数模论文-飞行目标的多基雷达探测及攻击问题

1、参赛密码 （由组委会填写）全第XX届华为杯全国研究生数学建模竞赛学 校参赛队号队员姓名1. 2. 3. 参赛密码 （由组委会填写） 第XX届华为杯全国研究生数学建模竞赛题 目 飞行目标的多基雷达探测及攻击问题摘 要：针对问题1，根据雷达的辐射区域是球形区域，将定位所需最少雷达问题转化为求解个定位球面的唯一交点问题，通过分析在1、2、3个球面情况下，其公共交点的存在一否，最后得出至少需要三个雷达并且不共线时，才能对飞行物进行定位的结论。另外，针对距离误差、雷达自身坐标误差对定位精度的影响，采用控制变量法1。在给定初值附近使用一阶泰勒展开式，再省略无穷小项，进一步推导，得出距离误差与飞行物定位误差

2、之间为近似线性关系以及雷达坐标公式与定位误差为正比例关系的结论，最后对距离误差和坐标误差的影响结果做了比较。针对问题2，采用两种模型分别进行求解比较，取最优值。首先由问题1的结论，在假设距离误差与定位误差不相关的前提下，得出定位误差也服从正态分布，使用基于正态分布误差的最小方差无偏估计模型2，推导出最小无偏估计量为：其中，为观测坐标，并给出其 Cramer-Rao下限为；另外，引入残差的概念，提出残差最小的非线性无约束规划模型3。然后对照雷达分布坐标散点图，对数据进行筛选，除去三点共线的坐标点组合，利用筛选后的数据求得第一种模型估算下的定位坐标为、；第二种模型估算下的定位坐标为、。最

3、后对比各定位坐标在不同模型下的方差大小，表明前一个模型要优于后一个模型。针对问题3，根据题意得出导弹追踪乙机轨迹图，由图及约束条件出发，得出导弹追踪乙机轨迹模型，由导弹发射瞬间的函数关系得出导弹击毁敌机的条件，由问题三所得数据算出参数，并计算得出导弹追踪敌机的轨迹方程为 发射I型空对空导弹击毁敌机的条件为、敌机被击中时刻为 、被击毁位置为。针对问题4，建立三维空间上的导弹追逐模型，并将其转换为二维平面上的导弹追逐问题4，并且保留各点之间的相对位置。然后运用问题三的解决方法求解，得出II型地对空导弹追踪敌机的轨迹微分方程为： 、击毁敌机的条件为该导弹的速度与敌机的速度比等于。关键词：定位精度；距

4、离误差；坐标误差；泰勒展式；残差目 录摘 要- 1 -目 录- 3 -一、问题重述- 4 -二、问题假设- 5 -三、问题分析- 5 -四、符号表示- 6 -五、模型建立与求解- 6 -5.1 问题一- 6 -5.1.1 定位所需最少雷达问题求解- 6 -5.1.2 距离误差和坐标误差对定位精度影响分析- 8 -5.2 问题二- 12 -5.2.1 模型一:基于正态分布的最小方差无偏估计定位模型- 12 -5.2.2 模型二:基于最小残差平方和的最优定位模型- 15 -5.2.3 结果分析与比较- 16 -5.2.4 关于控制雷达定位精度的建议- 17 -5.3 问题三- 17 -5.3.1

5、模型建立过程- 17 -5.3.2 模型求解与结果分析- 21 -5.4 问题四- 22 -5.4.1 模型建立过程- 22 -5.4.2 模型求解与结果分析- 24 -六、模型优点与提高- 25 -6.1 模型的优点- 25 -6.2 模型的提高- 25 -七、参考文献- 26 -八、附件- 27 -一、问题重述在电子对抗领域，对辐射源位置信息侦察越精确，就越有助于对辐射源进行有效的战场情报信息获取和电子干扰，并为最终摧毁目标提供有力的保障。在我防空指挥部的上空发现有一可疑的飞行物，需要对其进行精确定位。常用的定位方法是基于多基雷达的测量方法。每个雷达都可以测量自身的坐标以及它到飞行物距离，

