双曲线标准方程

1、回顾椭圆的定义及椭圆的标准方程回顾椭圆的定义及椭圆的标准方程和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,复习回顾复习回顾|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 标准方程：22221xyab22221yxab或差差平面内与两个定点的距离平面内与两个定点的距离的的差差等于常数（小于两定等于常数（小于两定点之间的距离）的点的轨点之间的距离）的点的轨迹是什么？迹是什么？(0)ab双曲线双曲线F2 2F1 1M类比椭圆的定义类比椭圆的定义你能给出双曲线你能给出双

2、曲线的定义吗？的定义吗？M图像图像 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；1 1、双曲线定义、双曲线定义思考：思考：（1）若）若2a=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（2）若）若2a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？注意注意（3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )两条射线两条射线( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹 |F1F2| =2cF2 2F1 1MxO Oy求曲线方程的步骤求曲线方程的步骤（类比椭圆方程推导）（类比椭圆方程推导）推导双曲线的标准方程推

3、导双曲线的标准方程1.1.建系建系. . 以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中垂线为的中垂线为y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x , y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化简化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222cab令222221()yxacaca) 0, 0( 12222babyax焦点在焦点在x轴上轴上的双曲线的标的双曲线的标准方程准

4、方程22221xyab或221abF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy)00(ba，（1）当焦点在）当焦点在x轴上时：轴上时：2x2y2.双曲线的标准方程双曲线的标准方程 方程右边是方程右边是1 1，左边用，左边用“”号连接。号连接。 分母分母是是 但但 大小不定。大小不定。0, 0,22bababa,222cab如果如果 的系数是的系数是正正的的，则焦点在则焦点在 轴上轴上； 如果如果 的系数是的系数是正正的的，则焦点在则焦点在 轴上轴上。2xx2yy类比椭圆方程，分析类比椭圆方程，分析双曲线标准方程有何双曲线标准方程有何特点？特点？abc有何关系？有何关系？借助方程如何判断焦借助方程如

5、何判断焦点的位置？点的位置？（2）当焦点在）当焦点在y轴上时：轴上时：222cab即 1、判断下列方程是否表示双曲线？、判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出若是，求出 及焦点坐标。及焦点坐标。cba, ) 0, 0( 1412431222124122222222nmnymxyxyxyx答案：答案：(6,0).( 6,0) 22,2,2abc(0, 6).(0,6) 4,ambncm n尝试练习尝试练习 12,2,6abc( 2,0).(2,0) 32,2,6abc(,0).(,0)m nm n（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。焦点所

6、在的坐标轴。(2)分母是分母是 但但 大小大小不定。不定。0, 0,22bababa,(3) 222- =c a b 如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；轴上；如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上。轴上。2xx2yy求双曲线的焦点坐标及求双曲线的焦点坐标及abc等问题等问题即即 222bac练习练习2：求适合下列条件的双曲线的标准方程。：求适合下列条件的双曲线的标准方程。 焦点在在焦点在在 轴上，轴上， ； 焦点在在焦点在在 轴上，轴上， x3,4ba191622yx221.54yxy5 ,3ac4,6bc2212016xy221.2016yx

7、或解解: :21解得或mm -(2)(1)0即m m24(1)a=4,A(1,10)3(2)M 1,1N -2,5例 、求适合下列条件的双曲线的标准方程经过点，两点，22(2)1778xy22(1)1169yx221mxny设(0)mn 222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）F ( c, 0) 22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababyxoF2F1MxyF2F1MF(0, c)小结小结双曲线双曲线222cab待定系待定系数法求数法求方程方程定定 义义 标准标准方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）c2

8、-a2=b2a2-c2=b2|MF1|MF2|=2a |F1F2|=2c椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xya bab 22221(0)yxa bab 22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababab0a0，b0，但，但a不不一定大于一定大于b，如何判断如何判断焦点位置焦点位置看看x2 ， y2的分母谁大的分母谁大焦点就在哪轴上焦点就在哪轴上看看x2 ， y2的系数谁为正，的系数谁为正，焦点就在哪轴上焦点就在哪轴上221P421Pxy学案：5、已知双曲线上的一点 到双曲线的一个焦点的距离为6，则点 到另一个焦点的距离是_F2 2F1 1PxOy

9、12|PF|-|PF|=2a=4解：由双曲线的定义知：2|6-|PF|=42|PF|=10或22|PF|c a 32|PF|=101212|AF|-|AF|=2a|BF|-|BF|=2a解：由双曲线的定义知：F2 2F1 1AxOy11ABC|AF|+|BF|+|AB =的周长为：2|AF |+2|BF |+|AB|aa22|AF |+|BF |+|AB|4a+4 +2|AB|a+2ma4 练习：求适合下列条件的双曲线的标准方程。练习：求适合下列条件的双曲线的标准方程。 焦点在在焦点在在 轴上，经过轴上，经过 点点 焦点为焦点为 ，且经过点，且经过点 x) 2,315(),3, 2(.1322

10、yx(0, 6),(0,6)(2, 5)2212016yx课本课本1012|PF|-|PF|=6222222222222(1)| (4)(4)| 6(2) (4)(4)6(3) (4)(4)8xyxyxyxyyxyx练习：试说明下列方程各表示什么曲线？2ABCB(4,0),C(-4,0),A1sinB-sinC=sinAA.2例 、在中，点 移动时满足，求点 的轨迹1 sinsinsin,2BCA解解: 在在ABC中中, ,| |BC|=8|=8，118422由正弦定理得ACABBC 由双曲线的定义知顶点由双曲线的定义知顶点A的轨迹是的轨迹是以以B、C为为焦点的双曲线的右支除去一点焦点的双曲线

11、的右支除去一点又因又因c=4，a=2，则，则b=12221 (2) 2xyx 2 22 2则顶点则顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为BCAoxy8 |BC 学案127、8PCAoxy解： 两圆外切12|PC|=rr=4+|PA|PC|-|PA|=46|AC|PAC由双曲线的定义知点 的轨迹是以为教的的双曲线的右支24,26ac22,5ab22P1()45xy点轨迹方程为右支练习第练习第1 1题详细答案题详细答案2.2.课本课本62P习题习题 2.32.3 A A 组第组第 5 5 题题 如图如图, ,圆圆O的半径为定长的半径为定长r, ,A是是圆圆 O 外一定点外一定点, ,P 是圆上任意一点是圆

12、上任意一点, ,线段线段 AP 的垂直平分线的垂直平分线 l 和直线和直线 OP相交于点相交于点 Q Q,当点当点 P 在圆在圆 O 上运动时上运动时,点点 Q Q 的轨迹是什么的轨迹是什么? ?为什么为什么? ? 3 sinsinsin,5BCA解解: 在在ABC中中, ,| |BC|=10|=10，33106 1055ACABBC 由由正正弦弦定定理理得得由双曲线定义知顶点由双曲线定义知顶点A的轨迹是的轨迹是以以B、C为焦点的为焦点的双曲线的左支除去一点双曲线的左支除去一点又因又因c=5，a=3，则，则b=4221 (y3)916yx 2 22 2则顶点则顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为yB

13、CAox 使使A、B两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解: : 由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,可知可知A A地与爆炸点地与爆炸点的距离比的距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m. .因为因为|AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸点爆炸点的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例3 3. .已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆炸声地听到炮弹爆炸声比在比在B B地晚地晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹求炮弹爆炸点的轨迹方程方程. .如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 6800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点