结构力学-结构稳定--

1、二二. .能量法确定临界荷载能量法确定临界荷载例一例一: :求图示结构的临界荷载求图示结构的临界荷载. .P PEIlkyP P解解: :应变能应变能ykyVe21PPViie*外力势能外力势能2sin2cos2llllylyll2)(21)2(2222lPy22结构势能结构势能*PePVVE22ylPlk 0ylPlkdydEPlkPcr由势能驻值原理由势能驻值原理得临界荷载得临界荷载例二例二: :求图示结构的临界荷载求图示结构的临界荷载. . 解解: : 应变能应变能22212121kykyVe2)(221222*lyylyPPViie外力势能外力势能结构势能结构势能*PePVVE2)(2

2、2121212222221lyylyPkykyklP PEIlk1yP P2y)2(2)(21222121yPklyPyyPkll02211yyEyyEEPPP01yEP02yEP0)(1211PyyPkllyEP0)2(1212yPklPylyEP02PklPPPkl03222lkklPPklklklP382. 0618. 2253klPcr382. 0三三. .瑞利里兹法瑞利里兹法)(xyEIM P PEIlP PEIxyx)(xydsdxdsdxdy应变能应变能ledxEIxMV02)(21 ledxxyEIV02)(21dxydxdxds2)(1 1)(1(2/12ydx 1)(211

3、 2ydxdxy2)(21dxydxdsll200)(21)(ledxyPPV02*)(2外力势能外力势能结构势能结构势能*PePVVE lldxyPdxyEI0202)(2)(21设设)()()()(2211xaxaxaxynn)(1xaiini将无限自由度化为有限自由度将无限自由度化为有限自由度. .结构势能则为结构势能则为 的多的多元函数元函数, ,求其极值即可求出临界求其极值即可求出临界荷载荷载. .naaa,21lEIEIP P22lEIPcrlxaxysin)(例例: :求图示体系的临界荷载求图示体系的临界荷载. .xyx)(xy解解: :1.1.设设234024)(21alEId

4、xxyEIVle 2202*4)(2PaldxyPVle2234)44(aPllEIEP0)22(234aPllEIdadEP022234PllEI精确解精确解: :22lEIPcr212lEIPcr例例: :求图示体系的临界荷载求图示体系的临界荷载. .lEIEIP Pxyx)(xy解解: :)(4)(22xlxlaxy2.2.设设精确解精确解: :22lEIPcr误差误差:+21.6:+21.6%3.3.设杆中作用集中荷载所引起的位设杆中作用集中荷载所引起的位 移作为失稳时的位移移作为失稳时的位移. .l/2l/2Q)(xy)20()1216()(32lxxxlEIQxy令令EIQla34

5、8)43()(33lxlxaxy210lEIPcr误差误差:+1.3:+1.3%5. 剪力对临界力的影响剪力对临界力的影响EIEIGAGAlP Pxyx)(1xy)(2xy)(1xy设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为 和和)(2xy22221222)()(dxydxdxyddxxydEIMy 1 同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时同时考虑弯矩和剪力对变形的影响时的挠曲微分方程的建立的挠曲微分方程的建立:二者共同影响产生的挠度为二者共同影响产生的挠度为)()()(21xyxyxy近似的曲率为近似的曲率为弯矩引起的曲率为弯矩引起的曲率为dxxdy)(2dxdMGAG

6、AQdx2dyQQ截面形状系数截面形状系数矩形截面为矩形截面为1.2圆形截面为圆形截面为1.1122222)(dxMdGAdxxyd挠曲微分方程为挠曲微分方程为2222)(dxMdGAEIMdxxydEIEIGAGAlP Pxyx)(1xy)(2xydx2dyQQ22222)(dxMdGAdxxyd挠曲微分方程为挠曲微分方程为2222)(dxMdGAEIMdxxyd对于图示两端铰支的等截面杆对于图示两端铰支的等截面杆,有有yPMPyM ,2222)(dxydGAPEIPydxxyd0)1 ( yEIPGAPy令令)1 (2GAPEIPm0)()(2 xymxy方程的通解方程的通解mxBmxAx

