专题2：待定系数法应用探讨

1、初中学习资料整理总结专题 2：待定系数法应用探讨一 . 待定系数法在代数式变型中的应用： 在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。典型例题：例：（ 2011 云南玉溪3 分） 若 x 26xk 是完全平方式，则k =【】A 9B 9C ±9D±3【答案】 A 。【考点】 待定系数法思想的应用。【分析】 设 x26xk= x+A26x k=x 22AxA 2 ， 则 x 22A=6A=32。故选 A。A=kk=9练习题：1.（ 2012 江苏南通3 分）已知 x2 16x k 是完全平方

2、式，则常数 k 等于【】A 64B 48C 32D 162.（ 2012贵州黔东南4 分） 二次三项式 x2 kx+9 是一个完全平方式，则k 的值是。3.（ 2011江苏连云港3 分）计算 (x 2) 2 的结果为 x2 x 4，则 “”中的数为【】A2B 2C 4D 44.（ 2011湖北荆州3 分）将代数式 x 24x 1化成 (xp) 2q 的形式为【】A. (x2) 23B. (x2)24C. (x2)25D. (x4)24二 . 待定系数法在分式求值中的应用： 在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例

3、题：例：（ 2012 四川凉山4 分） 已知 b5 ，则 ab 的值是【】a13ab2394A B CD3249【答案】 D。【考点】 比例的性质。【分析】 b5 ，设a13b5ab ，得，ak ，则 b=5k ， a=13k，把 a， b 的值代入13ab1a b =13k5k=8k=4 。故选 D。a b13k5k18k9练习题：1.（ 2012北京市5分）已知ab0 ，求代数式5a2b的值。=3(a 2b)2(a+2b)(a 2b)2.（ 2011四川巴中 3 分）若ab2 ，则 b =。2a3a三 . 待定系数法在因式分解中的应用： 在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法

4、、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3 6x2+11x 6， 3x 25xy2y2x9y4 ，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法） 。典型例题：例 1：（ 2012 湖北黄石3 分） 分解因式：x 2x2 。【答案】（ x 1）（ x 2）。【考点】 因式分解。【分析】 设 x2x2xAxB， xAxBx 2AAB=1A= 1A=2B x A B ，解得或，AB= 2B=2B= 1 x2x2=x1x2 。注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。例 2：分解因式：3x 25xy2y 2x9y 4。【答

5、案】 3x y4x 2y 1 。【考点】 因式分解。【分析】 3x25xy2y 23xyx2y ，可设3x 25xy2y 2x9y43x yax2yb 。 3xy ax2yb3x 25xy2y2a3bx(2ab)yab ， 3x25xy2y 2x9y43x 25xy2y 2a3bx(2ab)y ab 。2a 3b=1比较两边系数，得2a 。b=9ab=4联立，得a=4， b= 1。代入式适合。 3x25xy2y 23xy 4 x 2y 1 。练习题：1.（ 2012四川南充3 分） 分解因式： x24x 12=。2.（ 2012 山东潍坊3 分） 分解因式： x3 4x2 12x=。3.（ 2

6、011贵州黔东南4 分）分解因式： x 22x8。四 . 待定系数法在求函数解析式中的应用： 待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x 的系数与常数，我们常常先设它们为未知数， 根据点在曲线上， 点的坐标满足方程的关系， 将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，y=kx+b ， yk的形式x(其中 k、 b 为待定系数，且k 0)。而二次函数可以根据题目所给

7、条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a 、b、 c 为待定系数 )，顶点式2、x1、 x2 为y=a (x h) +k(a、 k、 h 为待定系数 )，交点式 y=a (x x1)(x x2)( a待定系数 )三类形式。根据题意 (可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出 a、 b、c、k、 x1、x2 等待定系数，求出函数解析式。典型例题：例 1：（ 2012 江苏南通3 分） 无论 a 取什么实数，点P(a1， 2a 3)都在直线l 上， Q(m， n)是直线 l 上的2点，则 (2m n 3) 的值等于【考点】 待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】 由

8、于 a 不论为何值此点均在直线l 上，令 a=0，则 P1（ 1， 3）；再令 a=1，则 P2（ 0， 1）。设直线 l 的解析式为y=kx+b （ k0），kb 3k21，解得。bb13直线 l 的解析式为： y=2x 1。 Q（ m，n）是直线 l 上的点， 2m 1=n ，即 2m n=1 。 (2m n 3)2=（ 1+3 ） 2=16。例 2：（ 2012 山东聊城 7 分） 如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A （ 1， 0），与 y 轴交于点 B（ 0， 2）（ 1）求直线 AB 的解析式；（ 2）若直线AB 上的点 C 在第一象限，且SBOC =2，求点 C 的坐标【答案】

