与三角形有关的向量问题

1、与三角形有关的向量问题三角形有关的问题可以很好体现向量的核心问题如和差、数乘、数量积。在与三角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别值得重视。一、三角形基本问题例 1. 如图abc 中，ab = c，bc = a，ca= b，则下列推导不正确的是 （d）a若 a b 0，则 abc 为钝角三角形。b若 a b = 0，则 abc 为直角三角形。c若 a b = b c，则 abc 为等腰三角形。d若 c(a + b + c) = 0，则 abc 为正三角形。解：aa b = |a|b|cos 0，则cos 0， 为钝角b显然成立c由题设： |a|cosc = |c|cos a，即 a、c

2、在 b上的投影相等d a + b + c = 0, 上式必为 0，不能说明 abc 为正三角形例 2. 如图：已知 mn 是abc 的中位线，求证： mn=21bc, 且 mnbc证： mn 是abc 的中位线，abam21, acan21bcabacabacamanmn21)(212121mn=21bc, 且 mnbc例 3. 已知：平面上三点 o、a、b 不共线，求证：平面上任一点c 与 a、b 共线的充要条件是存在实数 和 ，使 oc =oa+ ob ，且+ = 1。证：必要性：设 a,b,c 三点共线，则可设ac = t ab(t r) 则 oc =oa+ ac =oa+ t ab =

3、oa+ t(oboa) = (1 t)oa+ t ob令 1 t =，t = ，则有： oc = oa+ ob ，且+ = 1 充分性： ac =ocoa= oa+ oboa= ( 1)oa+ ob= oa+ ob = (oboa) = ab三点 a、b、c 共线例 4.（04 浙江） 已知平面上三点cba,满足3ab，4bc，5ca，则abcacabcbcab的值等于一般地对于abc的结论是a b c n m 例. 某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为 2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。解：设 a 表示此人以每小时 a 公里的速度向东行驶

4、的向量，无风时此人感到风速为a，设实际风速为 v，那么此时人感到的风速为va，设 oa= a，ob = 2a po+oa= pa pa= v a，这就是感到由正北方向吹来的风速， po+ob =pb pb= v 2a，于是当此人的速度是原来的2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是pb，由题意：pbo = 45 , pa bo, ba= ao 从而， pob 为等腰直角三角形， po = pb =2 a即：|v | =2 a实际风速是2 a 的西北风二、三角形重心问题例 1 . 已知o是abc内一点， oa+ob +oc =0，则o是abc的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心例 1.1

5、已知o是abc内一点， oa+2ob +3oc =0， 则问abc的面积与aoc的面积的比是多少？解： （一）平行四边形法：设ed,分别是bcac,的中点，则odocoa2，oeocob42， 故 可 得 ：ocoboa32022oeod， 即oeod2， 故2:3:aocaecss，则1:3:aocabcss（二）化归法：延长ob使obob2，延长oc使ococ2，则o是cab的重心，9131cabaocaocsss，例 2. 已知o是平面内一点，cba,是平面上不共线的三点，动点p满足bcaboaop21，, 0，则动点p的轨迹一定通过abc的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心例 3

6、. 已知o是平面内一点，cba,是平面上不共线的三点，动点p满足p b a o v v 2a acaboaop，,0，则动点p的轨迹一定通过abc的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心例 4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。证：设 ac = b， cb= a，则 ad = ac +cd = b+21a, cbeceb= a, g, d 共线， b, g, e 共线可设 ag= ad ， eg = eb, 则 ag= ad =(b+21a)=b+21a, eg = eb= (21b+a)=21 b+ a, agegae即：21b + (21 b+ a) =b+21

7、a(21)a + (21+21)b = 0 a, b 不平行，adag32313202121021即：ag = 2gd同理可化： ag = 2gd , cg = 2gf三、三角形垂心问题例 1. abc中，o为其外心，p为平面内一点，opocoboa，则p是abc的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心例 2. 已知o是平面内一点，cba,是平面上不共线的三点，动点p满足cacacbababoaopcoscos，, 0，则动点p的轨迹一定通过abc的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心解：a b c e f d g cacacbababapcoscos，且0coscosbcbcbccac

8、acbabab例 3. 已知o是abc所在平面上一点，若oaococoboboa，则o是abca. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心例 4. 如图， ad、be、cf 是abc 的三条高，求证： ad、be、cf 相交于一点。证：设 be、cf 交于一点 h， ab= a, ac= b, ah = h, 则 bh = ha , ch = hb , bc = ba bhac , chab0)()()(0)(0)(abhabhbahaahbah ahbc又点 d 在 ah 的延长线上， ad、be、cf 相交于一点例 4. 已知 o 为abc 所在平面内一点，且满足|oa|2 + |bc |2

9、= |ob |2 + |ca|2 = |oc |2 + |ab |2，则o是三角形的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心解：设 oa= a, ob = b, oc = c, 则 bc = cb, ca= ac, ab = ba由题设： oa2 +bc2 =ob2 +ca2 =oc2 + ab2，化简： a2 + (cb)2 = b2 + (ac)2 = c2 + (ba)2 得：c?b = a?c = b?ab c o a b c d e f h 从而 ab?oc = (ba)?c = b?ca?c = 0 aboc同理： bcoa, caob四、三角形外心问题例 1. 已知o是abc所在

10、平面上一点，若222ocoboa，则o是abc的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心例 2. 已知o是平面内一点，cba,是平面上不共线的三点，动点p满足2ocobopcacacbababcoscos，,0，则动点p的轨迹一定通过abc的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心解：点p在bc的垂直平分线上五、三角形内心问题例 1. 已知o是平面内一点，cba,是平面上不共线的三点，动点p满足acacababoaop，, 0，则动点p的轨迹一定通过abc的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心例2. o是abc所 在 平 面 上 一 点 ，cba,所 对 的 边 分 别 是cba,， 若0

11、occobboaa，则o是abc的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心解 ： 因 为0occobboaa， 又aboaob，acoaoc， 所 以0accabboacba，即acacababcbabcoa例 3. 三个不共线向量ocoboa,满足cacaababoa=cbcbbabaob=bcbccbcaoc则o是abc的a. 重心b. 垂心c. 外心d. 内心例 4. 若i是abc的内心，cba,所对的边分别是cba,，o为abc所在平面上一点，求证：cbaoccobboaaoi六、三角形心心关系在abc中，hgo,分别是abc的外心、重心、垂心。（1） 求证：ocoboaoh；（2） 求证：hgo,三点共线；（3） 若oaah，求bac的大小. 解： 连接 bo 并延长交abc外接圆于点 d 连接 ad,cd,ah,ch, 显然bcah，bccd， 所 以cdah /