第十三章非参数检验

1、职教学院 刘春雷E-mail：教育统计学12假设检验的方法有两种：参数检验和非参数检验。假设检验的方法有两种：参数检验和非参数检验。以上所讲的以上所讲的Z、t、F检验都是检验都是参数检验参数检验。它们是根据样本的信息对相应的总体它们是根据样本的信息对相应的总体参数参数（、2、）的假设检验。的假设检验。这种检验是以样本所属的总体呈这种检验是以样本所属的总体呈正态正态分布，两个总体分布，两个总体（或几个总体）方差（或几个总体）方差齐性齐性为假设条件。为假设条件。它适用于它适用于等距等距变量和变量和比率比率变量的资料。变量的资料。第十三章 非参数检验3假设检验的方法有两种：参数检验和非参数检验。假设

2、检验的方法有两种：参数检验和非参数检验。非参数检验方法非参数检验方法在实际研究工作中，样本所属的总体分布形态一般是未在实际研究工作中，样本所属的总体分布形态一般是未知的，所获得的资料也不一定是等距变量或比率变量，因此知的，所获得的资料也不一定是等距变量或比率变量，因此需要采用新的统计方法进行检验。需要采用新的统计方法进行检验。这种检验方法不要求样本所属的总体呈正态分布，一般这种检验方法不要求样本所属的总体呈正态分布，一般也不是对总体参数进行检验，故称之为也不是对总体参数进行检验，故称之为自由分布的非参数检自由分布的非参数检验方法验方法。第十三章 非参数检验4非参数检验非参数检验不仅适用于不仅适

3、用于非正态非正态总体名义变量和次序变量的资料，总体名义变量和次序变量的资料，而且也适用于而且也适用于正态正态总体等距变量和比率变量的资料。总体等距变量和比率变量的资料。不不需要对两个总体需要对两个总体方差方差作齐性的假定，作齐性的假定，计算简单，适合处理计算简单，适合处理小样本小样本资料。资料。应用范围较参数检验广泛。应用范围较参数检验广泛。但其灵敏性和精确度不如参数检验。但其灵敏性和精确度不如参数检验。第十三章 非参数检验5第十三章 非参数检验第一节第一节 符号检验符号检验第二节第二节 符号秩次检验符号秩次检验第三节第三节 秩和检验秩和检验第四节第四节 中位数检验中位数检验第五节第五节 单向

4、秩次方差分析单向秩次方差分析第六节第六节 双向秩次方差分析双向秩次方差分析6第一节 符号检验符号检验符号检验是通过对两个是通过对两个相关样本相关样本的每对数据之差的符号（正号或的每对数据之差的符号（正号或负号）进行检验，以比较这两个样本负号）进行检验，以比较这两个样本差异的显著性差异的显著性。检验的基本方法检验的基本方法将两个样本中每对数据之差用将两个样本中每对数据之差用正负号正负号表示。表示。大于，记正号；小于，记负号；相等，记零。大于，记正号；小于，记负号；相等，记零。如果两个样本无显著性差异，正号与负号的数量应相等，如果两个样本无显著性差异，正号与负号的数量应相等，或接近或接近相等相等。

5、如果绝大部分是正号（或负号），两个样本有显著性差如果绝大部分是正号（或负号），两个样本有显著性差异的可能性较大。异的可能性较大。7第一节 符号检验一、一、小样本小样本的情况的情况当样本容量较小，当样本容量较小，nX2）=P（X1X2）P（X1X2）出现的概率）出现的概率等于等于负号负号（X1X2记为记为“+”号，号，X11= r0.05 ，按照表，按照表13.2单侧符号检验统计决断规则，单侧符号检验统计决断规则，P0.05。所以本例若在所以本例若在0.10显著性水平上作决断，则更应显著性水平上作决断，则更应保留保留H0而拒绝而拒绝H1。其其结论结论为：三岁幼儿五种颜色命名教学与不教学成绩为：三

6、岁幼儿五种颜色命名教学与不教学成绩无无显著差显著差异。异。12第一节 符号检验由于由于符号检验表是单侧检验表符号检验表是单侧检验表，进行，进行双侧检验双侧检验时，其显著性水时，其显著性水平应平应乘以乘以2。（符号检验是以二项分布为基础的，符号检验表。（符号检验是以二项分布为基础的，符号检验表就是根据二项分布编制的）就是根据二项分布编制的）表表13.2 单侧符号检验统计决断规则单侧符号检验统计决断规则r与临界值的比较与临界值的比较 P值值检验结果检验结果显著性显著性rr0.05P0.05保留保留H0拒绝拒绝H1不显著不显著r0.01rr0.050.0125时，二项分布接近于时，二项分布接近于正态

