第三章平均指数和变异指数

1、本章将讨论的是数据的本章将讨论的是数据的总量总量和和相对关系相对关系的测度，数据的测度，数据的集中趋势、离散趋势及其形态的测度。的集中趋势、离散趋势及其形态的测度。 总量指标和相对指标总量指标和相对指标集中趋势的测定集中趋势的测定-平均指标平均指标离散趋势的测定离散趋势的测定-离散指标离散指标数据的形态测定数据的形态测定-偏度和峰度偏度和峰度主要内容主要内容（一）总量指标（一）总量指标总量指标（亦称绝对数）是统计资料经过汇总整理总量指标（亦称绝对数）是统计资料经过汇总整理后得到的反映总体规模和水平的总和指标。后得到的反映总体规模和水平的总和指标。 （3）是计算相对指标和平均指标的基础。）是计算

2、相对指标和平均指标的基础。作用作用概念概念例如，企业的销售收入、一个地区或国家的社会总例如，企业的销售收入、一个地区或国家的社会总产值、国内生产总值等。产值、国内生产总值等。 （1 1）反映一个国家的国情和国力，一个地区或一）反映一个国家的国情和国力，一个地区或一个企业的人力、物力、财力个企业的人力、物力、财力 （2 2）是进行经济核算和经济活动分析的基础）是进行经济核算和经济活动分析的基础 、实物单位、实物单位自然单位自然单位度量衡单位度量衡单位简单单位简单单位双重单位双重单位复合单位复合单位2 2、货币单位、货币单位3 3、劳动单位（工时、工日）、劳动单位（工时、工日） 相对指标是用两个有

3、联系的指标进行对比相对指标是用两个有联系的指标进行对比的比值的比值，可以反映现象的数量特征和数量关系，并可将现象可以反映现象的数量特征和数量关系，并可将现象的绝对差异抽象化，使原来不能直接相比的绝对数的绝对差异抽象化，使原来不能直接相比的绝对数可以进行比较。可以进行比较。 相对指标的表现形式相对指标的表现形式（一）名数（一）名数（二）无名数（二）无名数1、系数和倍数、系数和倍数2、成数、成数3、百分数、百分数4、千分数、千分数二、相对指标二、相对指标概念概念%100 总体中全部数值总体中全部数值总体中的部分数值总体中的部分数值结构相对指标结构相对指标%100 总体中另一部分数值总体中另一部分数

4、值总体中某一部分数值总体中某一部分数值比例相对指标比例相对指标女生人数女生人数男生人数男生人数总人数总人数男生人数男生人数如如: :如如: :( (一一) )( (二二) )另另一一条条件件下下的的同同类类数数值值某某条条件件下下的的某某类类数数值值比比较较相相对对指指标标三三 )(大庆油田原油产量大庆油田原油产量长庆油田原油产量长庆油田原油产量如如:%100) 基期数值基期数值报告期数值报告期数值动态相对指标动态相对指标（四（四年年国国内内生生产产总总值值年年国国内内生生产产总总值值如如20012002:返回返回的的指指标标数数值值另另一一有有联联系系但但性性质质不不同同某某一一指指标标数数

5、值值 销销售售收收入入流流通通费费用用总总额额流流通通费费用用率率 (%)平平均均人人数数国国内内生生产产总总值值人人均均国国内内生生产产总总值值 )()()(千人千人人口数人口数地地全国全国商业机构数商业机构数地地全国全国商业网密度商业网密度 %100 计计划划数数实实际际完完成成数数计计划划完完成成相相对对指指标标%100 计划绝对水平计划绝对水平实际绝对水平实际绝对水平计划完成相对指标计划完成相对指标%951000950 %100 计划平均水平计划平均水平实际平均水平实际平均水平计划完成相对指标计划完成相对指标%905045 %100% 计划规定计划规定实际完成实际完成计划完成相对指标计

