专题4：韦达定理应用探讨

1、初中学习资料整理总结专题 4：韦达定理应用探讨一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。典型例题：例 1：（ 2012 湖北武汉 3 分） 若 x1、 x2 是一元二次方程x23x 2 0 的两根，则 x1 x2 的值是【】A 2B 2C3D 1【答案】 C。【考点】 一元二次方程根与系数的关系。【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系，得x1x2 3。故选 C。例 2：（ 2001湖 北 武 汉 3 分 ） 若 x1、 x2 是 一 元 二 次 方 程 x2 4x 3 0 的 两 个 根 ，则 x12 的 值·x是 【】A.4.B

2、.3.C. 4.D.3.【答案】 B 。【考点】一元二次方程根与系数的关系。【分析】 根 据 一 元 二 次 方 程 的 根 与 系 数 的 关 系 ， 得 x 1c3x2 = =3。故选 B。a1例 3：（ 2012 山东烟台 3 分） 下列一元二次方程两实数根和为4 的是【】A x2+2x 4=0B x2 4x+4=0Cx2+4x+10=0D x2+4x 5=0【答案】 D。【考点】 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】 根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为4，必须方程根的判别式 =b2 4ac0，且 x1+x 2= b =4。据此逐一作出判断：a

3、A x22 4ac=20 0， xb+2x 4=0： =b1+x 2= = 2，所以本选项不合题意；aB x24x+4=0 ： =b2 4ac=0， x1+x 2= b =4，所以本选项不合题意；aC x2+4x+10=0 ： =b2 4ac= 28 0，方程无实数根，所以本选项不合题意；22 4ac=36 0， x1 2b= 4，所以本选项符号题意。D x +4x 5=0： b+x =a故选 D。例 4：（ 2012 广西来宾3 分） 已知关于 x 的一元二次方程x2+x+m=0 的一个实数根为1，那么它的另一个1实数根是【】A 2B 0C 1D 2【答案】 A 。【考点】 一元二次方程根与

4、系数的关系。【分析】 设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1= 1，解得 x= 2。故选 A。练习题：1.（2007重庆市3分） 已知一元二次方程 2x 23x10 的两根为x1、 x2，则 x12=。+x2.（ 2005 浙江湖州3 分） 已知一元二次方程x 212x70 的两个根为 x1、 x2，则 x1+x 2 的值是【】A 12B 12C 7D 73. （ 2011 广西来宾3 分）已知一元二次方程2的两个实数根分别为x1、x2，则 x1·x2= x +mx 2=0（2011湖北咸宁3分）若关于x的方程 x 22xm0的一个根为1，则另一个根为【

5、】4.A3B 1C 1D 35（. 2011 云南昆明3 分）若 x1，x是一元二次方程2x2 7x+4=0 的两根，则 x12与 x1?x2的值分别是 【】2+xA、 7，2B、 7 ，2C、7，2D、7，22222二、求对称代数式的值： 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（f x ，y =fy，x），则称这个代数式为完全对称式，如x 2 +y 2， 1+1等。扩展后，可以视xy 中 x 与y 对称。xy典型例题：例 1：（ 2012 四川攀枝花3 分） 已知一元二次方程：222x 3x 1=0 的两个根分

6、别是x1、 x2，则 x1 x2+x 1x2的值为【】A3B3C6D6【答案】 A 。【考点】 一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。【分析】 由一元二次方程：x2 3x 1=0 的两个根分别是x1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系得，x1+x 2=3 ， x1x2=1，2 2 x1 x2 x1x2 =x 1x2（ x1 x2） =（ 1）·3= 3。故选 A 。例 2：（ 2012 山东莱芜 3 分） 已知 m、n 是方程 x2 22x 1 0 的两根，则代数式m2 n2 3mn的值为2【】A 9B±3C3D5【答案】 C。【考点】 一元二次方程根与系数的关系，求

7、代数式的值。【分析】 m、 n 是方程 x222x 1 0 的两根， mn=2 2 ， mn=1。 m 2 +n 2 +3mn=m+n 2 +mn=2 228+1= 9=3 。故选 C。+1=例 3：（ 2012 江苏南通 3 分）设 m、n 是一元二次方程x2 3x 7 0 的两个根， 则 m2 4m n【答案】 4。【考点】 求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。【分析】 m、 n 是一元二次方程x2 3x 7 0 的两个根， m 2 3 m 7 0，即 m 2 3 m 7； m n 3。 m2 4mn（ m 2 3 m）（ m n） 7 3 4。例 4：（ 2012

8、 湖北鄂州3 分）设 x1、x2 是一元二次方程x2 5x 3=0 的两个实根，且2x1(x 226x 23) a 4 ，则 a=.【答案】 10。【考点】 一元二次方程的解和根与系数的关系。【分析】 x1、x2 是一元二次方程x2 5x 3=0 的两个实根， x22 5x2 3=0， x1x2= 3。又 2x1(x 226x 2 3)a4 ，即 2x 1(x 225x2 3 x 2 ) a 4 ，即 2x 1(0x 2 )a4 。 2x x2a4，即 23a 4 ，解得a=10。1练习题：1. （ 2012 湖南张家界3 分） 已知 m 和 n 是方程 2x2 5x3=0 的两根，则 1+1

9、=mn2. （ 2012 四川泸州3 分） 设 x1， x2 是一元二次方程x2 3x 1 =0 的两个实数根，则x12x 224x1 x 2 的值为3. （ 2012 山东日照 4 分）已知 x1、x2 是方程 2x2 16=0x2x1的值为.+14x的两实数根， 那么x 2x14. （ 2012 黑龙江绥化3 分） 设 a，b 是方程 x2 x 2013=0 的两个不相等的实数根，则a2 2a b 的值为35.（ 2012 黑龙江大庆4 分） 若方程 x 2x 1 0 的两实根为 a 、 b ，求 11 的值ab6.（ 2011 湖北荆州、荆门 3 分） 关于 x 的方程 ax 2(3a1

10、)x 2(a1)0 有两个不相等的实根x1 、 x 2 ，且有 x 1 x1 x 2 x21a ，则 a 的值是【】A. 1B. 1C.1或1D. 2（2011贵州黔东南4分）若a、 b 是一元二次方程x 22011x10 的两根，则 11 的值为【】7.abA、 2010B 、 20111D、1C、201120108.（ 2011 江苏苏州3 分）已知 a 、 b 是一元二次方程x 22x 10 的两个实数根，则代数式abab 2ab 的值等于9.（ 2011 山东德州2224 分）若 x1， x2 是方程 x + x 1=0 的两个根，则x 1 + x 2 =10.（ 2011 广西玉林、

11、防城港6 分） 已知： x1 、 x 2是一元二次方程x24x10 的两个实数 根求：(x 1x 2 )2( 11)的值x1x 2三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。典型例题：ab2 +b25例 1：（ 2012 湖北随州 4 分） 设 a22a 1 0， b42b21 023a+1，且 1 ab 0，则=a.4例 2：（ 2012 四川内江12 分）如果方程 x2pxq 0 的两个根是 x, x ，那么 x1x2p, x1.x2 q, 请12根据以上结论，解 决下列问题：（ 1）已知关于 x

12、的方程 x2mxn0,( n0),求出一个一元二次方程， 使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（ 2）已知 a、 b 满足 a 215 a50, b 215 b50 ,求 ab 的值 ；ba（ 3）已知 a、 b、 c 满足 abc0, abc16 求正数 c 的最小值。【答案】 解：（ 1）设关于 x 的方程 x2mxn0,( n0) 的两根为 x1 , x2 ，则有：xx2m, x .x2n ，且由已知所求方程的两根为1 , 111x1x2 11 x1 x2m ， 1 111 。x 1 x2x1 x2nx1 x2x 1 x2n所求方程为 x2m x10 ，即 nx2mx 10(n0) 。