7、正态分布，因分布，因此可用正态分布近似处理。此可用正态分布近似处理。试检验表试检验表7.2中中32个学生三天集中射击训练是否有显著效果？个学生三天集中射击训练是否有显著效果？检验的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0：P（X1X2）P（X1X2）P（X1X2）出现的概率小于或等于负号（）出现的概率小于或等于负号（X1n/2rn/2时，则时，则r-0.5r-0.5，当，当rn/2rn/2时，则时，则r+0.5r+0.5。上表上表n n+=22=22，n n-=9=9，n=nn=n+n+n-=22+9=31=22+9=31，r=9r=9。由于由于931/2931/2，校正公式检验统计量的

8、值为：，校正公式检验统计量的值为： 16. 2-31212315 . 09Z17第一节 符号检验二、大样本的情况二、大样本的情况检验的步骤：检验的步骤：（3）确定检验形式）确定检验形式过去没有资料说明三天集中射击训练效果显著，所以采用右侧过去没有资料说明三天集中射击训练效果显著，所以采用右侧检验。检验。（4）统计决断）统计决断实际计算出的实际计算出的|Z|=2.16，Z0.05=1.652.16*2.33=Z0.01，则，则0.01P0.05，按单侧按单侧Z检验统计决断规则，在检验统计决断规则，在0.05显著性水平上拒绝显著性水平上拒绝H0接受接受H1。其结论为：三天集中射击训练有显著效果。其

9、结论为：三天集中射击训练有显著效果。18第一节 符号检验符号检验的符号检验的优点优点：无须对所要检验的两个总体分布形态以及方差的齐性作任无须对所要检验的两个总体分布形态以及方差的齐性作任何假定，何假定，并且计算简单迅速，并且计算简单迅速，不足不足：只考虑符号的正负，不考虑差数数值的大小，因此失去了只考虑符号的正负，不考虑差数数值的大小，因此失去了一部分样本所提供的信息。一部分样本所提供的信息。对于同一组数据，采用符号检验的精确度，只是对于同一组数据，采用符号检验的精确度，只是t检验的检验的60%因此除因此除小样本小样本外，一般不采用符号检验。外，一般不采用符号检验。19第二节 符号秩次检验为了

10、克服符号检验的缺点，威尔科克逊（为了克服符号检验的缺点，威尔科克逊（F. Wilcoxon）提出）提出了既考虑差数了既考虑差数符号符号，又考虑差数，又考虑差数大小大小的符号秩次检验法。的符号秩次检验法。当比较两个当比较两个相关样本相关样本的差异时，威尔科克逊的差异时，威尔科克逊符号秩次检验法符号秩次检验法：是将两个样本每对数据是将两个样本每对数据差差的绝对值从的绝对值从小到大小到大排列，并赋予排列，并赋予每一个差数以每一个差数以秩次（等级秩次（等级），然后再给差数记上正、负号。），然后再给差数记上正、负号。如果两个样本无显著性差异，正秩和与负秩和应当相等或如果两个样本无显著性差异，正秩和与负秩

11、和应当相等或接近接近相等相等，如果正秩和与负秩和相差如果正秩和与负秩和相差较大较大，那么，两个样本有显著性，那么，两个样本有显著性差异的可能性较大。差异的可能性较大。20第二节 符号秩次检验一、小样本的情况一、小样本的情况当样本容量当样本容量nX2）=P（X1X2）P（X1X2）H0是说：正秩和与负秩和基本相等；是说：正秩和与负秩和基本相等；H1是说：正秩和与负秩和不相等。是说：正秩和与负秩和不相等。（2）求差数的绝对值）求差数的绝对值计算每对计算每对X1与与X2的差数，但先不记符号。的差数，但先不记符号。22第二节 符号秩次检验检验的步骤：检验的步骤：（3）编秩次）编秩次根据差数的绝对值从小

