专题椭圆双曲线抛物线的性质综合问题

1、椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题【三年真题重温】1. 【 2011 新课标全国】设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A 、 B 两点， AB 为C 的实轴长的 2倍，则 C 的离心率为 ()A 2B3C 2D32. 【 2011新课标全国】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点F1,F2 在 x 轴上，离心率为2 ，过2F1 作直线 l 交 C 于 A ,B 两点，且ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为.3. 【 2011x2y21 的离心率为 ()新课标全国】椭圆816A 1B 1C3D232324. 【 2011新课

2、标全国】已知直线l 过抛物线 C的焦点，且与C 的对称轴垂直。l与 C 交于 A,B 两点， AB =12， P 为C的准线上一点，则ABP的面积为（A）18（B）24（C）36（D） 485. 【 2012新课标全国】 设 F1 , F2 是椭圆 E : x2y21(ab 0) 的左、 右焦点， P 是直线 x3a上一点，F2 PF1 ,a 2b22是底角为 30 的等腰三角形，则E 的离心率为（）A、 1B 、 2C 、 3D 、 423456. 【 2012新课标全国】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上， C 与抛物线 y216 x 的准线交于 A, B 两点，AB43 ；则 C

3、 的实轴长 为（）(A) 2(B)22(C )( D )7. 【 2013新课标全国】已知双曲线C :x2y 21 (a0,b0) 的离心率为5 ，则C的渐近线方程为（）a2b22（ A ） y1 x（ B ） y1 x（ C） y1 x（D ） yx4328. 【2013新课标全国】已知椭圆x2y21 ( a>b>0) 的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于A、 B 两点。若 ABa2b2的中点坐标为 (1 ， 1) ，则 E 的方程为()x2y2x2y2x2y2x2y2A、45 361B、36271C 、27181D、18 919.【 2013新课标全国】 O 为坐

4、标原点， F 为抛物线 C : y24 2x 的焦点， P 为 C 上一点，若 | PF |4 2，则 POF的面积为（）（A） 2（B）2 2（C）2 3（D） 4【方法技巧提炼】焦点三角形问题的求解技巧(1) 所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形(2) 解决此类问题要注意应用三个方面的知识：椭圆或双曲线的定义；勾股定理或余弦定理；基本不等式与三角形的面积公式离心率的求法双曲线与椭圆的离心率就是c 的值，有些试题中可以直接求出a, c 的值再求离心率， 在有些试题中不能直接求出a, c 的a值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于a,c

5、或 a,b 的方程， 通过这个方程解出c 或 b ，利用公式 eca aa求出，对双曲线来说， e1b21b22 ，对椭圆来说， ea2 .a求圆锥曲线方程的方法(1) 定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法(2) 待定系数法：顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为 y22ax 或 x22ay ( a0) ，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有 p 的几何意义中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x2y2x2y2mn1 ( m 0, n 0 ) ， 双曲线方程可设为1 ( mn 0 ) mn这样可以避免繁琐的计算利用以上

6、设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程4最值或范围问题的解决方法解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：(1) 利用函数，尤其是二次函数求最值；(2) 利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；(3) 利用不等式，尤其是基本不等式求最值；(4) 利用判别式求最值；(5) 利用数形结合，尤其是切线的性质求最值5求定值问题的方法定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题6 有关弦的问题(1) 有关弦

7、长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点P1( x1 , y1 ) ， P2 ( x2 , y2 ) ，则所得弦长 | PP12 | 1 k2 | x1x2 | 或| P P|1 1| yy|，其中求 | xx2|与 | y2y|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：12k 22111| x1x2 |x1x22y1 |y1y224x1 x2 ， | y24 y1 y2 .当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算( 利用两点间距离公式 ) (2) 弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活

8、运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算【考场经验分享】1. 圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础. 因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求PF1 PF2 F1F2 ，双曲线的定义中要求 PF1PF2F1F2 .2区分双曲线中的 a, b, c 大小关系与椭圆a, b, c 关系，在椭圆中 a2b2c2 ，而在双曲线中 c2a2b2 .3双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e0,1 4. 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1) 设方程及点的坐标；(2) 联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程( 注意二次项系数是否为零

9、) ；(3) 应用根与系数的关系及判别式；(4) 结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解5. 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程6. 求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a, c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a, c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲

10、线的定义求解相关参数7. 求解抛物线中的最值问题要注意定义的灵活运用，即抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等，解该题的关键就是利用此定义将问题转化为求解圆上的点到定点距离的最值问题【猜题押题演练】1. 已知双曲线 x2y 2 1 ( a0, b0) 的左、右焦点分别为F1 , F2 ，以 | F1 F2 | 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交a2b2点为 (3, 4) ，则此双曲线的方程为（）A x2y21B x2y21 C x2y21 D x2y2191634169432. 双曲线 C 的左右焦点分别为F1,F2，且 F2 恰为抛物线24x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为

11、A ，若yAF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.12C.13D.233. 已知抛物线 y22 px ( p0) ，过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于A, B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）A x 1B x 2C x1D x24. 点 P 是双曲线x 2y21(a0, b0) 左支上的一点， 其右焦点为 F (c,0) ，若M为线段FP的中点, 且M到坐标a 2b2原点的距离为c ，则双曲线的离心率e 的取值范围是()8A1,8B 1,4C(4,5)D2,33335.椭圆 C:x2y21 (ab0) 的左、右焦点

12、分别为F1 , F2 ， A, B 是 C 上两点， AF1 3F1B ， BAF2900a22，则b椭圆 C 的离心率为（）A 1B 3C 3D 224226. 已知 k4 ，则曲线 x2y21 和9x2y2k1有（）94k4A相同的准线B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的长轴7. 已知双曲线x2y21(b0) ，过其右焦点 F 作圆 x2y 29 的两 条切线，切点记作 C , D ，双曲线的右顶点为E ，9b2CED150 ，则双曲线的离心率为.8在 ABC中，ABBC，cos B7若以AB为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e（）18，A 3B.3C.3D.3478189. 已知

13、椭圆 x2y2 1(ab0) ，以 O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一a2b 2端点P作圆的两条切线，切点为、 ，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为 ()OABPAOB3B.2C.5D.3A.233210. 已知斜率为2 的直线 l 与双曲线 C :x2y21 (a0,b0) 交于 A, B 两点，若点 P(2,1)是 AB的中点，则C的离a2b2心率为（）（A） 22(B)2(C)3(D)211. P 是双曲线 x2y 21(a0,b0)上的点， F1、 F2 是其焦点，且PF PF20，若F1PF2 的面积是 9， a+b=7，a 2b21则双曲线的离心率为（）A BCD12

14、P 为抛物线 y24x 上任意一点， P在 y 轴上的射影为Q，点 M（ 4，5），则 PQ与 PM长度之和的最小值为13 。已知抛物线 y22 px（ p0）的焦点为 F ，准线为 l ， P 为抛物线上一点，PA l ，垂足为 A . 如果 APF 是边长为 4的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为_, 点 P 的横坐标 xP_.14 过椭圆x2y21的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A, C , B, D 四点，则四边形面积的最大值与最4小值的差为（）（A） 17（B） 18(C)19(D)4252525515. 已知 椭圆 C1:x2y21 与双曲线C2x2y21 有相同的焦点，则椭圆C1 的离心率 e的取值范围为（2n:n）mm2,1)B2C (0,1)D (0,1)A ( (0,)22216. 设 F1 , F2 是双曲线 x2y21的两个焦点，P 是双曲线与椭圆x2y21的一个公共点，则PF1 F2 的面积等 _ _.24492417过双曲线 x2y21(a0, b0) 的左焦点 F (