13、nn（ 2） a、 b 满足 a215a 50,b2 15b 50 ， a、 b 是方程 x215x50 的两根。 a b15, ab5。522222ab2aba b abab215247 。ababbaab5（ 3） abc0, abc16且 c0 abc, ab16。16c a、 b 是一元二次方程x2cx0 c0的两个根，c代简，得cx2c2 x 160 c0。又此方程必有实数根，此方程的0 ，即 c224 c 160 ， c c3430 。又 c 0 c3430 。 c 4 。正数 c 的最小值为4。【考点】 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。【分析】（ 1）设方程

14、x2mx n0,( n 0) 的两根为 x1 , x2 ，得出11m ，111，再根据x1x2nx1x2n这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。（ 2）根据 a、 b 满足 a215a5 0,b215b 50 ，得出 a、 b 是一元二次方程x2 15 x5 0的两个根，由 ab15, ab5 ，即可求出 ab 的值。ba16（ 3）根据 a bc0, abc16 ，得出 a bc, ab，a、 b 是一元二次方程 cx2c2 x 160 的c两个根，再根据0 ，即可求出 c 的最小值。例 3：（ 2012 四川宜宾 8 分） 某市政府为落实 “保障性住房政策，201

15、1 年已投入 3 亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013 年底，将累计投入10.5 亿元资金用于保障性住房建设（ 1）求到 2013 年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；（ 2）设（ 1）中方程的两根分别为222的值为 12，求 m 的值x1， x2，且 mx1 4mx1x2+mx 2【答案】 解：（ 1）设到 2013 年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，2根据题意得：3+3 （ x+1） +3（x+1 ） =10.5。（ 2）由（ 1）得， x2+3x 0.5=0，由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2= 3， x1x2= 0.5。222

16、2，又 mx12 4m x1x2+mx 2=12即 m （x1+x 2） 2x1x2 4m x1x2=12即 m9+1 4m2（ 0.5）=12 ，即 m2+5m 6=0，解得， m= 6 或 m=1 。【考点】 一元二次方程的应用，一元二次方程根与系数的关系。6【分析】 （ 1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：2011 年、 2011 年和 2013 某市用于保障房建设资金总量=10.5 亿元，把相关数值代入求得合适的解即可。（ 2）由（ 1）得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得关于m 的一元二次方程，解之即得m 的值。例 4：（ 2012 贵州黔西南

17、14 分） 问题：已知方程 x 2 +x 1=0 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍。解：设所求方程的根为y，则 y=2x ，所以 x= y2把 x= y 代入已知方程，得y 2+ y1=0222化简，得： y2 +2y4=0故所求方程为 y2 +2y4=0这种利 用方程根的代换求新方程的方法，我们称为 “换根法 ”。请阅读材料提供的“换根法 ”求新方程 （要求：把所求方程化成一般形式）（ 1）已知方程 x 2 +x2=0 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：；（ 2）已知关于 x 的一 元二次方程 ax2 +bx+c=0 a0 有两个不

18、等于零的实数根，求一个一元二次方程， 使它的根分别是已知方程的倒数。【答案】 解：（ 1） y2 y 2=0。（ 2）设所求方程的根为1（ x0），于是 x1y，则 y（ y0）。xy1121把 x代入方程 ax2 +bx+c=0 ，得 a+b+c=0 ，yyy去分母，得a+by+cy 2=0 。若 c=0，有 ax2 +bx=0 ，可得有一个解为 x=0 ，与已知不符，不符合题意。 c0。所求方程为cy2+by+a=0 （ c0）。【考点】 一元二次方程的应用。【分析】（ 1）设所求方程的根为y，则 y= x 所以 x= y。把 x= y 代入已知方程，得 y2 y 2=0 。（ 2）根据所