9、 解：（ 1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，直线 AB 过点 A （ 1， 0）、点 B （0， 2），kb 0k22，解得。b=b=2直线 AB 的解析式为y=2x 2。（ 2）设点 C 的坐标为（ x， y）， SBOC =2， 1 ?2?x=2，解得 x=2。2 y=2×2 2=2。点 C 的坐标是（ 2， 2）。【考点】 待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（ 1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ，将点 A （ 1，0）、点方程组，从而得到 AB 的解析式。（2）设点 C 的坐标为（ x， y），根据三角形面积公式以及B（ 0， 2）分别代入解析式

10、即可组成SBOC =2 求出 C 的横坐标，再代入直线即可求出y 的值，从而得到其坐标。例 3：（2012 湖南岳阳8 分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水清洗灌水”中水量 y（ m3）与时间t（ min ）之间的函数关系式（ 1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（ m3 ）与时间t（ min ）的函数解析式；（ 2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？4【答案】 解：（ 1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b ，图象经过（0， 1500），（ 25， 1000），b=1500k=20，解得：。排水阶段解析式为：y= 20t+1500。25k+b=1

11、000b=1500清洗阶段： y=0 。灌水阶段：设解析式为：y=at+c ，图象经过（195， 1000），（95， 0），195a+c=1000 ，解得：a=10。灌水阶段解析式为： y=10t 950。95a+c=0b= 950（ 2）排水阶段解析式为： y= 20t+1500 ，令 y=0 ，即 0= 20t+1500，解得： t=75 。排水时间为 75 分钟。清洗时间为： 95 75=20（分钟），根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3， 1500=10t 950，解得： t=245 。故灌水所用时间为：245 95=150（分钟）。【考点】 一次函数的应用，待定系数法，直线

12、上点的坐标与方程的关系。【分析】（ 1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0 和灌水阶段解析式即可。（2）根据（ 1）中所求解析式，即可得出图象与x 轴交点坐标，即可得出答案。例 4：（ 2012 湖南娄底3 分） 已知反比例函数的图象经过点（1， 2），则它的解析式是【】1221A yB yC yD y2xxxx【答案】 B。【考点】 待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。k【分析】 设反比例函数图象设解析式为y，x5将点（ 1， 2）代入 yk 得， k= 1×2= 2。则函数解析式为 y2 。故选 B。xx例 5：（

13、2012 江苏连云港 12 分） 如图，抛物线y x2 bx c 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形 ，且 OF 2， EF 3，(1) 求抛物线所对应的函数解析式；(2) 求 ABD 的面积；(3) 将 AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°，点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由【答案】 解： (1) 四边形 OCEF 为矩形， OF 2，EF 3，点 C 的坐标为 (0， 3) ，点 E 的坐标为 (2， 3)把 x 0， y

14、3； x2， y 3 分别代入 y x2 bx c，得c=3b=2，解得。4+2b+c=3c=3抛物线所对应的函数解析式为y x2 2x 3。(2) y x2 2x 3 (x1)2 4，抛物线的顶点坐标为D(1 ，4) 。 ABD 中 AB 边的高为 4。令 y 0，得 x2 2x 3 0，解得 x1 1， x2 3。AB 3 ( 1) 4。1 ABD 的面积×4×4 8。(3)如图， AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°，CO 落在 CE 所在的直线上，由（ 1） (2) 可知 OA 1， OC=3，点 A 对应点 G 的坐标为 (3， 2)。2当 x 3 时，

15、 y 3 2×3 3 02，【考点】 二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的6性质，旋转的性质。【分析】 (1) 在矩形 OCEF 中，已知 OF、 EF 的长，先表示出 C、E 的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。(2) 根据 (1)的函数解析式求出A 、B、 D 三点的坐标，以AB 为底、 D 点纵坐标的绝对值为高，可求出 ABD 的面积。(3) 根据旋转条件求出点 A 对应点 G 的坐标，然后将点 G 的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。例 6：（ 2012 江苏无锡2 分） 若抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶

16、点是 A （ 2， 1），且经过点 B（ 1， 0），则抛物线的函数关系式为【答案】 y= x2+4x 3。【考点】 待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A （ 2， 1），可设抛物线的解析式为y=a（ x 2） 2+1。22又抛物线 y=a（ x 2） +1 经过点 B（ 1， 0），（ 1， 0）满足 y=a（ x 2） +1。将点 B（ 1， 0）代入 y=a（ x 2）2 得， 0=a（1 2） 2 即 a= 1。抛物线的函数关系式为22y= （ x 2） +1，即 y= x +4x 3。例 7：（ 2012 浙江宁波12 分） 如

17、图，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象交 x 轴于 A （ 1， 0）， B（ 2，0），交 y轴于 C（0， 2），过 A ， C 画直线（ 1）求二次函数的解析式；（ 2）点 P 在 x 轴正半轴上，且PA=PC，求 OP 的长；（ 3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H 若 M 在 y 轴右侧，且 CHM AOC （点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标；若 M 的半径为 45 ，求点 M 的坐标5【答案】 解：（ 1）二次函数y=ax2+bx+c 的图象交x 轴于 A （ 1，0）， B（ 2， 0）7设该二次函数的解析式为：y=a（

18、x+1）（x 2），将 x=0 ， y= 2 代入，得 2=a（0+1 ）（ 0 2），解得 a=1。抛物线的解析式为 y= （ x+1 ）（ x 2），即 y=x 2 x 2。（ 2）设 OP=x ，则 PC=PA=x+1 ，在 Rt POC 中，由勾股定理，得222x +2=（ x+1） ，解得， x= 3，即 OP= 3。22（ 3） CHM AOC ， MCH= CAO 。（i ）如图 1，当 H 在点 C 下方时， MCH= CAO ， CM x 轴， yM = 2。 x2 x 2= 2，解得 x1=0（舍去）， x2=1。 M （ 1， 2）。（ ii ）如图 2，当 H 在点 C

19、 上方时， MCH= CAO ， PA=PC。由（ 2）得， M为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM的解析式为 y=kx 2，把P（3， 0）的坐标代入，得3k 2=0 ，解得 k=4 。223 y= 4 x2。3由 4 x 2=x2 x 2，解得 x1=0 （舍去）， x2= 7 。33此时 y= 472=10。339 M（ 7，10 ）。3 9在 x 轴上取一点D ，如图 3，过点 D 作 DE AC 于点 E，使 DE= 45 ，5在 Rt AOC 中， AC=AO 2 +CO 2 = 12 +22 = 5 。 COA= DEA=90° ， OAC= EAD ， AE

20、D AOC ，45AD =DE，即 AD=5，解得 AD=2 。AC OC52D（1，0）或 D（ 3，0）。8过点 D 作 DM AC ，交抛物线于M ，如图则直线 DM 的解析式为：y= 2x+2 或 y= 2x 6。当 2x 6=x2 x 2 时，即 x2+x+4=0 ，方程无实数根，当 2x+2=x 2 x 2 时，即 x2+x 4=0 ，解得 x11 17 ， x 21+ 17。22点 M 的坐标为（117 ，17）或（1+1717 ）。23+2，3【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【

21、分析】（ 1）根据与 x 轴的两个交点A 、B 的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C 的坐标代入计算求出 a 的值，即可得到二次函数解析式。（ 2）设 OP=x ，然后表示出 PC、 PA 的长度，在 RtPOC 中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（ 3）根据相似三角形对应角相等可得 MCH= CAO ，然后分（ i ）点 H 在点 C 下方时，利用同位角相等，两直线平行判定 CM x 轴，从而得到点 M 的纵坐标与点 C 的纵坐标相同，是 -2，代入抛物线解析式计算即可； （ ii ）点 H 在点 C 上方时，根据（ 2）的结论，点 M 为直线 PC 与抛物线的另一交点，求出直线 PC

22、 的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M 的坐标。在 x 轴上取一点D，过点 D 作 DE AC 于点 E，可以证明 AED 和 AOC 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD 的长度， 然后分点D 在点 A 的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D 的坐标，再作直线DM AC ，然后求出直线DM 的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M 的坐标。练习题：1. （ 2012 上海市 10 分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10 吨，但不超过50 吨时，每吨的成本y（万元 /吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示（ 1）求 y 关于 x 的函数解析式，

23、并写出它的定义域；（ 2）当生产这种产品的总成本为 280 万元时，求该产品的生产数量（注：总成本 =每吨的成本 ×生产数量）92. （ 2012 山东菏泽7 分） 如图，一次函数y=2 x 2 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、B，以线段 AB3为边在第一象限内作等腰RtABC ， BAC=90° 求过 B、 C 两点直线的解析式3. （2012 甘肃兰州 4 分）近视眼镜的度数 y(度 )与镜片焦距 x(m) 成反比例， 已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为【】A y= 400B y= 1C y= 100D y=1x