6、其中为雷达的总数。通过一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测量，我们可以确定目标的空间飞行物的坐标。由于每个雷达在测量自身坐标和飞行物到各雷达的距离都存在测量误差，这给精确定位带来了困难。如何选取合适的方法进行精确定位是目前对飞行物进行精确定位一个难点。现在，我防空指挥部多部雷达发现有一架来路不明的飞机乙（第二组数据），经分析确认是一架敌机后，即命令正处于同一高度进行巡逻的我方飞机甲（第一组数据）发射I型空对空追踪导弹将其击毁（追踪导弹可针对目标随时自动调节追踪方向）。假定雷达发现敌机时，该机正位于我防空指挥部正东公里高空处，并欲在同一高度上向位于其正北方向公里处的安全区逃窜（由于敌方电子干

7、扰的作用,敌机一旦进入安全区后,导弹将失去追踪目标，无法将其击毁）。设我防空指挥部为原点坐标，坐标系采用东北天坐标（即：表示东，表示北，表示天）；并设距离误差服从正态分布，坐标误差服从正态分布。在这些假定下建立数学模型完成以下工作：1问至少需要多少个雷达才能定位飞行物？并在所需最少雷达的条件下，分析距离误差和坐标误差对定位精度影响。2在实际情况中，往往需要使用更多的雷达进行飞行物的精确定位，请设计一种定位算法；并对所给三组测量数据，计算飞行物的坐标；根据计算结果，请给出控制雷达定位精度的建议。3. 在适当的假设下，确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件；若敌机的飞行速度、其位

8、置 和追踪导弹速度均为给定的常数，计算出敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置，其中= 1马赫数，= 100公里, = 2马赫数。4. 若当时命令设在防空指挥部的地面导弹基地发射II型地对空追踪导弹截击敌机，假定敌机飞行高度不变，请确定此时II型地对空导弹追踪敌机的轨迹及击毁敌机的条件。二、问题假设1. 距离误差服从正态分布，坐标误差服从正态分布；2.假设导弹以及敌机的运动为质点运动；3.假设导弹和敌机都是匀速运动；4.假设导弹和敌机的运动速度跟风速没有关系，在运动的过程中忽略重力和空气助力的影响；5.假设导弹的射程无限远；6.假设导弹没有发射时间和转向时间。7. 敌机的飞行高度为；8. 击

9、中临界点依然为敌机到达安全区的位置。三、问题分析针对问题1，通过把雷达的辐射区域看作是以雷达坐标为球心，距离r为半径的球形区域（），将定位所需最少雷达问题转化为分析球面相交得到唯一的交点的情况；另外，针对距离误差、雷达自身坐标误差对定位精度的影响，可以考虑采用控制变量法，使用泰勒展开式进行降次处理，再分别分析两种误差与定位误差的关系。针对问题2，首先通过问题1中两种误差与定位误差的近似线性关系以及距离误差、坐标误差服从正态分布的特性，在假设距离误差与定位误差不相关的前提下，提出基于正态分布误差的最小方差无偏估计模型，并给出其 Cramer-Rao下限；引入残差的概念，提出残差最小的非

10、线性无约束规划模型，使定位误差的平方和最小。然后对照雷达分布散点图，除去三点共线的坐标点组合，利用筛选后的数据求得两种模型的最佳的定位坐标。最后对两种模型结果进行对比。针对问题3，根据题意得出导弹追踪乙机轨迹图，由图及约束条件出发，得出导弹追踪乙机轨迹模型，由导弹发射瞬间的函数关系得出导弹击毁敌机的条件，由问题三所得数据算出参数，并计算出敌机被击中时刻及被击毁位置。针对问题4，建立三维空间上的导弹追逐模型，并将其转换为二维平面上的导弹追逐问题，并且保留各点之间的相对位置。然后运用问题三的解决方法求解。四、符号表示飞行物距离敌机的飞行高度敌机的临界点敌机的初始坐标敌机任意时刻的坐标导弹的坐标雷达

11、测量自身的坐标飞行物坐标向量误差注：其他符号在正文中说明五、模型建立与求解5.1 问题一5.1.1 定位所需最少雷达问题求解根据题目可知，每个雷达都可以测量自身的坐标以及它到飞行物距离，其中为雷达的总数。 假设至少需要台雷达，则定位目标方程如下。 (式5.1)为了能够更好的理解，可将上述方程视作求解k个定位球面的交点的问题，通过分析不同球面数量下，其公共交点的存在情况。（1）当k=1时，定位目标只是在雷达自身半径为r的半球面上（），因此是无法定位的；（2）当k=2时，由于目标定位的需求，两个定位球面必然会相交，其相交部分为一圆或一个点，如下图所示。图5.1 两球面相交曲线图5.2 两球面相切于

12、1点由图5.2得，当两个定位球面相交时，定位目标只是在公共的圆形曲线上，存在无数个点，因此是无法定位的；图1所示为两个定位球面相切的情形，当且仅当目标位于两雷达之间时两定位球面才可相交于一点，不能在常规情况下进行定位，不具有一般性，因此无法持续性地对目标定位。（3）当k=3时，存在两种情况。当三个雷达共线时，其定位球面相交区域为一个圆，见图5.3，该情形与k=2时两定位球面相交类似，无法进行定位；图5.3 三个雷达共线当三个雷达不共线时，有几何知识可知三个定位球面必然会交于一个点，即式5.1存在唯一的解，此点正是目标所在点，此解就是该点的具体坐标值。图5.4 三个雷达不共线 综上，至少需要三个

13、雷达并且不共线时，才能对飞行物进行定位。5.1.2 距离误差和坐标误差对定位精度影响分析（1）距离误差对定位精度的影响模型 假定雷达的自身坐标不变，距离误差为，飞行物坐标向量误差为。设飞行物的真实坐标为，令，则可得向量为飞行物定位误差。记雷达到飞行物的真实距离为，则可得如下方程组。 (式5.3)记 则给定初值附近的一阶泰勒展开式为： (式5.4)对式5.4化简后得： (式5.5)其系数矩阵为由于在一般情况下，三部雷达与飞行物四点不共面，因此可知矩阵为非退化矩阵,，从而存在可逆矩阵，把（4）化为矩阵表达式为：(式5.6)省略无穷小项后，该矩阵可以简化为： (式5.7)由此观之,距离误差与飞行物定

14、位误差之间为近似线性关系，由数值分析逼近理论,得： (式5.8) 表示矩阵A的状态数，该状态数反应了定位误差的上界，若雷达、在同一个圆周上的分布是均匀的，文献1通过实际数据检测，当给定矩阵 A 的一个很小的挠动时，的值变化不大，因此可以认为距离误差与飞行物定位误差之间的线性关系是比较符合实际情形的。（2）雷达自身坐标误差对定位精度的影响模型设地面三个站点横坐标真实值为、，坐标误差分别为、，令，观测值为 则有： (式5.9)同理可得 (式5.10) (式5.11)令, 分别代表三维坐标观测值向量矩阵及三维坐标值的测量误差矩阵。可得 (式5.12)在进行飞行物坐标求解时,使用的地面雷达坐标实际上是

15、而不是,这样飞行物坐标位置解的误差中就包括由于而引入的误差。令飞行物三维坐标的测量解算误差向量为： (式5.13)则有： (式5.14) 式中引入地面误差后计算获得的空中木标三维位置矢量，是飞行物的位置向量真实值。令，当引入各雷达坐标测量误差后, 可以推得 (式5.15)为了得到由于引入而对飞行物位置向量求解精度影响的模型，对式在点处附近进行泰勒（Taylor）展开式,并进行线性化处理有： (式5.16) 经过计算得：且其中，分别为三个雷达的自身坐标观测值。进一步推导得 (式5.17)注意是飞行物的实际位置向量,而是前述方法测量解算获得的飞行物三维位置向量。则根据和可得飞行物三维坐标的测量解误

16、差向量为 (式5.18)至此便得到了采用向量矩阵表示的误差模型,在模型中我们不难发现误差的大小与有直接关系。当坐标误差对矩阵的扰动不是很大时,我们可以近似认为从而有（其中为3阶单位矩阵） (式5.19)即：与是正比例关系。当坐标误差对矩阵的扰动很大时，会导致的值较大，此时飞行物的坐标会有较大误差，飞行物的定位就不精确。（3）影响结果比较通过上面的计算我们知道不论是距离误差还是坐标误差，它们对空中目标定位的影响都与系数矩阵,有密切的联系（）。如果距离误差或者坐标误差对，或的扰动比较大，就会产生较大的误差,当距离和坐标误差对，或扰动较小时，距离误差对空中目标的定位影响更大。因而我们要尽量减小距离和