19、给的材料，设所求方程的根为y，再表示出 x，代入原方程，整理即得出所求的方程。7练习题：1. （ 2004 辽宁沈阳 2 分）请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3 的一元二次方程：.2. （ 2005 山东临沂3 分）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数.3.（ 2002 浙江杭州10 分） 已知某二次项系数为1 的一元二次方程的两个实数根为p、 q，且满足关系式pq p 15p2 qpq 2，试求这个一元二次方程64. （ 2007 江苏淮安3 分） 写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：.四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达

20、定理确定方程中待定字母系数的值。典型例题：例 1：（ 2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3 分） 如果关于x 的一元二次方程2x +4x+a=0 的两个不相等实数根 x1， x2 满足 x1x2 2x1 2x2 5=0 ，那么 a 的值为【】A 3B 3C 13D 13【答案】 B。【考点】 一元二次方程根与系数的关系。【分析】 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程x2+4x+a=0 的两个不相等实数根， x1+x 2= 4， x1x2=a。 x1x2 2x12x 2 5=x 1x2 2（ x1+x2 ） 5=a 2×（ 4） 5=0 ，即 a+3=0，解得， a= 3。故

21、选 B。例 2：（ 2012 湖南株洲 3 分） 已知关于 x 的一元二次方程x2 bx+c=0 的两根分别为x1=1， x2= 2，则 b与 c 的值分别为【】A b= 1，c=2B b=1 ，c= 2C b=1， c=2D b= 1， c= 2【答案】 D。【考点】 一元二次方程根与系数的关系。【分析】 关于 x 的一元二次方程x2 bx+c=0 的两根分别为x1=1 ， x2=2， x1+x 2=b=1+ （ 2）= 1， x1?x2=c=1 ×（ 2） = 2。 b= 1，c= 2。故选 D。例 3：（ 2012 内蒙古呼和浩特3 分）已知：x1，x2 是一元二次方程x2+2

22、ax+b=0 的两根，且 x1+x2=3 ，x1x2=1，则 a、 b 的值分别是【】8A a= 3，b=1B a=3， b=1C a=3 ， b= 1D a=3 ， b=122【答案】 D。【考点】 一元二次方程根与系数的关系。【分析】 x1， x2 是一元二次方程2+x 2= 2a， x1x2=b，x +2ax+b=0 的两根， x1 x1+x 2=3，x1x2=1 ， 2a=3， b=1，解得 a=3 ， b=1 。故选 D。2例 4：（ 2012 内蒙古包头3 分）关于 x 的一元二次方程 x2mx+5 m 5=0 的两个正实数根分别为x1，x2，且 2x1+x 2=7，则 m 的值是

23、【】A.2B. 6C.2或6D . 7【答案】 B。【考点】 一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。【分析】 方程 x 2mx+5m5=0 有两个正实数根，x1+x 2 =m > 0m > 5 。x1 x 2 =5 m5 > 0又 2x1+x 2=7， x1=7 m。将1 m代入方程x2mx+5 m 5 =0，得 7 m2m 7 m +5 m 5 =0 。x =7解得 m=2 或 m=6。 m > 5 ， m=6 。故选 B 。例 5：（ 2012 山东威海 3 分） 若关于 x 的方程 x 2 + a1 x+a 2 =0 的两根互为倒数，则a=.【答案】

24、 1。【考点】 一元二次方程根与系数的关系，倒数。【分析】 关于 x 的方程 x2 + a1 x+a 2 =0 的两根互为倒数，设两根为x 和 1 。x1x+=1a则根据一元二次方程根与系数的关系，得x。x 1 =a2 x由 x1=a2 得 a=1 。x但当 a=1 时， x+1=1 a 无意义。x a= 1。9例 6：（ 2012 湖北孝感 12 分） 已知关于x 的一元二次方程x2 (m 3)x m1 0(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若 x1、 x2 是原方程的两根，且|x1 x2 |22 ，求 m 的值和此时方程的两根【答案】 解：（ 1）证明：由关于