6、划完成相对指标%5 .104%110%115 %95.98%95%94 不同时期不同时期比比 较较动动 态态相对数相对数注：注：又称发又称发展速度展速度 强强 度度相对数相对数注：注：复名数复名数有正逆有正逆指标指标不同现象不同现象比较比较不同总体不同总体比较或者比较或者同一总体同一总体的两个不的两个不同部分同部分比比 较较相对数相对数同一总体中同一总体中部分与总体部分与总体比比 较较实际与计划实际与计划比比 较较结结 构构相对数相对数计划完成计划完成相对数相对数注：注：有正逆指标有正逆指标同一时期比较同一时期比较同类现象比较同类现象比较（1）正确选择对比的基数；）正确选择对比的基数；（2）必

7、须注意统计的可比性；）必须注意统计的可比性；（3）相对指标要与总量指标相结合。）相对指标要与总量指标相结合。应用原则应用原则2f中位数位置中位数位置N+12例子见书42页ifSfLMmme-+-12&概念概念表明同类现象在一定时间、地点、条件下所达到的表明同类现象在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平，是总体内某个变量大小各异的观察值的一般水平，是总体内某个变量大小各异的观察值的代表性代表性数值。也是对变量分布数值。也是对变量分布集中趋势集中趋势的测定。的测定。数据集中区数据集中区变量变量xxxxxxnxnxxxxxn321 + + + + + + 分分平均成绩平均成绩7353655

8、8253649075 + + + + + + + + + + + fxfffxfxfxfxxnn332211权数解释权数解释权数（权数（Weighted），是分布数列中的频数或频率。），是分布数列中的频数或频率。对求平均数具有对求平均数具有权衡轻重权衡轻重的作用，是影响平均数变的作用，是影响平均数变动的两个因素之一（另一因素是变量值）。动的两个因素之一（另一因素是变量值）。(1) (2)(3)X456合计合计频数频数 频率频率(%)10201025.050.025.040100.0X456合计合计频数频数 频率频率(%)20402025.050.025.080100.0X456合计合计频数频数

9、 频率频率(%)20101050.025.025.080100.0 =5 =5 =4.75 频率分布变了，均值也变。因此，严格地说，频率分布变了，均值也变。因此，严格地说，权数应指权数应指频率频率。xxx 件件平均日产量平均日产量1620319 返回返回 公斤公斤平均日产量平均日产量422008400 返回返回 + + + + + + ffxffxffxffxffxxnn332211 ff)(42%1555%4545%3535%525公斤公斤平均日产量平均日产量 + + + + + + 返回返回x%10515001575)f()xf(% 计划产值计划产值实际产值实际产值平均计划完成平均计划完成

10、)(09f()xf(工时工时件件车间实际工时车间实际工时车间产品产量车间产品产量平均劳动生产率平均劳动生产率 返回返回0N1N ffpNN1 qNN0 PNN0N1fxfx01 + + 是是返回返回 0 xx - - 最小值最小值 - - 2xx0f)xx( - - 最小值最小值 - - fxx2xx 0设设cxx- - 0 22222220)()(2)()()()(ncxxncxxcxxcxxcxxxx+ +- - + +- -+ +- - + +- - - - - - - 为最小值为最小值22202)()()(0 - - - - - xxxxxxnc AxnAx

11、AxffAx xAnAx xA1nAx xAfAxf xA1ffAx 返回返回 + + + + + + x1x1x1x1x1nnHn321)(31132201101小时小时里里 + + + + + + + + + + + + xmnn3322xmn321mxmxmxmmmmmH11)(小时小时里里xm201152103103152201+ + +)(2912126103152201小时小时里里平均速度平均速度 + + + nnn321xxxxxG 33%450%70%90%80 三个车间平均合格率三个车间平均合格率10005047205048007201000800%70%90%80 ffff

12、nf3f2f1xxxxxGn3210 x%105%5000 xxx + +2000%105%5%105%105xxx + +%108%105%8%105%105202020 xxx + +23320%112%110%108%105x%77108%112%110%108%105102332 平均本利率平均本利率平均年利率平均年利率=8.77%=8.77%常用的几种平均数常用的几种平均数概概 念念 计算计算 公公 式式 特特 点点优点：灵敏度高优点：灵敏度高 受极值影响小受极值影响小于于 和和 适宜于各比率适宜于各比率之积为总比率的变之积为总比率的变量求平均量求平均缺点缺点:有有“ 0”或负或负值