12、到大编秩次。根据差数的绝对值从小到大编秩次。差数为差数为0，表示无差别，不予以编秩次。，表示无差别，不予以编秩次。差数绝对值最小的秩次编为差数绝对值最小的秩次编为1，最大的秩次编作，最大的秩次编作n。差数绝对值相等的秩次，可用它们的秩次差数绝对值相等的秩次，可用它们的秩次所占位置的平均所占位置的平均数数来代替。来代替。（4）记号）记号按差数的正负，给秩次记上按差数的正负，给秩次记上“+”、“-”23第二节 符号秩次检验检验的步骤：检验的步骤：（5）求秩和）求秩和分别计算正秩和（分别计算正秩和（T+）与负秩和（）与负秩和（T-）。）。正秩和正秩和T+=7+2.5+5.5+9+5.5+8+10=4

13、7.5负秩和负秩和T-=2.5+1+4=7.5将正秩和与负秩和中较小的一个用将正秩和与负秩和中较小的一个用T来表示，即来表示，即T=7.5。24第二节 符号秩次检验检验的步骤：检验的步骤：（6）统计决断）统计决断与符号检验相同，实际计算出的与符号检验相同，实际计算出的T值越大于值越大于T的临界值，的临界值，X1与与X2差异越不显著；差异越不显著；T值越小于临界值，差异越显著值越小于临界值，差异越显著。本例根据本例根据n=10（因为有两个差数为（因为有两个差数为0，故未计算在内）及，故未计算在内）及显著性水平，查符号秩次检验表，双侧显著性水平，查符号秩次检验表，双侧T的临界值的临界值T0.05=

14、8。而实际计算的而实际计算的T=7.5*8=T0.05，按照表，按照表13.5符号秩次检验符号秩次检验统计决断规则，则统计决断规则，则PT0.05P0.05保留保留H0拒绝拒绝H1不显著不显著T0.01TT0.050.0125时，二项分布接近于时，二项分布接近于正态正态。于是可用正。于是可用正态分布近似处理。态分布近似处理。现对上述现对上述32个学生三天射击训练前后的测验得分，进行符个学生三天射击训练前后的测验得分，进行符号秩次检验。号秩次检验。检验的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0 0：P（X1 1X2 2）P（X1 1X2 2）P（X1 125，T的抽样分布接近于正态，可用正

15、态分布近的抽样分布接近于正态，可用正态分布近似处理。似处理。T的总体的总体平均数平均数为为41nnTT T的总体的总体标准差标准差为为24121nnnT以上二式中以上二式中n n表示表示n+n+与与n-n-之和。之和。28第二节 符号秩次检验检验的步骤：检验的步骤：（4）选择检验统计量并计算其值）选择检验统计量并计算其值其检验统计量为其检验统计量为241214/1nnnnnTTZTT这里这里T T表示正秩和与负秩和中数值较小的一个。表示正秩和与负秩和中数值较小的一个。将有关数据代入（将有关数据代入（13.513.5）式，则）式，则 13. 2241312131314/131315 .139Z2

16、9第二节 符号秩次检验检验的步骤：检验的步骤：（5）确定检验的形式）确定检验的形式过去的资料说明三天中射击训练有显著效果，故采用过去的资料说明三天中射击训练有显著效果，故采用右侧右侧检验。检验。（6）统计决断）统计决断实际计算出的实际计算出的|Z|=2.13， Z0.050.05=1.652.16*2.33=Z0.010.01，则，则0.01P0.05，按单侧按单侧Z检验统计决断规则，在检验统计决断规则，在0.05显著性水平上拒绝显著性水平上拒绝H0 0接受接受H1 1。其。其结论结论为：三天集中射击训练有显著效果。为：三天集中射击训练有显著效果。该组资料用平均数差异的显著性检验、符号检验和符

17、号秩次检该组资料用平均数差异的显著性检验、符号检验和符号秩次检验结果相同。验结果相同。30第三节 秩和检验当比较当比较两个独立样本两个独立样本的的差异差异时，可以采用曼时，可以采用曼-惠特尼（惠特尼（Mann-Whitney）两人提出的）两人提出的秩和检验方法秩和检验方法。又称曼。又称曼-惠特尼惠特尼U检验法。检验法。一、一、小样本小样本的情况的情况当两个当两个独立独立样本的容量样本的容量n1 1和和n2 2都都小于小于10，并且，并且n1 1n2 2时，时，可将两个样本的数据可将两个样本的数据合在一起合在一起，按数据从小到大的顺序，按数据从小到大的顺序，给每一个数据编秩次，最小的数据秩次编为

