沈家门二小答数学疑难

1、沈家门二小答数学疑难（杨老师：观点纯属个人所见和教学实践。但态度比较认真！）一、教材四上年级第20页提到“0”也是自然数，最小的自然数是“0”，那么“0”是最小的一位数吗？把0、1、2、3、4、5、6分成两类的理由说成是按单数与双数来分可以吗？（沈家门二小王宇娜回答）答：第一个问题：规定0是自然数后，那么最小的一位数还是不是“1”？在0没有归属自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，我们分析后，一致认为最小的一位数还是1。其理由是： （1） 0表示一个物体也没有，在记数法中表示的是空位的一个符号，如3005就

2、表示里面有3个千，5个一。“00”分别表示这个数的十位、百位都是空位，通常不说成0个百、0个十。（2）关于“几位数”数学中是这样定义的：只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，且左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数”。有效数字：是指从左边一个不为0的数字起，到右边要精确保留的数字止，之间的所有数字。也就是说，0在最左边时，不是有效数字，只有0按要求依附在非0数字的右边时，才具“有效数字”的功能。因此，独立的0通常不看成是有效数字。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。 （3）假设“独立的一个0是一位数”成立，那么两个连续的0就应看作两位

3、数，这样最小的两位数就不是10，而是00，还有比10小的01、02、03。那么最小的三位数、四位数呢？一个12档的算盘上，数位为空时，是表示0（最小的一位数），还是表示最小的12位数（12个0）？ （4）九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数但是要注意：一般不说0是几位数。”他没像初中教材那样理性化，但已作了明确规定，建议数学教师在面对小学生时，也不能探究得太深，应该直接用讲授法较好。（5）再深入思

4、考一下，我们会发现，计数单位是个、十、百，在相应区域中最小的一个数应至少一个那样的单位。即：最小的三位数应是1个百（100），最小的两位数应是1个十（10），依此类推，最小的一位数应是1个一（1）（如搞成0个一，是没道理的。）    因此，我们有充分的理由说：所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说的。所以，最大的一位数是9，最小的一位数是1，老师们有这种争论精神是好的，但如不讲求实效，一味地去只说不做，甚至给学生答复也“吞吞吐吐”，说什么“真假难断，还待研究”是不对的。更不能在当前去说最小的一数是“-9”，那样的话，最小的两位数就是“-99

5、”了，那样会严重影响数学的教学习。     第二个问题：0是双数吗？ 在以前的老教材里：0既不是奇数也不是偶数。现在新教材里又重新把0规划到偶数里。我认为单双数是不包括0的。因为：0是没有,更不用谈成双了。如果说双数就是偶数,偶数是跟整除有关的,而整除的定义是在非0的自然数的范围内产生的,所以我认为,0不是双数!二、怎样向学生讲清0为什么不能作除数的理由？（王宇娜回答）在乘除法的认识的教学中，对于“0不能做除数”的规定，常说“零做除数没有意义”或“规定零不能做除数”,我们教师往往只是把它当作一个结论来处理，强调“0做除数，没有意义”。其实这正是

6、“乘除法关系”的一个极好的例子。究竟“零为什么不能做除数”呢?这可从两个方面谈起： （1）当被除数是零，除数也是零时，我们可写成0÷0=X的形式，看商X是什么？根据乘法与除法互为逆运算的关系有：被除数=除数×商，这里除数已为零，商X无论是什么数（是正数、负数、零）、与零相乘都等于零。即0=0×X，这样商X是不固定的。X是任何数与零相乘都等于零。我们知道四则运算的结果是唯一的，这就破坏了四则运算结果的唯一性。在这种情况下，我们简单地说：“被除数和除数都为零时，不能得到固定的商。” （2）当被除数不为零时，而除数为零时的结果看，我们可写成5÷0=X，商X无论

7、是什么数，与除数“0”相乘都得零，而不会得5，即0×X5或其他不是零的数。我们简单地说：“当被除数为零，而除数是零时，用乘除法的关系来检验，是还不回原的”。所以，“0”在4种运算中，就是不可以以除数的身份出现。 鉴于以上两种情况：一是零做除数不能得到固定的商；二是零做除数还不回原。因此说：“零做除数没有意义”或“规定零不能做除数”。三、把18.2缩小到它的1/10，就是把18.2的小数点向左移动一位，即18.2÷10=1.82,但学生往往会列成18.2÷1/10，怎么办？（宋娜回答）答:告诉学生把18.2缩小到它的1/10，就是求它的1/10是多少？它是单位“1”

8、，就是求18.2的1/10是多少？就不会列成18.2÷1/10了。四、求末知数X在学习方程前就出现了，不知该用哪种方法解答？如果用老方法求末知数X。那会给后面的解方程教学带来麻烦吗？教学上有什么建议？（沈二小柳凌斐）答：问题一、求末知数X在学习方程前就出现了，不知该用哪种方法解答？求末知数X在小学伊始便有稚形，形如（ ）+5=8，×8=72， 63÷=9等，每一位老师都会引导学生运用逆向思维来解答。到小学中段，用符号代替转化为代数后产生形如X+5=8，8X=72，63÷X=9的求末知数X的题型，（当然是在许多教辅材料出现），虽然形变但其数学思想依旧不变。

9、我们可引导学生用和减另一个加数，用积除以另一个因数，用商乘以除数，用被除数除以商等包含逆向思维的数量关系进行解答。问题二、如果用老方法求末知数X。那会给后面的解方程教学带来麻烦吗？我觉得不会。许多教师会出现该用老办法还是新办法的困惑个人认为是源于对数学知识互相不能融会贯通的原因。不管是人教版的等式的性质还是浙教版的数量关系，数学知识是统一的，数学思想是相通的，两者有所不同但互不排斥，老师如何将多种方法灵活运用，并进行巧妙的组合，是关键所在。当然也有对运用等式性质进行方程解答的一些疑惑。“以数学思想转化的不变应数学题型的万变”，是我教学的原则，我今年已进入人教版教学的第六年，经历了最稚形的填空题

10、、中段的求末知数和五年级的解方程的教学，从课堂的学情反馈，学生的掌握程度较高。关于低段和中段的相关知识我在第一部分已说明。五年级有许多家长和老师都有许多疑惑，特别是对运用等式性质解答形如a-x=b或a÷x=b的方程的教学时，有一定的困惑。为此教研组进行了专题研讨。决定将包含逆向思维的数量关系和发展性的等式性质结合进行教学，这么使得方程的教学更加灵活多变，扎实有效。现将讨论后教学如下： 第一课时教学等式性质：“方程（或等式）两边加上或减去同一个数，左右仍然相等”。 “当左边=右边时，左边±a=右边±a，左边×（÷）a=右边×（÷

11、;）a”，第二课时教学解方程。1 尝试。想100+X=250，X表示几？2 汇报想法。学生A、X=250-100 用和加数=另个加数 B、将左边的100减去后变成X，右边也减去X。3板书两种方法： 100+X=250 100+X=250 解：100+X-100=250-100 先同时100，左边再消去100 解： X=250-100 X=150 X=1504对比：运用等式的性质将左边的100消去，右边等于250100，就等于和250减加数100，等式的性质虽然与数量关系不同，但都可以巧妙用于解答方程。5针对练习6改变100+X-68+15=250师：如果等式左边增加-68和+15，你能巧妙地运

12、用等式性质进行转化吗？ 7结论：运用等式的性质比运用简单的数量关系更加有效。当我们进入初中后，等式的性质会帮助我们解答更复杂的方程。 8变式难点：85-X=15 你能运用什么方法解答。A、85X+85=15+85B、85-x+x=15+xC、x=85-15 分析三种方法的正误和方法，反思检验答案9结论：A、 同时加上X，变形为85=15+X，再根据等式性质解答。B、 减法形式变形为加法，X+15=85，再根据等式性质解答。C、 运用减数=被减数-差，再解答。通过这样的教学融合两种方法，使学生明确了两种方法互通为用，使得方程的解答更有趣味。 后续到六年级的分数应用题教学中，例题中出现了完整的用方

13、程解答求单位“1”的应用题，但运用等式的完整的一步过程却省略了。我想，感谢在五年级时运用新旧融合的“中庸”之道才使本学年学生解答时不再疑惑。新是为了更好发展，旧是为了基础的延伸。新旧本无异，只在我们如何理解，如何巧妙融合。附教参相关内容：（1）内容的呈现、展开更贴近学生的认知特点，增强了探索性，体现知识的形成过程。用字母表示数的教材编排，从学生熟悉的探索规律入手，由符号表示数过渡到用字母表示数，让学生感受用字母表示数的优越性。教学用字母表示数量关系和一个量时，增加了开放性和探索性，如让学生自己试着“用一个式子简明地表示任何一年爸爸的年龄”并问学生“你喜欢哪一种表示方法？”。又如，教学等式的基本

14、性质，教材用四幅插图展示天平实验游戏，引起学生的探究兴趣，呈现探究等式基本性质的过程。解方程的教学，也是借助天平演示的插图，展现了解这些方程的完整思考过程。    （2）以等式的基本性质为解方程的依据，生动直观地呈现解方程的原理。长期以来，在小学阶段教学简易方程，方程变形的主要依据是四则运算各部分间的关系。这实际上是用算术的思路求未知数。这样的教学利用了学生已有的知识，因而易于理解，但是却不易与中学的教学衔接，到了中学还需要重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程。现在，根据标准的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。不仅有利于

15、加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展。（3）调整简易方程的教学内容，突显利用等式基本性质解方程的优势。引进等式基本性质作为解简易方程的认知基础之后，教材根据标准的要求调整了简易方程的内容，暂不出现形如a-x=b和a÷x=b的简易方程。内容调整后，利用等式基本性质解方程的优越性就显现出来了。例如，解形如x±a=b的方程，都可以归结为等式两边减去或加上a，得x=b-a与x=b+a。解形如ax=b与x÷a=b的方程，都可以归结为等式两边除以或乘上a，得x=b÷a与x=ab。这样的解方程过程显然比原来依据逆运算关系解方程，思路更为统一。选自

16、五下教参与原教材相比，本单元教材的主要改进有以下几点。    （1）用字母表示数的教材编排更贴近学生的认知特点。    用字母表示数，对小学生来说，是比较抽象的。特别是用含有字母的式子表示数量关系，更感困难一些。例如，已知父亲年龄比儿子大30岁，用a表示儿子岁数，那么a+30既表示父亲岁数总是比儿子岁数大30的年龄关系，又表示父亲的岁数。这是学生初学时的一个难点。首先，他们要理解父子年龄之间的关系，把用语言叙述的这一关系改用含有字母的式子表示；其次，他们往往不习惯将a+30视为一个量，常有学生认为这是一个式子，不是结果。而用一个式子表

17、示一个量恰恰是学习列方程不可或缺的一个基础。因此，为了保证基础，突破难点，教材对用字母表示数的教学内容作出了更贴近学生的认知特点的安排。即先学习用字母表示一个特定的数（例1），然后学习用字母表示一般的数，即用字母表示运算定律和计算公式（例2和例3），待学生有了一定的基础，再学习用含字母的式子表示数量和数量关系（例4）。这样由易到难，便于学生逐步感悟、适应字母代数的特点。    （2）以等式的基本性质为基础，而不是依据逆运算关系解方程。    长期以来，在小学教学简易方程，方程变形的依据总是加减运算的关系或乘除运算之间的关系。这实际上是

18、用算术的思路求未知数。到了中学又要另起炉灶，引入等式的基本性质或方程的同解原理，然后重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程，而且小学的思路及其算法掌握的越牢固，对中学代数起步教学的负迁移就越明显。现在，根据标准的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。这就较为彻底地避免了同一内容两种思路、两种算理解释的现象，有利于加强中小学数学教学的衔接。    从国内部分地区的先行实验来看，等式基本性质所反映的数学事实，比较浅显，小学生凭借自己的知识经验，不难发现其变化规律。只要处理得当，把它作为解简易方程的依据也是可行的。    （3）调整简易方程的内容，突显利用等式基本性质解方程的优势。    引进等式基本性质作为解简易方程的认知基础之后，一个相应的措施就是调整简易方程的基本内容，暂不出现形如a-x=b和a÷x=b的简易方程。这是因为小学生还没有学习正负数的四则运算，利用等式的基本性质解a-x=b，方程变形的过程及其算理解释比较麻烦。至于形如a÷x=b的方程，本质上是分式方程，依据等式的基本性质解需要先去分母，同样不适合在小学阶段学习。事实上，回避这两种类型的简易方程，并不影响学生列方程解决实际问题