13、时不能计算值时不能计算 偶数项数列只偶数项数列只能用正根能用正根2. 几何平均数几何平均数（ ）几个变量几个变量值连乘积值连乘积的的n次根次根简单：简单：加权：加权：GxniGxxififiGxxHxx概概 念念 计算计算 公公 式式 特特 点点3. 中位数中位数（Me）是一种位是一种位置平均数置平均数, ,数据数据按按大小顺序大小顺序排列，处排列，处于数据序于数据序列中间位列中间位置的数值置的数值就是中位就是中位数数 上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：ifSmfUMem+-1/2ifSmfLMem-+1/2优点：优点：容易容易理解，理解， 不受极值不受极值影响影响适宜于开口适宜于开口组

14、资料和些不组资料和些不能用数字测定能用数字测定的事物的事物缺点：缺点：灵敏灵敏度和计算功能度和计算功能差差 间断数间断数Me常用的几种平均数常用的几种平均数常用的几种平均数常用的几种平均数概概 念念 计算计算 公公 式式 特特 点点4. 众数众数（Mo）是一种位是一种位置平均数置平均数，是一批，是一批数据中出数据中出现次数最现次数最多的那个多的那个数值数值. .通通常只用于常只用于定性数据定性数据或离散型或离散型的定量数的定量数据。据。上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：优点：优点：容易容易理解，理解， 不受极值不受极值影响影响 缺点：缺点：灵敏灵敏度和计算功能度和计算功能差差 稳定性差稳

15、定性差 具 有 不 唯具 有 不 唯一性一性idddUMo+-212idddLMo+211位置平均数与算术平均数的关系位置平均数与算术平均数的关系1.众数众数适用于所有的定性数据和定量数据适用于所有的定性数据和定量数据 中位数中位数适用于定性数据中的定序数据和定量数据适用于定性数据中的定序数据和定量数据 算术平均数算术平均数只适用于定量数据只适用于定量数据2.定量数据定量数据:若是若是钟形分布，钟形分布，三种集中趋势指标一般三种集中趋势指标一般 都可适用。而都可适用。而对对J形形分布，分布，反反J形形分布和分布和U形分布，中位形分布，中位数和算术平均数没有任何意义。数和算术平均数没有任何意义。

16、3.3.在确定集中趋势指标的过程中，算术平均数比中位在确定集中趋势指标的过程中，算术平均数比中位数和众数使用了更多的数据信息数和众数使用了更多的数据信息 。4.对于钟形分布且数据量很大时，三种集中趋势指标有对于钟形分布且数据量很大时，三种集中趋势指标有如下三种数量关系：如下三种数量关系： XfXfXfMoMex(对称分布对称分布)MoMex正偏态分布正偏态分布（右）（右）MoMex负偏态分布负偏态分布(左）左）1212xxMeMeMoMoxMeMo应用平均指标的原则：应用平均指标的原则：1必须是同质的量方可平均；必须是同质的量方可平均；2总平均数与组平均数结合分析；总平均数与组平均数结合分析；

17、3集中趋势与离散趋势结合分析集中趋势与离散趋势结合分析概念概念标志变异指标是反映变量分布标志变异指标是反映变量分布离散趋势离散趋势、与平均、与平均指标指标相匹配相匹配的指标。的指标。 （1）反映变量分布的离散趋势；）反映变量分布的离散趋势； （3）是对事物发展均衡性的量度）是对事物发展均衡性的量度。 （2）是对平均数的代表性程度的量度；）是对平均数的代表性程度的量度；作用作用概概 念念 计计 算方法算方法 特特 点点是非众数组所是非众数组所占比重占比重 1异众异众比率比率 如百得便利超市如百得便利超市公司公司5050家门店按家门店按区域划分的众数区域划分的众数是是A区域，该组的区域，该组的次数

18、是次数是20家，所家，所以异众比率为以异众比率为60%，这说明，这说明5050家门店按区域划家门店按区域划分的离散程度比分的离散程度比较大，众数的代较大，众数的代表性较差。表性较差。 异众比率是反映异众比率是反映定名数据离散趋定名数据离散趋势的唯一指标，势的唯一指标，这个指标越小，这个指标越小，说明数据的离散说明数据的离散程度越小，集中程度越小，集中程度越大程度越大 概概 念念 计计 算算 特特 点点数列中最大值数列中最大值与最小值之差与最小值之差2极差极差 （R）R=最大值最大值-最小值最小值R=最大组的上限最大组的上限-最小组的下限最小组的下限 优点：容易理解，优点：容易理解， 计算方便计

19、算方便缺点：不能反映全缺点：不能反映全部数据分布状况部数据分布状况3四分四分位差位差 （M3- M1）/2 在反映数据的离在反映数据的离散程度方面比全散程度方面比全距较为准确，但距较为准确，但仍显粗略仍显粗略 是一批数据中是一批数据中的第三四分位的第三四分位数与第一四分数与第一四分位数之差的二位数之差的二分之一分之一 概概 念念 计计 算算 特特 点点4平均差平均差 （AD）各标志值与各标志值与均值离差绝均值离差绝对值的算术对值的算术平均平均iiffiXXAD-nXXADi-简单：简单：加权：加权：优点：反映全部优点：反映全部数据分布状况数据分布状况 缺点：取绝对值缺点：取绝对值 数字上数字上

20、 不尽合理不尽合理所 有 观 察 值所 有 观 察 值与 平 均 数 离与 平 均 数 离差 平 方 平 均差 平 方 平 均数 的 平 方 根数 的 平 方 根， 亦 称 均 方， 亦 称 均 方差 。 标 准 差差 。 标 准 差的 平 方 即 为的 平 方 即 为方差。方差。 5方差方差（2 s2） 和和 标准差标准差( s)优点：反映全部优点：反映全部数据分布状况，数据分布状况，数字上合理。数字上合理。缺点：受计量单缺点：受计量单位和平均水平影位和平均水平影响，不便于比较响，不便于比较简单简单：加权加权：ffXX-22nXXi22-21)(22-nxxS1)(22-ffxxS2ss 概

21、概 念念 计计 算算 特特 点点6标准标准差系差系 数数 （V）标准差与标准差与均值之商均值之商，是无量，是无量纲的纲的两列数据的分布进行离两列数据的分布进行离散程度的比较，当它们散程度的比较，当它们的的平均数不等、计量单平均数不等、计量单位不同时位不同时则应消除平均则应消除平均数不同和计量单位不可数不同和计量单位不可比的影响。此时就需要比的影响。此时就需要用离散系数这种相对数用离散系数这种相对数来是测定离散趋势来是测定离散趋势 XV方差（方差（2）和标准差（）和标准差（）是应用最广的标志变异指标）是应用最广的标志变异指标样本标准差样本标准差偏度偏度:是测定数据分布的偏斜程度的指标是测定数据分布的偏斜程度的指标.。 定义定义M=(X-A)k/n为变量为变量X关于关于A的的k阶矩阶矩。 当当A=0，即以原点为中心，上式称为，即以原点为中心，上式称为“K阶原点矩阶原点矩”。K=1，2，3时，有：时，有：一阶原点矩一阶原点矩M1=(X-0)1/n=X/n二阶原点矩二阶原点矩M2=(X-0)2/n=X2/n三阶原点矩三阶原点矩M3=(X-0)3/n=X3/n 当当A= 0 ，即以，即以 为中心，上式称为为中心，上式称为“K阶中心矩阶中心矩”。xK=1，2，3时，有：时，有：0/)(11-nXXmnXXm/)(22-nXXm/)(33- 所以，所以，m3可以测定偏度。为消除量纲