18、给每一个数据编秩次，最小的数据秩次编为1，最大数据的秩，最大数据的秩次编为次编为n1 1+n2 2。如果两个样本如果两个样本无无显著性差异，那么，两个样本的秩次和应显著性差异，那么，两个样本的秩次和应当当相等相等。如果两个样本的秩次和相差较如果两个样本的秩次和相差较大大，那么，两个样本有显著，那么，两个样本有显著性差异的可能性较性差异的可能性较大大。31第三节 秩和检验从某班随机抽取从某班随机抽取5名走读生和名走读生和6名住宿生，测得英语口语分数名住宿生，测得英语口语分数如表如表13.7所示，问走读生和住宿生英语口语成绩是否有显著性所示，问走读生和住宿生英语口语成绩是否有显著性差异？差异？检验

19、的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0 0：两组英语口语测验成绩相同：两组英语口语测验成绩相同H1 1：两组英语口语测验成绩不相同：两组英语口语测验成绩不相同32第三节 秩和检验（2）编秩次）编秩次将两组数据放在一起由小到大编秩次，编秩次的方法与符号秩将两组数据放在一起由小到大编秩次，编秩次的方法与符号秩次检验编秩次的方法相同。次检验编秩次的方法相同。表表13.7 走读生与住宿生英语口语测验分数秩和检验用表走读生与住宿生英语口语测验分数秩和检验用表原始分数原始分数秩次秩次走读生走读生住宿生住宿生走读生走读生住宿生住宿生425661038493.58356021141435732381

20、3.555917.533第三节 秩和检验检验的步骤：检验的步骤：（3）求秩和）求秩和计算样本容量较小一组的秩次和，并用计算样本容量较小一组的秩次和，并用T表示，表示，T=17.5（4）统计决断）统计决断根据根据n1 1=5，n2 2=6及及0.05（双侧的概率为（双侧的概率为0.05，而单侧的概率为，而单侧的概率为0.025）显著性水平，）显著性水平，查秩和检验表，找到左侧临界值查秩和检验表，找到左侧临界值T1 1=19，右侧临界值，右侧临界值T2 2=41。由于实际计算出的由于实际计算出的T=17.5*19=T1 1，按表按表13.8秩和检验统计决断规则，在秩和检验统计决断规则，在0.05显

21、著性水平上拒绝显著性水平上拒绝H0 0而接受而接受H1 1。其其结论结论：走读生和住宿生英语口语测验分数有显著性差异。：走读生和住宿生英语口语测验分数有显著性差异。34第三节 秩和检验表表13.8 秩和检验统计决断规则秩和检验统计决断规则T与两侧临界值相比较与两侧临界值相比较显著性显著性T1TT2不显著不显著TT1或或TT2显著显著35第三节 秩和检验二、二、大样本大样本的情况的情况当两个当两个独立独立样本的样本的n1 1和和n2 2都都大于大于10，T分布接近于分布接近于正态正态，对于两个样本的差异可以用正态分布的对于两个样本的差异可以用正态分布的Z比率进行检验。比率进行检验。例如：例如：某

22、师范学校书法比赛男女学生得分如表某师范学校书法比赛男女学生得分如表13.9，问男女学生书法，问男女学生书法比赛成绩是否有显著性差异？比赛成绩是否有显著性差异？检验的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0 0：男女学生书法成绩相同：男女学生书法成绩相同H1 1：男女学生书法成绩不相同：男女学生书法成绩不相同（2）编秩次）编秩次将男女生原始分数合在一起，按从小到大的顺序编秩次。将男女生原始分数合在一起，按从小到大的顺序编秩次。36第三节 秩和检验表表13.9 男女学生书法比赛成绩的秩和检验用表男女学生书法比赛成绩的秩和检验用表序号序号原始分数原始分数秩次秩次男男女女男男女女12430817

23、.521827412.53361921.55440362321.552526910.56284114.5247301617.538212267914151210262810.514.5112931161912273212.520134225144326总和总和T=143.537第三节 秩和检验（3）求秩和）求秩和计算样本容量较小一组的秩次和，并用计算样本容量较小一组的秩次和，并用T表示。表示。T=143.5。（4）计算检验统计量的值）计算检验统计量的值由于由于n1 1=12，n2 2=14，两组容量都大于，两组容量都大于10，故可用正态近似处，故可用正态近似处理。理。其平均数为：其平均数为：

