf xL x设节点设节点, baCfn bxxxan 10，且，且 f 满

14、足条件满足条件 ,0)( 0)()(10 xx ),(10 xx 存在存在 使得使得 。且且推行：假推行：假设设0)()()(210 xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10 ),(10 使得使得0)( )(x 10, xx),(10 xx罗尔定理罗尔定理 : 假设假设 在在 延续，在延续，在 充分光滑，充分光滑，注：注： 通常不能确定通常不能确定 x , 而是估计而是估计 , x(a,b) 将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。1)1()( nnMxf niinxxnM01|)!1( 当当 f(x) 为任一个次数为任一个次数 n 的多项式的多项式时，时， , 可

15、知可知 ，即插，即插值多项式对于次数值多项式对于次数 n 的多项式是准的多项式是准确的。确的。0)()1( xfn0)( xRn例：例： 知特殊角知特殊角 处的正弦函数值处的正弦函数值123,222分别为分别为求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用插值函数近似计算插值函数近似计算 ，并估计误差，并估计误差解：一次插值函数为解：一次插值函数为,6 4 3 11264( )226446xxL x5sin18误差为误差为1( )sin( )()()()()2!64264fR xxxxx在所求点的函数值为在所求点的函数值为155sin()0.776141818L误差为误差为15( ) 55()()()182!186184fR(,)6 3 知知150.00762()0.0131918R 二次插值多项式为二次插值多项式为2()()()()()()123436364( )222()()()()()()6463464