25、x的一元二次方程x2 (m 3)x m 1 0 得 =（ m+3） 2 4（ m+1） =（ m+1） 2+4，无论 m 取何值，（ m+1 ） 2 4 恒大于 0，原方程总有两个不相等的实数根。（ 2） x1， x2 是原方程的两根， x12）， x1?x2。+x =（ m+3=m+1 |x1 x2| 22 ， （ x1 x2） 2=8，即（ x1 x2） 2 4x1x2=8。 （ m+3） 2 4（ m+1）=8，即 m2 2m 3=0。解得： m1= 3， m2=1 。当 m= 3 时，原方程化为：x2 2=0，解 得： x1=2， x2=2 。当 m=1 时，原方程化为：x2 4x 2

26、=0，解得： x1= 2+2， x2= 22 。【考点】 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】（ 1）根据关于 x 的一元二次方程 x2 (m 3)x m 1 0 的根的判别式 =b2 4ac 的符号来判定该方程的根的情况。（2）根据根与系数的关系求得x1 x2 和 x1?x2，由已知条件 |x1 x2| 22 平方后可以得到关于 x1 x2 和 x1?x2 的等式，从而列出关于m 的方程，通过解该方程即可求得m 的值，最后将 m 值代入原方程并解方程。例 7：（ 2012 湖南怀化 10分） 已知 x1 ,x 2 是一元二次方程(a 6)x 22ax a 0的两个实数根 .（ 1

27、）是否存在实数a，使x1x1x2 4x 2 成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（ 2）求使 (x 1 1)(x 21)为负整数的实数a 的整数值 .【答案】 解：（ 1）成立。 x , x是一元二次方程 (a6)x 22ax a0 的两个实数根，12由根与系数的关系可知，x1x 2a，x1x 22a ；a6a 6一元二次方程(a6)x 22ax a0有两个实数根，10 =4a2 4（ a 6） ?a0，且 a-60，解得， a0，且 a6。由 x1 x1x 2 4x 2 得 x1x 24x1x 2 ，即a42a 。a6a 6解得， a=240，且 a 60。存在实数 a，使x

28、1x1x 24x 2 成立， a 的值是 24。（ 2） (x 1 1)(x 2 1)=x1x 2x 1x 21=a2a1=6，6a6aa6当 (x 1 1)(x 21) 为负整数时， a 6 0，且 a 6 是 6的约数。 a 6=6， a6=3 ， a6=2 ， a6=1 。 a=12， 9， 8， 7。使 (x 1 1)(x 2 1) 为负整数的实数a 的整数值有 12， 9， 8， 7。【考点】 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。【分析】 根据根与系数的关系求得x1x 2a ， x1x 22a；根据一元二次方程的根的判别式求得aa6a 6的取值范围。（1）将已知等式变

29、形为x1x2 =4+（x2 +x1），即a42a ，通过解该关于a 的方程即可求得aa6a 6的值；（2）根据限制性条件 “（ x1+1）（ x2+1）为负整数 ”求得 a 的取值范围，然后在取值范围内取a 的整数值。例 8：（ 2011 四川南充 8 分） 关于的一元二次方程 x2的实数解是 x1 和 x2 +2x+k+1=0（ 1）求 k 的取值范围；（ 2）如果 x1+x 2 x1x2 1 且 k 为整数，求 k 的值【答案】 解：（ 1）方程有实数根，=2 2 4（ k+1） 0，解得 k0。 k 的取值范围是 k0。（ 2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x 2= 2， x1

30、x2=k+1 ， x1+x2x1x2= 2（ k+1 ）。由 2（ k+1 ） 1，解得 k 2。又由（ 1） k0， 2k0。 k 为整数， k 的值为 1 和 0。【考点】 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。【分析】（ 1）方程有两个实数根，必须满足=b24ac0，从而求出实数k 的取值范围。11（ 2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x 2= 2，x1x2=k+1 再代入所给不等式即可求得k 的取值范围，然后根据k 为整数，求出k 的值。例 9：练习题：1. （ 2011 湖南株洲3 分） 孔明同学在解一元二次方程x23xc0 时，正确解得x11， x2