24、标准差为：标准差为： n n1 1较小的样本容量较小的样本容量n n2 2较大的样本容量较大的样本容量21211nnnT1212121nnnnT38第三节 秩和检验（4）计算检验统计量的值）计算检验统计量的值其检验统计量为其检验统计量为这里这里T表示样本容量较小一组的秩次和。表示样本容量较小一组的秩次和。将将n1 1=12，n2 2=14，T=143.5代入（代入（13.8）式，则）式，则1212/12121211nnnnnnnTTZTT95. 0121141214122/11412125 .143Z39第三节 秩和检验检验的步骤：检验的步骤：（5）统计决断）统计决断由于由于|Z|=0.950

25、.05，根据双侧根据双侧Z检验统计决断规则，应保留检验统计决断规则，应保留H0 0而拒绝而拒绝H1 1。其其结论结论为：男女学生书法比赛成绩为：男女学生书法比赛成绩无无显著性差异。显著性差异。40第四节 中位数检验次序变量的数据常以次序变量的数据常以中位数中位数作为作为集中量集中量，以四分位距或百分位，以四分位距或百分位距作为距作为差异量差异量。对两个或几个对两个或几个独立样本中位数独立样本中位数的比较，可以采用的比较，可以采用非参数检验法非参数检验法。中位数的检验中位数的检验方法方法是将各组样本数据是将各组样本数据合在一起合在一起找出共同的中位数，找出共同的中位数，然后分别计算每个样本在共同

26、中位数上、下的然后分别计算每个样本在共同中位数上、下的频数频数，再进行再进行rc表表2检验检验。41第四节 中位数检验一、一、两个两个样本中位数的检验样本中位数的检验例如：例如：两所学校的计算机算法语言学习小组统一测验成绩，甲校为两所学校的计算机算法语言学习小组统一测验成绩，甲校为16、12、20、15、23、8、16、19；乙校为；乙校为22、17、26、24、8、7、25、28。问甲乙两校计算机算法语言成绩是否有显著。问甲乙两校计算机算法语言成绩是否有显著性差异？性差异？检验的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0 0：两校计算机算法语言学习成绩相等：两校计算机算法语言学习成绩相等

27、H1 1：两校计算机算法语言学习成绩不相等：两校计算机算法语言学习成绩不相等42第四节 中位数检验检验的步骤：检验的步骤：（2）求共同的中位数）求共同的中位数将两组数据合在一起，从小到大排列，寻找共同的中位数，由将两组数据合在一起，从小到大排列，寻找共同的中位数，由于于n1 1=8，n2 2=8，n1 1+n2 2=16，则第，则第8与第与第9个位置上的数据之平个位置上的数据之平均数即为共同的中位数。均数即为共同的中位数。1821917Md43第四节 中位数检验检验的步骤：检验的步骤：（3）统计中位数上下的频数）统计中位数上下的频数分别统计两组数据在中位数上下的频数，并列成分别统计两组数据在中

28、位数上下的频数，并列成22表。表。表表13.10 两组计算机算法语言成绩中位数的两组计算机算法语言成绩中位数的2检验用表检验用表校别校别中位数以上中位数以上中位数以下中位数以下总和总和甲甲a=3b=5a+b=8乙乙c=5d=3c+d=8总和总和a+c=8b+d=8N=1644第四节 中位数检验检验的步骤：检验的步骤：（4）计算）计算2值值由于由于df=1，N=1630，可采用四格表缩减的校正公式计算，可采用四格表缩减的校正公式计算2值值25. 088884021655332222dcdbcabaNNbcad45第四节 中位数检验检验的步骤：检验的步骤：（5）统计决断）统计决断根据根据df=1，

29、查，查2值表，找到值表，找到2(1)0.05=3.84，由于实际计算出的由于实际计算出的2=0.250.05，按照按照2检验统计决断规则，应保留检验统计决断规则，应保留H0而拒绝而拒绝H1。其其结论结论为：甲乙两校计算机算法语言测验成绩无显著性差异。为：甲乙两校计算机算法语言测验成绩无显著性差异。46第四节 中位数检验二、二、多组多组中位数的检验中位数的检验例如：例如：从三个幼儿园的四岁幼儿中随机各抽取一个小组，测得看图从三个幼儿园的四岁幼儿中随机各抽取一个小组，测得看图说话成绩，甲园为说话成绩，甲园为13、16、11、15、7；乙园为；乙园为8、10、6、4、14；丙园为；丙园为9、4、3、

30、2、6、5。问甲、乙、丙三个幼儿。问甲、乙、丙三个幼儿园四岁幼儿看图说话成绩是否有显著性差异？园四岁幼儿看图说话成绩是否有显著性差异？检验的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0：三个幼儿园的四岁幼儿看图说话成绩相同：三个幼儿园的四岁幼儿看图说话成绩相同H1：三个幼儿园的四岁幼儿看图说话成绩不同：三个幼儿园的四岁幼儿看图说话成绩不同47第四节 中位数检验检验的步骤：检验的步骤：（2）求共同的中位数）求共同的中位数将三组数据合在一起，从小到大排列，将三组数据合在一起，从小到大排列，n1=5，n2=5， n2=6， N=n1+n2+n3=5+5+6=16，则第则第8与第与第9个位置上的数据

31、之平均数即为共同的中位数。个位置上的数据之平均数即为共同的中位数。5 . 7287Md48第四节 中位数检验检验的步骤：检验的步骤：（3）统计中位数上、下的频数）统计中位数上、下的频数分别统计三组数据在共同中位数上下的频数，并列成分别统计三组数据在共同中位数上下的频数，并列成32表。表。表表13.11 三组幼儿看图说话成绩中位数的三组幼儿看图说话成绩中位数的2检验用表检验用表园别园别中位数以上中位数以上中位数以下中位数以下总和总和甲甲415=nr1乙乙325= nr2丙丙156=nr3总和总和8=nc18=nc216= N49第四节 中位数检验检验的步骤：检验的步骤：（4）计算）计算2值值用用

32、32表表2的缩减公式计算的缩减公式计算2值值67. 41-86585416122202crnnfN（5 5）统计决断）统计决断根据根据df=(r-1)(c-1)=(3-1)(2-1)=2df=(r-1)(c-1)=(3-1)(2-1)=2，查，查2值表，找到值表，找到2(2)0.05=5.99=5.99，而实际计算出的，而实际计算出的2=4.675.99=4.670.05P0.05，按，按2检验统计决断规则，保留检验统计决断规则，保留H H0而拒绝而拒绝H H1。其其结论结论为：甲乙丙三个幼儿园四岁幼儿看图说话成绩无显著为：甲乙丙三个幼儿园四岁幼儿看图说话成绩无显著性差异。性差异。50第五节

33、单向秩次方差分析对于几个对于几个独立独立样本的差异显著性，可以用克鲁斯尔样本的差异显著性，可以用克鲁斯尔（W.H.Kruskal）和沃利斯（）和沃利斯（W.A.Wallis）所提出的）所提出的单向秩单向秩次方差分析次方差分析进行检验。进行检验。这种方法又称这种方法又称H检验法。它相当于对检验法。它相当于对多组平均数多组平均数所进行的参所进行的参数的方差分析。数的方差分析。但是它但是它不不需要对样本所属的几个总体作需要对样本所属的几个总体作正态正态分布及分布及方差方差齐性齐性的假定。它是用秩次进行的非参数的方差分析。的假定。它是用秩次进行的非参数的方差分析。51第五节 单向秩次方差分析检验方法：

34、检验方法：将所有样本的数据将所有样本的数据合在一起合在一起，按从小到大编秩次，然，按从小到大编秩次，然后计算各样本的后计算各样本的秩次和秩次和。如果各组有显著性差异，在各组容量相等的情况下，如果各组有显著性差异，在各组容量相等的情况下，各组秩次和应当相等或趋于各组秩次和应当相等或趋于相等相等；如果各组秩次和如果各组秩次和相差较大相差较大，那么各组有显著性差异的，那么各组有显著性差异的可能性较大。可能性较大。52第五节 单向秩次方差分析一、样本容量较一、样本容量较小小或组数较或组数较少少的情况的情况当各组容量当各组容量n5，或者样本组数，或者样本组数K3，可用下式作为检验统，可用下式作为检验统计