24、4xx400x4. （ 2012 广东佛山8 分） (1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax 2 bx c 的解析式； y 随 x 变化的部分数值规律如下表：x 10123y03430有序数对（ 1，0），（ 1， 4），（ 3，0）满足 y=ax 2 bx c；已知函数 y=ax2 bxc 的图象的一部分（如图） (2) 直接写出二次函数 y=ax2 bx c 的三个性质105. （ 2012 山东莱芜 12 分）如图， 顶点坐标为 (2， 1)的抛物线 y ax2 bx c(a 0)与 y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于 A 、B 两点(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物

25、线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC 、 AD ，求 ACD 的面积；(3)点 E 为直线 BC 上一动点，过点得以 D、 E、 F 为顶点的三角形与 BCOE 作 y 轴 的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由6. （2012 山东潍坊11 分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A( 2，O)、B(2 ，0)、C(0 ， l) 三点，过坐标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M 、 N 两点分别过点C、 D(0 ， 2)作平行于x 轴的直线 l1 、 l2 (1) 求抛物线对应二次函数的解析式；(2) 求证以 ON 为

26、直径的圆与直线 l1 相切；(3) 求线段 MN 的长 ( 用 k 表示 )，并证明M 、N 两点到直线l2 的距离之和等于线段MN 的长五 . 待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式ana1n1 ddna1d (其中 a1 为首项， d 为公差， n 为正整数 )，若将 n 看成自变量，an 看成函数，则 an 是关于 n 的一次函数；若一列数a1,a2 , an满足 an

27、an 1knb(其中 k,b 为常数 )，则这列数是二阶11等差数列， 即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项 anan2bnc 是关于 n 的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。典型例题：例 1：（ 2012 湖北孝感 3 分） 2008 年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896190019042012届数123n表中 n 的值等于【答案】 30。【考点】 分类归纳（数字的变化类），待定系数法。【分析

28、】 寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为y=kx+b 。将（ 1， 1896），（ 2， 1900）代入，得k+b=1896，解得k=4。2k+b=1900b=1892 y=4x+1892 。检验：（ 3，1904 ）符合。奥运会的届数与年份之间的关系为y=4x+1892 。当 y=2012 时， 2012=4x+1892 ，解得 x=30 。 n=30 。例 2：（ 2012 山西省 3 分） 如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是【答案】 4n 2。【考点】 分类归纳（图形的变化类） ，待定系数法。【分析

29、】 由图可知：第一个图案有阴影小三角形2 个，第二图案有阴影小三角形6 个，第三个图案有阴影小三角形10 个， ，即形成数对（ 1，2），（ 2，6），（ 3， 10）， 。设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=kx+b ，k+b=2k=4将（ 1， 2），（ 2， 6）代入，得，解得。2k+b=6b= 2 y=4x 2 。检验：（ 3，10）符合。 阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=4x 2 。12当 x= n 时， y=4n 2 。第 n 个图案中阴影小三角形的个数是4n 2 。例 3：（ 2012 湖南永州 3 分） 我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3

30、， 9， 19， 33， 就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差如2， 4， 6， 8， 10 就是一个等差数列，它的公差为2如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列例如数列 1， 3， 9， 19， 33，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2， 6， 10， 14，这是一个公差为 4 的等差数列，所以，数列1， 3， 9， 19， 33，是一个二阶等差数列那么，请问二阶等差数列1，3， 7， 13， 的第五个数应是【答案】 21。【考点】 新

31、定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。【分析】 由已知，二阶等差数列 1， 3， 7，13， 与次序之间形成数对（ 1， 1），（ 2， 3），（ 3， 7），（ 4， 13） 。设二阶等差数列与次序之间的关系为y=ax 2 +bx+c ，a+b+c=1a=1将（ 1， 1），（ 2， 3），（ 3， 7）代入，得4a+2b+c=3 ，解得b=1 。9a+3b+c=7c=1 y=x 2 x+1 。检验：（ 4，13）符合。二阶等差数列 与次序之间的关系为 y=x 2 x+1 。当 x= 5 时， y=21 。13二阶等差数列1，3， 7， 13，的第五个数应是21。练习题：1. （ 20

32、12 山东济宁 6 分） 问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012 个图共有多少枚棋子？建立模型：有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解解决问题：根据以上步骤，请你解答“问题情境 ”142.（ 2012 江苏宿迁3 分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14 个图案中黑色小正方形地砖的块数是.3.（ 2012 广西桂林3 分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小

