数学实验概率论及数理统计分册习题

1、数学实验概率论与数理统计分册习题第1章 古典概率2碰运气能否通过英语四级考试大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等。除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D四个选项。这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?解：假设学生作文得满分，即15分，85道选择题每道题都靠蒙，即每道题做对的概率为1/4，得60分则通过考试。则该同学通过考试的概率为：P=>> nchoosek(85,40)*(1/4)45*(3/4)40ans = 2.3448e-008即

2、：由此可见，即使该同学作文满分，靠运气通过考试的概率也是如此的低，所以可以认为靠运气不能通过英语四级考试。3.在区域H(x，y)| (x，y)Q，x2+y21，Q(x，y)|0x1，0y1上考虑计算二重积分（利用Monte-carlo法）：解：积分区域如右图所示：>> n = 10000; % 模拟次数x = rand(n,1); % 点的x坐标y = rand(n,1); % 点的y坐标m = sum(sin(x+y)./(x+y) & x.2 + y.2 <= 1);Vn = m/n % 落到所求面积内的点的频率，即概率的模拟值Vn = 0.7891第2章 随机变

3、量及其分布4公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会在0.01以下的标准来设计的。根据统计资料，成年男子的身高X服从均值为168厘米，方差为7厘米的正态分布，那么车门的高度应该至少设计为多少厘米？解：>> norminv(0.99, 168, 7)ans = 184.2844则车门的高度应该至少设计为184.3厘米5某研究中心有同类型仪器300台，各仪器工作相互独立，而且发生故障的概率均为0.01，通常一台仪器的故障由一人即可排除。试问：（1）为保证当仪器发生故障时，不能及时排除的概率小于0.01，至少要配多少个维修工人？（2）若一人包修20台仪器，仪器发生故障时不能及时排除

4、的概率是多少？（3）若由3人共同负责维修80台仪器，仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？解： （1） 设X表示300台仪器中发生故障的台数，则X B（300，0.01），设b为需要配备的维修工人数，则应有PX > b0.01，即 ，由于n=300较大，p=0.01较小，根据泊松定理，可以用=np=3的泊松分布近似计算。用Matlab计算：>> poissinv(0.99,3)ans =8所以为达到要求至少需配备8名维修工人。        （2）设Y表示20台仪器中发生故障的台数，则Y B（20，0.0

5、1）。若在同一时刻发生故障的仪器数Y2，则一个工人不能维修，此概率为，用Matlab计算：>> 1-0.9920-nchoosek(20,1)*0.01*0.9919ans =0.0169则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0169。（3）设Z表示80台仪器中发生故障的台数，则ZB（80，0.01）。若在同一时刻发生故障的仪器数Z4，则由三个工人共同负责保修时不能及时维修，此概率为用Matlab计算：>> 1-0.9980-nchoosek(80,1)*0.01*0.9979-nchoosek(80,2)*0.012*0.9978-nchoosek(80,3)*0.

6、013*0.9977ans = 0.0087则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0087。6.某糖果生产厂将产品包装成500克一袋出售，在众多因素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从正态分布N(m，b2)，其中b已知，m可以在包装时调整，出厂检验时精确地称量每袋重量，多余500克的仍按500克一袋出售，因而厂家吃亏；不足500克的降价处理，或打开封口返工，或直接报废，这样厂方损失更大，问如何调整m的值使得厂方损失最小？解：假设b=1【实验方案】1设定x为产品包装后的重量，依题意x为一随机变量，且服从正态分布N(m，b2)，概率密度函数为：，（<x<），b>0为

7、已知，m待定。当成品重量M给定后，记： PP(xM) PP( x<M) 故而有 ： PP1由以上分析，可将上式的第一项作为目标函数J(m)： J(m)，P(m)表示概率PP(xM)是m的函数分析题意可知，厂方损失Y由两部分组成：（1）xL时，多余部分，重量为（xL）；（2）x<L时，整袋报废，重量为x； YmMP2上式中的Y即为没生产一袋糖果所损失的平均重量，所以生产N袋糖果，得到N P袋成品，损失总重量为（mNMN P），因此每得到一袋成品所损失糖果的平均重量J1为： J13求函数J(m)的最小值点即可。4问题的简化：设F(x)为正态分布N(m，b2)的分布函数，(x)为标准正态

