第章(第十二次课)

1、1 线性系统理论基础讲义 龚道雄 Lyapnov稳定性分析线性系统理论基础 第四章2 线性系统理论基础讲义 龚道雄 本章要点 稳定稳定是控制系统能够正常运行的是控制系统能够正常运行的前提前提 稳定性稳定性是表征系统运动行为的一个重要是表征系统运动行为的一个重要结构特性结构特性。3 线性系统理论基础讲义 龚道雄 内容与要点内容内容要点要点一一Lyapunov稳定性概念稳定性概念平衡点平衡点, ,稳定性稳定性, ,渐近稳定性渐近稳定性, ,全局渐近稳定性全局渐近稳定性二二Lyapunov稳定性判据稳定性判据稳定性判据稳定性判据, ,渐近稳定性判渐近稳定性判据据, ,全局渐近稳定性判据全局渐近稳定性

2、判据三三连续时间线性系统的连续时间线性系统的稳定性判据稳定性判据间接法判据，直接法判据间接法判据，直接法判据四四离散时间线性系统的离散时间线性系统的稳定性判据稳定性判据间接法判据，直接法判据间接法判据，直接法判据4 线性系统理论基础讲义 龚道雄 一、简 介5 线性系统理论基础讲义 龚道雄 一、简 介6 线性系统理论基础讲义 龚道雄 一、简 介7 线性系统理论基础讲义 龚道雄 一、简 介8 线性系统理论基础讲义 龚道雄 一、简 介（Lyapunov）n Aleksandr Mikhailovich Lyapunov （18571918），俄罗斯数学家、力），俄罗斯数学家、力 学家和物理学家。学家

3、和物理学家。 n Lyapunov 在微分方程、位势理论、在微分方程、位势理论、 系统稳定性理论以及概率论等领域系统稳定性理论以及概率论等领域 做出了重大贡献。编辑了欧拉做出了重大贡献。编辑了欧拉 （Euler）文集第）文集第18、19卷。卷。 n Lyapunov 是俄罗斯科学院院士，意大利林琴科学院是俄罗斯科学院院士，意大利林琴科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。以及法国巴黎科学院的外籍院士。9 线性系统理论基础讲义 龚道雄 一、简 介（Lyapunov）n 1892年，莫斯科大学的博士学位论文：年，莫斯科大学的博士学位论文： “运动稳定性的一般问题运动稳定性的一般问题” （The Ge

4、neral Problem of The Stability of Motion）n Lyapunov稳定性理论对于现代控制理论的发展具有稳定性理论对于现代控制理论的发展具有非常重要的意义，为此国际控制界于非常重要的意义，为此国际控制界于1992年还举行了年还举行了该论文发表该论文发表100周年的纪念活动。周年的纪念活动。n Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要了深刻的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。的组成部分。10 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义1

5、1 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义12 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义13 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义例: 单摆两个平衡点14 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义1212 21223341143()()xxxm l g xImluxxxMm mgl xml u 例：小车倒立摆的平衡点1234xxxxxxu1212 22334143()xxxm l g xxxxMm mgl x 234000 xxx15 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义16 线性系统

6、理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义17 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义18 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义19 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义20 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义21 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义22 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义23 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义24 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义25 线性系统理论基

7、础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义26 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义27 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义28 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义29 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义30 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义31 线性系统理论基础讲义 龚道雄 二、Lyapnov 稳定性定义32 线性系统理论基础讲义 龚道雄 三、Lyapnov 稳定性判别第一法33 线性系统理论基础讲义 龚道雄 三、Lyapnov 稳定性判别第一法34 线性系统

8、理论基础讲义 龚道雄 三、Lyapnov 稳定性判别第一法35 线性系统理论基础讲义 龚道雄 三、Lyapnov 稳定性判别第一法三、Lyapnov 稳定性判别第一法李雅普诺夫第一方法李雅普诺夫第一方法 设设 为与为与x x同维数的非线性向量函数，同维数的非线性向量函数， 为孤立平衡点。为孤立平衡点。 （1 1）平衡点平移：令）平衡点平移：令 ，则，则 。 将将 在原点展开得在原点展开得 ，其中，其中 )(xfx exexxy)(exyfy)(exyfyyGAyy)(111111110ennnnnnnnyx xffffyyxxAffffyyxx)()(2yoyG三、Lyapnov 稳定性判别第

9、一法(2)(2)近似线性化：近似线性化： 如果如果 , , 则则 渐近稳定，渐近稳定， 如果存在如果存在 ，则，则 不稳定；不稳定； 如如 ，则，则 的稳定性由高阶导的稳定性由高阶导 数项数项 来决定。来决定。 例：例：5.2.1 5.2.1 已知非线性系统已知非线性系统 其中其中 常数，试分析其平衡状态的稳定性。常数，试分析其平衡状态的稳定性。Ayy Re( ( )0AexRe( )0iARe( ( )0A( )G yex120120112000sin,xxaaxaxa xb u uUex三、Lyapnov 稳定性判别第一法38 线性系统理论基础讲义 龚道雄 解解: 求平衡状态，由求平衡状态

10、，由 知系统有平衡点知系统有平衡点 2011200sin0 xaxa xbU0102arcsin20, 1, 2,0eebxUkakx 0111112020111202222arcsinsin()eeebyxxxUyyayayxa ybUyxxx 将坐标原点移到平衡状态点，取新的状态变量三、Lyapnov 稳定性判别第一法系统在平衡状态附近的一次近似方程为系统在平衡状态附近的一次近似方程为特征方程特征方程 设设 则则 当当 时，系统在时，系统在 渐近稳定；渐近稳定； 当当 时，系统在时，系统在 不稳定；不稳定； 如果如果 , 其稳定性靠一次近似不能判断。其稳定性靠一次近似不能判断。111011

11、101cosenennnx xffxxAaxaffxx2110121014coscos0, 2eeaaaxAIaax010,0,aa1cos0ex 1cos0ex 1111()02aa0cos1exexex12201112coseyyyaxya y 40 线性系统理论基础讲义 龚道雄 四、 Lyapnov 稳定性判别第二法41 线性系统理论基础讲义 龚道雄 四、 Lyapnov 稳定性判别第二法42 线性系统理论基础讲义 龚道雄 四、 Lyapnov 稳定性判别第二法n1、预备知识、预备知识n2、Sylvester判据判据n3、Lyapnov稳定性判别定理稳定性判别定理43 线性系统理论基础讲

12、义 龚道雄 1、预备知识44 线性系统理论基础讲义 龚道雄 1、预备知识45 线性系统理论基础讲义 龚道雄 1、预备知识46 线性系统理论基础讲义 龚道雄 1、预备知识47 线性系统理论基础讲义 龚道雄 1、预备知识48 线性系统理论基础讲义 龚道雄 1、预备知识( )( )VV存在，即对于 中各分量有连续的偏导数。xxxx49 线性系统理论基础讲义 龚道雄 1、预备知识50 线性系统理论基础讲义 龚道雄 2、Sylvester判据51 线性系统理论基础讲义 龚道雄 2、Sylvester判据52 线性系统理论基础讲义 龚道雄 2、Sylvester判据53 线性系统理论基础讲义 龚道雄 补充

13、：特征值判据n特征值判据特征值判据1) ) ) ) AAAAAAAA正定的特征值均为正数负定的特征值均为负数半正定的特征值均为非负数半负定的特征值均为非正数54 线性系统理论基础讲义 龚道雄 2、Sylvester判据例：例：考察标量函数考察标量函数 的定号性。的定号性。解：解：即即A为不定的为不定的,所以所以V(X)为不定的。为不定的。 2221)(xxxXV21221122()01 2 1 2101 2 A1 211 10,204V Xx xxxxxx 121/ 2det1/ 211(1)41212222212120,02222 55 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性

14、判别定理56 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理57 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理58 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理59 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理60 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理61 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理62 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理63 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理64 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyap

15、nov稳定性判别定理65 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理66 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理67 线性系统理论基础讲义 龚道雄 回顾：极限环n 极限环是非线性系统的一种特殊运动情况。极限环是非线性系统的一种特殊运动情况。n 在时间响应上表现为非线性的自持振荡在时间响应上表现为非线性的自持振荡n 在相平面上成为闭合的相轨迹在相平面上成为闭合的相轨迹 0 0 0 2x1x2x1x2x1x68 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理69 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理70 线性系统

16、理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理71 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理72 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理73 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理74 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理75 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理76 线性系统理论基础讲义 龚道雄 3、Lyapnov稳定性判别定理77 线性系统理论基础讲义 龚道雄 说明：说明：（1 1）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函

17、数不是唯一的。（2 2）对于非线性系统也能给出关于在大范围内稳定性的信息。）对于非线性系统也能给出关于在大范围内稳定性的信息。（3 3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。（4 4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳 定性方面的任何结论。定性方面的任何结论。（5 5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。（6 6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。78 线性系统理论基础讲义 龚道雄 小结与作业n概念概念p平衡点平衡点pLyapunovLyapunov稳定稳定pLyapunovLyapunov渐近稳定渐近稳定pLyapuno