概率论与数理统计：chapter5-1 大数定理与中心极限定理

1、教学要求：教学要求：1. 了解切比雪夫不等式了解切比雪夫不等式; 2. 了解切比雪夫定理和伯努利定理了解切比雪夫定理和伯努利定理; 3. 了解林德伯格列维定理了解林德伯格列维定理(独立同分布的中心极独立同分布的中心极 限定理限定理)和棣莫佛拉普拉斯定理和棣莫佛拉普拉斯定理(二项分布以正二项分布以正 态分布为极限分布态分布为极限分布). .切比雪夫不等式切比雪夫不等式一一 .大数定理大数定理二二 .中心极限定理中心极限定理三三我们知道，随机现象的统计规律性，只是在进行大量我们知道，随机现象的统计规律性，只是在进行大量重复试验或观测后才能显现出来重复试验或观测后才能显现出来. 为了研究为了研究“大

2、量大量”的的随机现象，常常要用极限的形式，这就引导到极限定随机现象，常常要用极限的形式，这就引导到极限定理的研究理的研究. 而大数定理是极限定理中最重要的一种，而大数定理是极限定理中最重要的一种，是对随机现象平均结果的稳定性的数学描述，大数定是对随机现象平均结果的稳定性的数学描述，大数定理包括：马尔可夫大数定律、切比雪夫（车贝晓夫）理包括：马尔可夫大数定律、切比雪夫（车贝晓夫）大数定律、贝努利大数定律、普阿松（泊松）大数定大数定律、贝努利大数定律、普阿松（泊松）大数定律、辛钦大数定律律、辛钦大数定律. 概率论中有关论证相互独立随机概率论中有关论证相互独立随机变量和的极限分布是正态分布的一系列定

3、理称为中心变量和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理，它的内容丰富，有各种各样的定理，这里极限定理，它的内容丰富，有各种各样的定理，这里只介绍常用的两个中心极限定理只介绍常用的两个中心极限定理. 一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式 定理定理1: (切比雪夫不等式切比雪夫不等式)有有则对任意正数则对任意正数和方差和方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量,)()(2 XDXEX.1|2222 XPXP或者或者证证 对于连续型来说，对于连续型来说， dxxfxXD)()()(22 |2)()(xdxxfx |2)(xdxxf |2)(xdxxf,|2 XP.|22 XP对于离

4、散型来说，对于离散型来说， ixiipxXD22)()( |2)(ixiipx |2ixip |2ixip,|2 P同样有结论成立同样有结论成立.切比雪夫不等式常直接表示成切比雪夫不等式常直接表示成: .)(1| )(|)(| )(|22 XDXEXPXDXEXP 或者或者ex1.设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为,0 00 2)(2 xxexxfx试证：试证： .3260 XP证证 dxxxfXE)()(, 3202 dxexxx dxxfxXE)()(22,122022 dxexxx22)()()(EXXEXD . 3912 33360 XPXP3|3| XP3| )(| XE

5、XP231DX .323312 ex2.用用Chebyshev不等式确定，当掷一枚均匀硬币时，不等式确定，当掷一枚均匀硬币时， 需投多少次才能保证需投多少次才能保证“正面出现频率在正面出现频率在0.4到到0.6之之 间间”的概率不小于的概率不小于90%.解解 由题意知投掷一次出现正面的概率为由题意知投掷一次出现正面的概率为, 5 . 0 p设需投掷设需投掷n次才能达到要求，次才能达到要求，),5 . 0 ,(nBn 正面出现的次数正面出现的次数)(1)(nnEnnE 则则, 5 . 01 pnpn)(1)(2nnDnnD )1(12pnpn ,41n 由切比雪夫不等式得由切比雪夫不等式得1 .

6、 05 . 01 . 06 . 04 . 0 nPnPnn 1 . 0|5 . 0| nPn 2)(1 nDn n411 . 0112 ,41001n , 9 . 041001 n则则,25041000 n从从而而即至少要投即至少要投250次次.二、大数定理二、大数定理 定义定义: . , 1lim ,aYaYaYPaPnnnn 记为记为依概率收敛于依概率收敛于则称随机变量序列则称随机变量序列有有对任意正数对任意正数若存在常数若存在常数 性质性质: ).,(),( ,),(),(,bagYXgbayxgbYaXPnnPnPn则则连续连续在点在点若若设设定理定理2: (切比雪夫定理的特殊情况切比

7、雪夫定理的特殊情况).1, 1lim,1), 2 , 1()(,)(:,11221 依概率收敛于依概率收敛于即序列即序列有有则对任意正数则对任意正数个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均作前作前数学期望和方差数学期望和方差且具有相同的且具有相同的相互独立相互独立设随机变量设随机变量 nkknnnnkknkknXnYYPXnYnkXDXEXXX证证 nkknkknXEnXnEYE11)(11)(,1 nn nkknkknXDnXnDYD121)(11)(,11222 nnn 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式得得|1 nYP| )(| nnYEYP,1)(1222 nYDn . 1lim nnY