8、分布的分布函数，则， J(m) 令c，d，zdc则上式可简化为： J(z)【实验过程】1生成目标函数：在Matlab的Medit建立文件Jminm：function J=Jmin(m)J=m/(1-normcdf( (500-m),0,1);2画目标函数的图形：在Matlab的Medit窗口建立文件figerm：for m=5000:0.001:510J=Jmin(m);plot(m,J)hold onend运行结果为：从目标函数的图形可以看出，函数在500到505内取得最小值，而且当自变量向500逼近时，函数图像值急剧上升，自变量从503开始以后，函数图像接近于一条直线。3目标函数的最小值和

9、最小值点的计算：在Matlab的Medit建立文件minwastem：min=600;minm=0;for m=500:0.001:530 J=Jmin(m);if J<=min min=J; minm=m;endendwasteaverage=min-500; minm,min,wasteaverage运行后运行结果为：minm = 503.2570min = 503.5405wasteaverage = 3.5405即当m=503.2570时，目标函数值最小，最小值为503.5405，此时，生产一袋成品所损失糖果的平均重量J1 =3.5405。第3章随机变量的数字特征1设有标着1，2

10、，9号码的9只球放在一个盒子中，从其中有放回地取出4只球，重复取100次，求所得号码之和X的数学期望及其方差。 解：在MATLAB命令窗口输入：>> n = 100;sele = ;for ii = 1:n sort = randperm(9); sele(:,ii) = sort(1:4);endsigma = sum(sele);Ex = mean(sigma), Dx = var(sigma)输出结果为：Ex = 19.7000Dx = 15.50512假定国际市场上每年对我国某种出口商品需求量是随机变量（单位：吨），它服从2000, 4000上的均匀分布。如果售出一吨，可获

11、利3万元，而积压一吨，需支付保管费及其它各种损失费用1万元，问应怎样决策才能使收益最大?解：每年生产该商品x吨，收益为y，故y与需求量有关，也于生产量x有关，即：而x的密度函数，通过对求导，令得到当吨时, 达到最大值8250万元 。在Matlab命令窗口输入：>> syms x zita1=3*x; % x < z ita2=3*z-(x-z); % x>zphix=1/2000;Eita=simplify(int(ita2)*(phix),z,2000,x)+int(ita1)*(phix),z,x,4000)dif=diff(Eita,x)x=solve(dif)E

12、=eval(Eita)输出结果为Eita = 7*x - x2/1000 - 4000dif = 7 - x/500x = 3500E =82503某厂生产的某种型号的细轴中任取20个，测得其直径数据如下（单位：mm）：13.26，13.63，13.13，13.47，13.40，13.56，13.35，13.56，13.38，13.20，13.48，13.58，13.57，13.37，13.48，13.46，13.51，13.29，13.42，13.69 求以上数据的样本均值与样本方差。解：在MATLAB命令窗口输入：X=13.26,13.63,13.13,13.47,13.40,13.56,

13、13.35,13.56,13.38,13.20,13.48,13.58,13.57,13.37,13.48,13.46,13.51,13.29,13.42,13.69;j=mean(X),f=var(X)输出结果为：j = 13.4395f = 0.02114将一枚硬币重复掷n次，并以X，Y分别表示出现正面和反面的次数求X和Y的相关系数。解：用MATLAB模仿掷硬币过程，程序如下：>> n=1000; %试验次数for i=1:1:nx(i)=binornd(1, 0.5);end;z=sum(x) %正面朝上次数f=n-z %反面朝上次数s=corrcoef(z,f) %相关系数

14、 输出结果：z = 499f = 501s = 15设某小型水电站一天的供电量X(kWh)在100，200上均匀分布，而当地人们的需求量Y在100,250上均匀分布。设水电站每供电1kWH有利润0.2元；若需求量超过供电量，则水电站可以从电网上取得附加电量来补充，每供电1kWH有利润0.1元。求该水电站在一天内利润的数学期望。解：由于X，Y独立，可知（X,Y）的联合密度为利润函数为：因此，平均利润为：下面我们确定有效的积分区域，有效的积分区域应该使得，所以得到如下的图形： D1表示，D2表示Y>X，所以在Matlab命令窗口输入：syms x yita1=0.2*y/15000;ita2

15、=0.1*(x+y)/15000;a=int(int(ita1,y,100,x),x,100,200)+int(int(ita2,y,x,250),x,100,200)c=vpa(a,4) %得到4位近似解，也可以任意N位解输出结果为：a =565/18c =31.396甲、乙两组各有6位同学参加同一次测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。解： 这道题是要比较两组的方差大小。在Matlab命令窗口输入：>>A=95,85,75,65,55,45;B=73,72