33、正方形的个数是4.（ 2012 青海省 2 分） 观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n 个图形中共有个5.（ 2012 浙江宁波6 分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：15（ 1）第 5 个图形有多少黑色棋子？（ 2）第几个图形有 2013 颗黑色棋子？请说明理由六 . 待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。典型例题：例 1：（2012 江苏南京2 分）如图，菱形纸片ABCD 中

34、， A=60 0，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A、D处，且 AD经过 B， EF 为折痕，当DF CD 时， CF 的值为【】FD31323131A.B.C.D.2668【答案】 A 。【考点】 翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】 延长 DC 与 AD，交于点M，在菱形纸片ABCD 中， A=60°， DCB= A=60°， AB CD。 D=180°- A=120°。根据折叠的性质，可得 ADF= D=120°， FDM=180°-ADF=60。°

35、DF CD ， DFM=90°， M=90°- FDM=30°。16 BCM=180° - BCD=120° ， CBM=180° - BCM- M=30°。 CBM= M 。 BC=CM 。设 CF=x ， DF=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。 FM=CM+CF=2x+y ，在 Rt DFM中， tan M=tan30°= D Fy3 ， x3-1 y 。FM2x y32 CFx3-1。故选 A。FDy2例 2：（ 2012 江苏扬州 3 分）如图，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点

36、B 恰好落在边 AD 的 F 处，如果 AB BC那么 tan DCF 的值是【答案】5 。2【考点】 翻折变换 (折叠问题 )，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】 四边形 ABCD 是矩形， AB CD ， D 90°，将 矩形 ABCD 沿 CE 折叠，点 B 恰好落在边 AD 的 F 处， CF BC ， AB2， CD2。设 CD 2x， CF 3x ，BC3CF3 DF=CF2CD2DF5x55x 。 tan DCF =。CD2x2例 3：（ 2012 贵州铜仁10 分） 如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角 的邻边与对边的比叫做角角 的邻

37、边AC ，根据上述角的余切定义，解下列问题：余切，记作 ctan ，即 ctan =角 的对边 BC（ 1） ctan30 °=；（ 2）如图，已知tanA= 3 ，其中 A 为锐角，试求 ctanA 的值42，3的17例 4：（ 2012 江苏镇江 11 分） 等边 ABC 的边长为 2， P 是 BC 边上的任一点（与 B 、C 不重合），连接 AP ，以 AP 为边向两侧作等边 APD 和等边 APE，分别与边 AB 、 AC 交于点 M 、 N（如图 1）。（ 1）求证： AM=AN ；（ 2）设 BP=x 。若， BM= 3 ，求 x 的值；8记四边形ADPE 与 ABC

38、重叠部分的面积为S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及S 的最小值；连接 DE ，分别与边AB 、AC 交于点 G、H（如图 2），当 x 取何值时，BAD=15 0？并判断此时以DG 、GH、 HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】 解：（ 1）证明：ABC 、 APD 和 APE 都是等边三角形， AD=AP ， DAP= BAC=60 0， ADM= APN=60 0。 DAM= PAN 。 ADM APN （ ASA ）， AM=AN 。（ 2）易证 BPM CAP， BMBP ，CPCA1833x， AC=2 ，CP=2 x，8，即 4x28x+3=

39、0 。 BN=2x28解得 x=1 或 x= 3 。22四边形 AMPN 的面积即为四边形ADPE 与 ABC 重叠部分的面积。 ADM APN ， S ADMSAPN。 S四边形 AMPNS APMS ANPS APMS ADMSADP。如图，过点 P 作 PS AB于点 S，过点D 作 DTAP 于点 T，则点 T 是 AP 的中点。在 RtBPS 中， P=600， BP=x ，PS=BPsin60 0=3 x， BS=BPcos600= 1 x。22 AB=2 ， AS=AB BC=2 1 x。21232222+2。AP AS PS2 xx=x2x+422SADP1AP DT1AP3 AP=3AP2。2224 SS四边形AMPNS ADP3 AP23 x2 2x+43 x1 2 + 3 3 0 < x < 2 。4444当 x=1 时， S 的最小值为3 3 。4连接 PG，设 DE 交 AP 于点 O。若 BAD=15 0，00 DAP =60 ， PAG =45 。 AD=DP=AP=PE=EA 。四边形 ADPE 是菱形。 DO 垂直平分 AP 。 GP=AG 。 APG = PAG =45 0。 PGA =90 0