31、2 ，则 c 的值为2. （ 2011 湖北孝感10 分） 已知关于x 的方程 x 22(k1)xk20 有两个实数根x1， x2，（ 1）求 k 的取值范围；（ 2）若 x1 x2x1 x2 1 ，求 k 的值。3. （ 2012 湖北鄂州8 分） 关于 x 的一元二次方程 x 2(m 3)x m20 。（ 1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设这个方程的两个实数根为x1， x2，且 x1 = x 2 2，求 m 的值及方程的根。4. （ 2012 四川南充8 分） 关于 x 的一元二次方程x2 3x m 1=0 的两个实数根分别为x1 ,x2。（ 1）求 m 的取值范围；（ 2）

32、若 2（ x1+x 2） + x 1x2+10=0 求 m 的值。5. （ 2011 四川达州3 分）已知关于 x 的方程 x2 mx+n=0 的两个根是0 和 3，则 m=，n= 。6.（ 2011 四川泸州22 2=0 的两实根的平方和等于11，则 k 的值2 分）已知关于 x 的方程 x +（ 2k+1）x+k为。7.（ 2011 四川乐山10 分） 题甲：已知关于x 的方程 x 22(a1)xa27a40 的两根为 x1、 x2，且满足 x1 x 2 3x 13x 2 2 0 .求 (12 4) a2 的值。a4a8.（ 2006北京市 7 分）已知：关于 x的方程 mx 2 14x7

33、0 有两个实数根x1和 x2 ，关于 y 的方程y22 n1 y n22n 0 有两个实数根y1和 y ，且 2y y24当26（2）14 021x1x 2x12 2y1 y2x2时，求 m 的取值范围。9.（ 2006四川凉山6 分）已知： x2+a2x+b=0 的两个实数根为x1、 x2；y1、 y2 是方程 y2 +5ay+7=0 的两个实数根，且x1y1=x 2 y2=2 求 a、b 的值。五、在平面几何中的应用：在平面几何中，两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。12典型例题：例 2：（ 20

34、03 江苏镇江6 分）已知 ，如图， Rt ABC 中， ACB=90 0，AB=5 ，两直角边AC 、BC 的长是关于 x 的方程 x2m5 x6m0 的两个实数根。（ 1）求 m 的值及 AC 、 BC 的长（ BC>AC ）（ 2）在线段 BC 的延长线上是否存在点D ，使得以 D、A 、C 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出 CD 的长；若不存在，请说明理由。【答案】 解：（ 1）设方程 x2m5 x6m0 的两个根分别是x1、 x2。 x1+x 2=m+5 ， x1?x2=6m。22（x122 x1x2x 2）2x1x2 （m 5） 2 6m 。 Rt ABC 中， A

35、CB=90° ， AB=5 ， x 12x22AB2。（m225）2 6m 5 ， m2- m=0。 m=0 或 m=2。当 m=0时，原方程的解分别为x1=0， x2=5，但三角形的边长不能为0，所以 m=0 舍去；13当 m=2 时，原方程为x2 7x+12=0 ，其解为x1=3，x2=4，所以两直角边 AC=3 ， BC=4 。 m=2， AC=3 ， BC=4 。（ 2）存在。已知AC=3 ，BC=4 ，AB=5 ，欲使以 AD 1C为顶点的三角形与ABC 相似，则 ABAC BC。AD 1CD1AC 34，则 CD1= 9。CD1 34欲使以 AD 2C 为顶点的三角形与ABBCACABC 相似，则CD 2。AD 2AC BC=CD 2=4。综上所述，在线段 BC 的延长线上是存在点D ，使得以 D、A 、C 为顶点的三角形与ABC相似， C