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文档简介

1、1一根水平放置长度为L的弦(两端被固定) ，其单位长度的重力为r g，其r 中是弦的线密度，g 是重力加速度。若弦的初始形状如图所示：（1）推导出弦的微振动方程；（2）写出定解问题。解：（1）设弦的微震动方程为：依题意=-g，所以弦的微震动方程为：（2）根据所给图形，利 依题意，刚开始时，v=0.，所以又弦的两端固定，所以，所以定解问题为： 用相似三角形，得：当，；当时， ，2.设有一个横截面积为S，电阻率为r的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布的直流电通过。试证明导线内的热传导方程为： 其中c， ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数 解：设导线内的热传导方程为：依题意，=将其代入

2、得 3长度为L的均匀杆，侧面绝热，其线密度为、热传导系数为k、比热为c 。（1）推导出杆的热传导方程；（2）设杆一端的温度为零，另一端有恒定热流q 进入（即单位时间内通过单位面积流入的热量为q），已知杆的初始温度分布为，试写出相应的定解问题。解:(1)根据热传导方程可得，导出杆的热传导方程为其中（2）依题意，=因为杆一端的温度为零，所以=0另一端有恒定热流q所以 k综上得，定解问题为:=0k1设Xn（x）=(n=1,2,3.)其中L是常数。求证： 证明： 根据三角函数的正交性定理，当时，所以当时，所以=2/L=1即2.设有一根长度L=10的弦，两端固定，初始位移为，初始速度为零。求弦作微小振动

3、时，任意点离开其平衡位置的位移解： 依题意写出定解问题 0<<10 ,>0 >0 设，再根据可得 设= 则 再由可得 解方程组： 分析可知 >0,设将其代入得将代入，得 所以将代入，解得所以 所以 因为所以，解得所以 = 0 为偶数 为基数所以3.求解定解问题： （0<<） (>0) (0<<)解：根据边界条件，取本征函数 （相对应的本征值为则利用初始条件得所以所以4.解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为， ，解：写出定解问题：= 0<<,>0 , 0 0 ,设，代入 ，得=由此 当=0时，结合边界条件得所以当&

4、gt;0,根据边界条件选取本征函数： （相对应的本征值为则则根据初始条件得=所以=综上得5.把高频输电线充电到具有电压E，然后一端短路封闭另一端仍保持断开，求以后的电压分布。解：设输电线长为，依题意得定解问题： <<,>0 , t>0 设分离变量得：根据边界条件选取本征函数：（=1,2,3.）相对应的本征值为则则 （=1,2,3.）则+则+再根据初始条件，可得所以5. 有界杆的长度为L，其左端保持恒定温度(摄氏零度),右端自由散热(设外界介质温度为摄氏零度)。u已知杆内初始温度分布, 求解杆内任意时刻温度分布的定解问题：= 0<x<,>0 0<x< , ( >0 设分离变量得 解，由边界条件得 ，由此可得 设，则 可化为 由上式的特征值为，,相应的特征函数为再由得 由此得再由初始条件得所以（）6.求下列定解问题 + （0<<，>0） (>0) (0)解：设则 ，代入原方程得 （0<<，>0

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