35、量。计量。 （13.9）N各组频数总和各组频数总和n每个组的频数总和每个组的频数总和R每个组的秩次和每个组的秩次和13) 1(122NnRNNH53第五节 单向秩次方差分析例如：例如：三个小组图画成绩如表三个小组图画成绩如表13.12，问三组成绩是否有显著性差，问三组成绩是否有显著性差异？异？表表13.12 三组图画成绩的单向秩次方差分析表三组图画成绩的单向秩次方差分析表序号序号原始分数原始分数秩次秩次甲甲乙乙丙丙甲甲乙乙丙丙16245855.511427760791041236878827111345456762395706285.5总和总和N=5+5+4=14R1=32.5R2=24.5R

36、3=4854第五节 单向秩次方差分析检验的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0：三组图画作业成绩相同：三组图画作业成绩相同H1：至少有两组图画作业成绩不同：至少有两组图画作业成绩不同（2）编秩次并求其和）编秩次并求其和将甲乙丙三组数据放在一起，从小到大编秩次，然后分别将甲乙丙三组数据放在一起，从小到大编秩次，然后分别计算各组的秩次和。计算各组的秩次和。 R1=32.5，R2=24.5，R3=48。55第五节 单向秩次方差分析检验的步骤：检验的步骤：（3）计算检验统计量的值）计算检验统计量的值甲乙丙三组独立样本，各组样本容量都小于等于甲乙丙三组独立样本，各组样本容量都小于等于5，样本的

37、，样本的组数组数K=3，于是可用，于是可用H检验检验来比较三组成绩差异的显著性。来比较三组成绩差异的显著性。将有关数据代入，则将有关数据代入，则846. 6114344855 .2455 .32) 114(1412222H56第五节 单向秩次方差分析检验的步骤：检验的步骤：（4）统计决断）统计决断根据组数根据组数K=3，各组容量，各组容量n1=5，n2=5，n3=4，查查H检验表，找到样本容量为检验表，找到样本容量为5、5、4，H=7.7914的概率为的概率为0.010；H=5.6657的概率为的概率为0.049。而实际计算出的而实际计算出的H值值5.66576.846*7.7914，则，则0

38、.010P5，或者样本组数，或者样本组数K3，由公式，由公式13.9计算的计算的H值，值，其抽样分布接近于自由度其抽样分布接近于自由度df=K-1的的2分布，分布，因此可进行因此可进行2检验。检验。13) 1(122NnRNNH58第五节 单向秩次方差分析例如：四个半导体收音机装配小组的测验成绩如表例如：四个半导体收音机装配小组的测验成绩如表13.13，问，问四个小组成绩是否有显著性差异？四个小组成绩是否有显著性差异？表表13.13 四个半导体收音机装配组测验成绩的单向秩次方差分析用表四个半导体收音机装配组测验成绩的单向秩次方差分析用表序号序号原始分数原始分数秩次秩次甲甲乙乙丙丙丁丁甲甲乙乙丙

39、丙丁丁11117534101312421420102811169213188730146.54.522419249241518.5818.556278362.5206.52567216334.5172.52371512总和总和69=R191=R231.5=R3133.5=R459第五节 单向秩次方差分析检验的步骤：检验的步骤：（1）提出假设）提出假设H0：四个组半导体收音机装配成绩相等：四个组半导体收音机装配成绩相等H1：至少有两组导体收音机装配成绩不相等：至少有两组导体收音机装配成绩不相等（2）编秩次并求其和）编秩次并求其和将甲乙丙丁四组的数据放在一起，按从小到大编秩次，然后将甲乙丙丁四组的

40、数据放在一起，按从小到大编秩次，然后分别计算各组的秩次和。分别计算各组的秩次和。 R1=69，R2=91，R3=31.5，R4=133.5。60第五节 单向秩次方差分析检验的步骤：检验的步骤：（3）计算检验统计量的值）计算检验统计量的值N=n1+n2+n3+n4=7+6+6+6=25，将有关数据代入，则，将有关数据代入，则927.17125365 .13365 .31691769) 125(25122222H61第五节 单向秩次方差分析检验的步骤：检验的步骤：（4 4）统计决断）统计决断四个独立样本的容量均大于四个独立样本的容量均大于5 5，组数，组数K=43K=43，H H的抽样分布接近于自

41、由度的抽样分布接近于自由度df=K-1df=K-1的的2分布，分布，于是根据于是根据df=4-1=3df=4-1=3，查，查2值表，找到值表，找到2(3)0.005=12.84=12.84。由于由于H=17.927H=17.927*12.84=212.84=2(3)0.005 ，则，则P0.005P0.005，于是在于是在0.0050.005显著性水平上拒绝显著性水平上拒绝H H0而接受而接受H H1。其其结论结论：至少有两个半导体收音机装配小组的成就有极其显：至少有两个半导体收音机装配小组的成就有极其显著性差异。著性差异。62第六节 双向秩次方差分析上一节的单向秩次方差分析，是处理几个上一节