17、坐标误差对，或的扰动。观察，的表达式知道只有当三个雷达在其所在的平面上非常均匀时，距离误差和坐标误差对，或的扰动会比较小。因而我们一般要求三个雷达在其所确定的圆周上分布均匀且这三个雷达所确定的圆周半径不能太小（否则也可能会产生较大的误差），这样飞行物误差会比较小。5.2 问题二5.2.1 模型一:基于正态分布的最小方差无偏估计定位模型（1）模型建立定位误差与距离误差、位置误差之间近似为线性关系，在位置误差与距离误差服从均值为0的正态分布且相互独立的情形下，可得定位误差也服从正态分布，考虑多个观测样本值，设定位误差，标准坐标为，观测坐标为，则可得： (式5.20)其中为均值为0，方差为的正态分布

18、。求得概率密度函数为： 对A求一阶导数，得： (式5.21)其中是样本均值。再次对A求导， (式5.22)其二阶导数为常数，由文献2定理3.1，定理 Cramer-Rao下限假定概率密度函数满足“正则”条件，即对于所有的有 其中数学期望指的是对的数学期望。那么，任何无偏估计量的方差必定满足 (式5.23)并且，对于某个函数g和I，当且仅当 (式5.24)时，对所有的下限无偏估计就可以求得。其中估计量就是最小方差无偏估计，最小方差为。求得本文中满足“正则条件”，由式5.21、5.24得 (式5.25)且因此该估计量是无偏的，即观测坐标的样本均值即为标准坐标A的最小方差无偏估计。其克拉美-罗下限（

19、CRLB）由式5.22、5.23得到 (式5.26)（2）模型求解根据给出的甲乙丙组雷达坐标，作出散点图如下图所示。图5.5 三组雷达坐标散点图由图可知，定位雷达呈现阵列分布。以甲组数据为例，排除三点不共线的坐标点组合情况，选择不共线的任意三点的数据，带入式。求出其目标观测坐标，具体计算过程和坐标值结果详见附录2。由模型一可知，所有观测坐标的平均值为最小方差无偏估计，由式4.25结合飞机甲的数据，得甲飞机的坐标为即同理，求得乙飞机、丙飞机的坐标如下。5.2.2 模型二: 基于最小残差平方和的最优定位模型（1）模型建立过程假设组网的个雷达之间的距离不大，可以忽略地球表面是曲面的影响，认为它们同在

20、一个平面上，第部雷达的坐标为，目标的坐标为，是第部雷达的测得的目标距离，即有 （式5.27）这样就得到类似于上式的个方程，如果每个雷达测得距离是精确的，那么任意选择 3 个方程组成方程组可解出目标的精确位置。实际上各雷达测得的数据都有误差，重点研究在雷达存在误差的条件下计算。 定义残差为 ，使得残差的最大绝对值为最小即求。对于该模型，可转化为无约束的非线性规划问题，即： （2）模型求解直接用matlab求解。考虑到第三组所给的数据量相对第一组和第二组而言较少所以我们先计算第三组数据。表1 飞机丙相关数据XYZR733513700107160870513700106150733521700106

21、450870521700105440733529700105730870529700104720733537700105000870537700103990733545700104250870545700103240733553700103480870553700102480由于到所给的数据比较大，为了提高精度以及提高程序运行的效率，我们要给定 matlab 在求解时的初始迭代值。基于以上，在第一组数据中随机抽取一组不共线的三个雷达坐标，代入式。取三个点（7335，1370，0），（8705，2970，0），（7335，5370，0）带入上式，解得：将其设为迭代初始值，即。开始进行迭代运算，选

22、择保留最小的残差平方和，其具体求解过程参见附录1。最终得到的最优解为用同样的方法求出甲飞机和乙飞机的最优解分别为：具体过程详见附录2,、附录3。5.2.3 结果分析与比较比较第一个模型和第二个模型，使用方差作为评价模型的标准，通过分别求解模型一和模型二中甲乙丙坐标的方差，如下表所示。表2 各坐标在不同模型下的方差方差-甲飞机乙飞机丙飞机x_s2模型一8.1133e+051.4959e+061.3127e+07模型二6.3351e+051.4585e+061.2053e+07y_s2模型一7.4719e+053.6689e+067.2794e+06模型二9.3267e+053.0433e+066