7、ysincos)(边界条件边界条件0)(0)0(lyyEIEIGAGAlP Pxyx)(1xy)(2xydx2dyQQ对于图示两端铰支的等截面杆对于图示两端铰支的等截面杆,有有yPMPyM ,2222)(dxydGAPEIPydxxyd0)1 ( yEIPGAPy令令)1 (2GAPEIPm0)()(2 xymxy方程的通解方程的通解mxBmxAxysincos)(边界条件边界条件0)(0)0(lyy0sinmlB0sinml稳定方程稳定方程lmml/,)1 (22GAPEIlPEIlGAEIlPcr22221kPEIEIGAGAlP Pxyx)(1xy)(2xydx2dyQQ0sinmlB0

8、sinml稳定方程稳定方程lmml/,)1 (22GAPEIlPEIlGAEIlPcr22221kPEIlPk22不计剪变的欧拉临界力不计剪变的欧拉临界力EIlGA2211修正系数修正系数kPGA11kG11欧拉临界应力欧拉临界应力对于三号钢对于三号钢,比例极限为比例极限为200MPa.若取若取2 . 180GPa,GMPa,200k1003. 11结论结论:实体实体杆件中杆件中,剪力对临界荷剪力对临界荷 载的影响很小载的影响很小,可略去不计可略去不计.不计剪力对临界荷不计剪力对临界荷 载的影响载的影响所得到的临界荷载是大还是小所得到的临界荷载是大还是小?6. 组合压杆的稳定组合压杆的稳定缀条

9、式缀条式缀板式缀板式肢杆肢杆缀条缀条缀板缀板组合压杆的临界荷载比组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体截面和柔度相同的实体压杆的小压杆的小, ,节间数目较多节间数目较多时可用上节推出的实体压杆时可用上节推出的实体压杆的临界荷载计算公式作近似计算的临界荷载计算公式作近似计算. .kcrPPEIlPk22kPGA11dx2dyQQGAQGAdx2dyQQGAQGA一一. .缀条式组合压杆缀条式组合压杆1Q1QPPldbzd/tan11 11EAlN2111不计肢杆轴变不计肢杆轴变. .PA-水平缀条截面积水平缀条截面积. .qA-斜杆截面积斜杆截面积. .qPEAdEAbsin)cos1() 1

10、(2211)tan/(db )cossin1tan1(2qPAAEd)cossin1tan1(12qPAAEPPldbz1Q1Q11dx2dyQQGAQGA)cossin1tan1(12qPAAEkcrPPEIlPk22kPGA11)cossin1tan1(112qPkkcrAAEPPPI 的计算的计算: :I 为两根肢杆的截面对为两根肢杆的截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩.设一根肢杆的截面积为设一根肢杆的截面积为A,对自身形心轴的惯性矩为对自身形心轴的惯性矩为I12121212)2(22AbIbAIIPPldbz1Q1Q11kcrPPEIlPk22kPGA11)cossin1tan1(112qP

11、kkcrAAEPPP若略去横杆影响若略去横杆影响, ,两侧都有缀条两侧都有缀条, ,则上式为则上式为2cossin211qkkcrAEPPP若写成欧拉问题基本形式若写成欧拉问题基本形式22)(lEIPcr222cossin211qAlI2cossin211qkkcrAEPPP若写成欧拉问题基本形式若写成欧拉问题基本形式22)(lEIPcr222cossin211qAlI若用若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴z z的回转半径的回转半径, ,即即22ArI 并且并且, ,一般一般 为为 , ,故可取故可取603027cossin22并引入长细比并引入长细比rl /2271qAA若采用换算长细比若采用换算长细比 , ,则有则有h若用若用 r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴z