第5章特殊随机变量

1、第第5章章 典型的随机分布典型的随机分布胡良剑东华大学理学院L第2学院楼543内容提要内容提要5.1 二项分布5.2 泊松分布5.3 超几何分布5.4 均匀分布5.5 正态分布5.6 指数分布5.8 正态分布产生的分布5.1 二项分布二项分布l实例掷10枚硬币，正面朝上的硬币数；定点投篮5次，投中的次数；旅店预订出320个房间，不来入住的房间数；.5.1 二项分布二项分布l伯努利伯努利(Bernoulli)试验试验：在一次试验中，其结果可以归为成功和失败两类。l伯努利分布：伯努利分布：5.1 二项分布二项分布l例：掷5枚骰子，求其中正好出现2个“6点”的概率？正好出现k个“6点”的概率？l假设

2、：5枚骰子独立同分布。l对于每个骰子， s-出现“6点”, f-不出现“6点”。 P(s)=p=1/6, P(f)=5/6l正好出现2个“6点”的概率正好k个6点的概率k=0,1, 55.1 二项分布二项分布l二项分布二项分布：伯努利试验“成功”的概率每次都为p, 这样独立进行n次，那么“成功”的总次数X服从参数为(n, p)二项分布 ，记为XB(n,p)。l二项分布的质量函数：二项分布的质量函数：5.1 二项分布二项分布5.1 二项分布二项分布5.1 二项分布二项分布5.1 二项分布二项分布l单调性单调性P(X=i)当i(n+1)p递减。l用用Excel计算计算概率质量函数概率质量函数Bin

3、omdist(i,n,p,0)分布函数（累计质量函数）分布函数（累计质量函数）Binomdist(i,n,p,1)5.1 二项分布二项分布l例5.1.1某公司生产的光碟次品率为0.01，每个光碟之间是相互独立的。公司卖出光碟10个一盒，并保证如果每盒中超过1张次品碟就全额退款。问退款的概率有多大？如果某人买三盒，问恰退货一盒的概率有多大？l答案：0.004266，0.012695.1 二项分布二项分布l例5.1.4 假设一家计算机硬件制造商生产的芯片10%为次品。如果我们订100个这样的芯片，令我们收到的次品芯片数量为X，则X是一个二项随机变量吗？l条件独立性(每个芯片是否次品相互独立)；重复

4、性（每个芯片是次品的概率10%）。5.1 二项分布二项分布l二项分布的伯努利分解二项分布的伯努利分解：设XB(n, p)，那么其中Xi相互独立，且为相同的伯努利分布l数学期望和方差数学期望和方差：设X B(n, p) ，那么l可加性可加性: 如果X与Y独立, 且XB(n, p)，YB(m,p)，那么X+YB(n+m, p) 。习题习题lP128 ex2, ex5, ex65.2 泊松分布泊松分布l实例某个地区一周内发生的交通事故数；某个网页一天的访问量；银行网点10分钟的顾客数；一页书的印刷错误数;.5.2 泊松分布泊松分布l称随机变量X服从参数为的泊松泊松(Poisson)分分布布，如果X只

5、取非负整数值0,1,2，且其概率质量函数为l单调性单调性： i 时递减。lExcel计算计算：概率质量函数Poisson(i, , 0)分布函数Poisson(i, , 1)5.2 泊松分布泊松分布 =45.2 泊松分布泊松分布l泊松分布矩母函数l泊松分布数学期望和方差5.2 泊松分布泊松分布l二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似：设XB(n, p) 。当n很大p很小时，其分布近似于参数为 =np的泊松分布，即l证明：5.2 泊松分布泊松分布l例(1)某微信群有20人，每人在1小时内发言的概率为0.1，且相互独立。求1小时内发言人数超过3人的概率。l解：二项分布l(2)某微信群有200人，每人

6、在1小时内发言的概率为0.01，且相互独立。求1小时内发言人数超过3人的概率。l解：用泊松分布近似5.2 泊松分布泊松分布l例5.2.1 假设某段高速公路平均每周发生的事故数为3。计算一周至少发生一起事故的概率。5.2 泊松分布泊松分布l泊松分布的可加性泊松分布的可加性: 独立的泊松随机变量之和仍为泊松随机变量. l具体地说，设X1和X2为相互独立的泊松随机变量，它们的均值分别为1和2, 那么X1+X2为均值是1+2的泊松随机变量。l证明：利用矩母函数。5.2 泊松分布泊松分布l例 5.2.4 如果保险公司平均每天处理的索赔数量是5，且不同天的索赔数量是相互独立的。问：从长期来看，索赔数量小于

7、3件的天数所占的比例是多少？ 5天中恰好有3天的索赔数量是4件的概率是多少？ 5天中索赔数量总数是12件的概率是多少？习题习题lP256 ex11, ex13, ex165.3 超几何分布超几何分布l模型：一个盒子里有N只白球，M只黑球。随机选取(没有重复) n只，则取得的白球数服从超几何分布。l称随机变量X服从参数为(N, M, n)的超几何分超几何分布布，如果概率质量函数为5.3 超几何分布超几何分布l例5.3.1 从20个有用的组件中随机地选出6个组件，组成了一个6个组件系统。当6个组件中至少有4个组件合格，则所组成的系统能够运作。如果20个组件中有15个组件合格，那么所组成的系统能够运

8、作的概率为多少？5.3 超几何分布超几何分布例5.3.2 居住在某个地区的动物的数量未知，设为N。科学家们做了如下的试验：他们捕猎了若干动物数量设为r，以某种方式标记它们再释放。标记的动物在区域内分散一段时间后重新进行捕猎，设捕获的动物数量为n, 我们令X表示在第二次捕猎当中被标记的动物的数量，那么它服从参数(r, N-r, n)的超几何分布5.3 超几何分布超几何分布l假设X的观测值为i，也就是说在第二次捕猎当中被标记的动物所占比例为i/n，把这个比例作为整个区域中被标记动物所占比例r/N的近似值，我们能够得到整个区域动物总数的估计值为nr/i。l例如，初始被捕的动物数量r=50，把这些动物

9、标记再释放，第二次被捕的动物数量n=100，其中被标记的动物数量X=25，然后我们能够估计出在整个区域动物的总数大约为200。5.3 超几何分布超几何分布l设随机变量X服从参数为(N, M, n)的超几何分超几何分布布，则l其中p=N/(N+M)l证明参照第4章习题33.5.3 超几何分布超几何分布l模型：一个盒子里有N只白球，M只黑球。独立重复随机选取n只（取一个记颜色后放回再取下一个），则取得的白球数服从二项分布B(n, N/(N+M)l超几何分布的二项分布近似：当N和M比起n大很多，参数为(N, M, n)的超几何分布近似超几何分布近似于于B(n, N/(N+M) 。5.3 超几何分布超

10、几何分布l模型：设有两个盒子都有大量白球和黑球，其中白球的比例都为p，现从两个盒子分别取n, m只球。那么两个取出的白球数分别服从B(n,p)和B(m,p)。l问题：若已知两个盒子取出的白球数之和是k, 问第一个盒子取出的白球数服从什么分布？l答：参数为(n, m, k)的超几何分布超几何分布习题习题lP129 ex18, ex205.4 均匀分布均匀分布定义：定义：设随机变量X在区间, 上等可能取值，则其密度函数称为区间, 上的均匀均匀分布分布。5.4 均匀分布均匀分布例5.4.2公交车上午7点出发每隔15分钟在某站停靠一次，也就是说在该站的停靠时间为7:00,7:15,7:30,7:45等等. 如果一个乘客到达该站的时间在7:00和7:30之间并且服从均匀分布，解出他等待公交的时间的概率(a) 等待公交的时间小于5分钟；(b) 等待公交的时间至少为12分钟。5.4 均匀分布均匀分布l数学期望和方差：设X服从区间, 上的均匀分布，