42、的单向秩次方差分析，是处理几个独立独立样本的资料。样本的资料。本节的双向秩次方差分析，是处理几个本节的双向秩次方差分析，是处理几个相关相关样本的资料。样本的资料。例如，例如，同一批对象先后接受同一批对象先后接受k k次实验处理所获得的资料；次实验处理所获得的资料；或根据某些条件相同的原则，匹配而成或根据某些条件相同的原则，匹配而成k k组对象，各接受组对象，各接受一种实验处理所获得的资料。一种实验处理所获得的资料。63第六节 双向秩次方差分析检验方法检验方法单向秩次方差分析是将各组的数据单向秩次方差分析是将各组的数据放在一起放在一起进行编秩次，进行编秩次，而双向秩次方差分析是在同一个对象（或匹

43、配的对象）而双向秩次方差分析是在同一个对象（或匹配的对象）接受接受k k次实验处理所获得的原始次实验处理所获得的原始数据之间数据之间编秩次。编秩次。如果各次实验导致差异不显著，各次实验产生的如果各次实验导致差异不显著，各次实验产生的秩次和秩次和应当相等或趋于应当相等或趋于相等相等；如果各次实验秩次和如果各次实验秩次和相差较大相差较大，那么，实验产生显著性，那么，实验产生显著性差异的可能性较大。差异的可能性较大。64第六节 双向秩次方差分析一、样本容量较一、样本容量较小小及实验次数较及实验次数较少少的情况的情况当样本容量当样本容量n9n9，K=3K=3；或；或n4n4，K=4K=4时，可利用下式

44、作为检时，可利用下式作为检验统计量：验统计量： （13.1013.10）n n各次实验样本的各次实验样本的容量容量（因为是相关样本，故各次实验的（因为是相关样本，故各次实验的n n相等）相等）K K实验的实验的次数次数R R各次实验的各次实验的秩次和秩次和1311222KnRKnKr65第六节 双向秩次方差分析例如例如五位教师对甲乙丙三篇作文所作的评价如表五位教师对甲乙丙三篇作文所作的评价如表13.1413.14，问三篇作，问三篇作文被评价的成绩是否相同？文被评价的成绩是否相同？表表13.14 13.14 五位教师对三篇作文成绩评价的双向秩次检验用表五位教师对三篇作文成绩评价的双向秩次检验用表

45、教师教师序号序号原始分数原始分数秩次秩次甲甲乙乙丙丙甲甲乙乙丙丙13824303122342832312346373032142129261325404542132总和总和11=R110=R29=R366第六节 双向秩次方差分析检验的步骤：检验的步骤：（1 1）提出假设）提出假设H H0：三篇作文被评价的成绩相同：三篇作文被评价的成绩相同H H1：至少有两篇作文被评价的成绩不相同：至少有两篇作文被评价的成绩不相同（2 2）编秩次）编秩次将同一位教师给三篇作文评定的分数，从小到大编秩次。将同一位教师给三篇作文评定的分数，从小到大编秩次。（3 3）求秩和）求秩和分别计算甲乙丙三篇作文分数的秩次和。

46、分别计算甲乙丙三篇作文分数的秩次和。 R R1=11=11，R R2=10=10，R R3=9=9。67第六节 双向秩次方差分析检验的步骤：检验的步骤：（4 4）计算检验统计量的值）计算检验统计量的值五位教师对三篇作文的评定，相当于对五个被试先后进行三五位教师对三篇作文的评定，相当于对五个被试先后进行三种不同的实验处理。组成种不同的实验处理。组成n=5n=5的三个相关样本。的三个相关样本。由于由于n=59n=59，K=3K=3，检验统计量为：，检验统计量为：40. 01353910111335122222r68第六节 双向秩次方差分析检验的步骤：检验的步骤：（5 5）统计决断）统计决断根据根据n=5n=5，K=3K=3，查，查r2 2值表，值表，0.0930.093显著性水平上显著性水平上r2 2的临界值为的临界值为5.25.2，而实际计算出的而实际计算出的r2 2=0.40=0.40，0.405.20.400.093P0