8、P. 0|lim nnYP或者或者定理定理3: (伯努利伯努利Bernoulli定理定理)设设nA是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事是事件件A在每次试验中发生的概率，则对任意在每次试验中发生的概率，则对任意0，有，有. 0|lim1|lim pnnPpnnPAnAn或或证证 用用Xk(k=1,2,n)表示第表示第k次重复试验中事件次重复试验中事件A发生发生的次数，则有的次数，则有 不发生不发生次试验中事件次试验中事件第第发生发生次试验中事件次试验中事件第第AkAkXk 0 1.10分布分布服从服从即即 kX), 2 , 1( )1()(,)(nkpp

9、XDpXEkk 则则,11nnXnYAnikn 而而由定理由定理2, 知知, 1|lim pYPnn. 0|lim1|lim pnnPpnnPAnAn或或即即注意注意: (1)在不通过计算来估计事件概率的大小时，常利用在不通过计算来估计事件概率的大小时，常利用 切比雪夫不等式切比雪夫不等式.(2)切比雪夫定理表明，可用算求平均值来代替数学切比雪夫定理表明，可用算求平均值来代替数学 期望期望. 因为求数学期望必须先给出概率分布因为求数学期望必须先给出概率分布(或概或概 率密度率密度)，而实际问题中又难以找到，而实际问题中又难以找到. (3)贝努利定理表明，可用频率来代替概率贝努利定理表明，可用频

10、率来代替概率. 这就是在实际中我们可以用平均值来作为数学期望，这就是在实际中我们可以用平均值来作为数学期望，用频率来作为概率的数学依据，值得注意的是用频率来作为概率的数学依据，值得注意的是n必须必须足够大足够大. 三、中心极限定理三、中心极限定理 定理定理4: (独立独立同分布的中心极限定理同分布的中心极限定理).(21lim)(lim), 2 , 1(0)(,)(:,212212xdtexZPxFnnXZkXDXEXXXxtnnnnnkknkkn 的分布函数满足的分布函数满足则随机变量则随机变量且具有数学期望和方差且具有数学期望和方差服从同一分布服从同一分布相互独立相互独立设随机变量设随机变

11、量定理定理5: (棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯拉普拉斯De Moivre-Laplace定理定理).(21)1(lim,),(22xdtexpnpnpXPxpnBXxtn 有有则对任意实数则对任意实数设设证证),(pnBX于是可把于是可把X看成是看成是n个独立的且服从个独立的且服从01分布的随分布的随机变量之和机变量之和,21nXXXX 即即),1()(,)(ppXDpXEii 且且,)()(1npXEXEnii ),1()()(1pnpXDXDnii 由独立同分布中心极限定理知由独立同分布中心极限定理知, 有有对于对于,)()()1(1kknkknXnDXnEXpnpnpXZ ).(21)1(li

12、m22xdtexpnpnpXPxtn 注意注意: (1)独立同分布中心极限定理表明：对于独立同分布独立同分布中心极限定理表明：对于独立同分布 的随机变量的随机变量X1,X2,Xn,当当n很大时很大时近似地近似地满足满足 ),1 , 0(1NnnXnkk ).,(21 nnNXnkk (2)德莫佛拉普拉斯定理表明：对于服从参数为德莫佛拉普拉斯定理表明：对于服从参数为n， p(0p1)的二项分布的随机变量的二项分布的随机变量X，近似地有，近似地有 ).1 , 0()1(NpnpnpX bXaP 从而从而)1()1()1(pnpnpbpnpnpXpnpnpaP ).)1()1(pnpnpapnpnp

13、b ex3.保险公司为了估计企业的利润保险公司为了估计企业的利润. 需要计算各种各样需要计算各种各样的概率的概率.若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于于0.005，现，现10000个这类人参加人寿保险，试求在未个这类人参加人寿保险，试求在未来一年中在这些保险人里面，死亡人数不超过来一年中在这些保险人里面，死亡人数不超过70人的人的概率是多少？概率是多少？解解 这里这里n=10000, p=0.005, np=50,np(1 p)=49.75,X为未来一年中死亡的人数，服从二项分布为未来一年中死亡的人数，服从二项分布.700 XP75.49507075.495075.49500 XP)09. 7()84. 2( .997. 0)84. 2( ex4.某车间有某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率台车床，它们独立地工作着，开工率各为各为0.6. 开工时耗电各为开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间的概率保证这个车间会不因供电不足而影响生产会不因供电不足而影响生产.解解这里这里n=200, p=0.6, np=120, np(1-p)=48若供电量最多够若供电