23、.4822e+06y_s2模型一2.3547e+052.2350e+063.2492e+07模型二11.436e+052.1565e+066.8092e+07由上表可以看出，基本上大部分模型一得出的坐标的方差都小于模型二，根据最小方差评价标准，方差越小说明估计的精确度越高，模型越好。模型一估算结果的方差小于模型二,这是由于在正态分布的误差下，样本均值本身与CRLB重合2，其本身就是最小方差无偏估计；然后因为实际情况中，定位误差不可能严格服从正态分布，因此估算出来的小部分结果的方差要略大于模型二结果的方差。综上，甲乙丙飞机的坐标如下：5.2.4 关于控制雷达定位精度的建议1.采用多雷达进行精确定

24、位时，雷达的相互距离应该较小，定位精度总体上高分布较散的多雷达测量。由于三个雷达不共线，可构成一个三角形区域，尽量使目标位于三个雷达站基线所构成的三角区域内，因为三角形内区域的估在问题3的数据结果比较过程，距离目标最近的雷达站精确度比较高，所以在排除雷达站顶空盲区的基础上。为了减少距离误差应尽量选择距离目标最近的雷达站。2.建议采用分布式阵列雷达群对目标进行测量，阵列雷达利用数量较多的雷达来捕捉信号较弱的目标，达到及时预警的功能。5.3 问题三5.3.1 模型建立过程根据题目的叙述，建立导弹追击乙机轨迹的二维平面图。如图5.6所示，由于导弹始终对准敌机，当敌机位于图中的点时，则此时直线就是导弹

25、的轨迹曲线弧在点处的切线。图5.6 导弹追击乙机二维平面图导弹在点时，对准乙机，即点，则建立如下方程： (式5.28)导弹在点时飞行的弧度计为,其表达式计算如下： 则导弹的轨迹： (式5.29)假设导弹转向的时间不计，则导弹的轨迹又可以表示为： (式5.30)整理式5.29、5.30式有： 变换之后有： (式5.31)由式5.28、5.31两个方程联立求解，得导弹轨迹的模型如下所示：(式5.32)由以上两个式子消去得到：令，等式两边同时对求导：令，则以上方程降为如下一阶微分方程，分离变量得：同时积分得到： (式5.33)将代入式5.33，进一步求得其解析解如下： (式5.34)导弹发射瞬间有，

26、将初始值代入式5.33式，则有：将导弹发射时刻位置坐标代入式5.34得到： (式5.35) 若要求发射I型空对空导弹击毁敌机，由图5.6可知应该满足：,此时，敌机乙飞行的距离为。因题中给出当敌机向正北方向飞行公里后就到达安全区，由于敌方电子干扰的作用,敌机一旦进入安全区后,导弹将失去追踪目标，无法将其击毁。所以必须在敌机飞离公里前，就将其击毁。则能够击毁敌机的条件为：。下面分别就导弹发射在基地上空和一般位置两种情况具体给出击毁敌机的条件。（1）当以该导弹基地上空（即）为空对空导弹发射点且以敌机的作为坐标的原点（即），那么微分方程的定解条件为：，则可解得： (式5.36)该方程满足临界条件：将带

27、入式5.36得：解得：，由于，为大于0的数，因此取： 由上式可得以下结论： 1）若型导弹从基地出发，并在临界点击中敌机，则导弹的速度需要为敌机速度的倍。 2）若型导弹从基地出发，要保证该导弹一定在敌机到达安全区的途中命中敌机，则导弹的速度必须不小于敌机速度的倍。（2）当型导弹的发射点为任意点时，导弹命中敌机仍为临界状态下，即导弹最终命中点为，则再将定解条件，和带入式5.34式有： (式5.37)由式5.37可以算出该种情况下的，计为。由此可得以下结论：1）若型导弹从任意点出发，并在临界点击中敌机，则导弹的速度需要为敌机速度的倍。 2）若型导弹从任意点出发，要保证该导弹一定在敌机到达安全区的途中

28、命中敌机，则导弹的速度必须不小于敌机速度的倍。3)只要基地在初始状态下已知型导弹的发射地点，型导弹与敌机的速度比，就能计算得出导弹命中敌机所需的纵向距离，只要满足，就能保证该型导弹一定命中敌机，以及命中所需时间和命中点均可计算得出。5.3.2 模型求解与结果分析将问题三得到的飞机甲的坐标，即导弹发射点的坐标，带入相应的方程求出参数，。将、 带入方程： 得到型导弹的轨迹方程：在matlab中编写相应的程序得到导弹击中敌机的轨迹如图5.7所示。图5.7 导弹的追踪敌机的轨迹从图中可以得到敌机被击毁的坐标为，假设导弹发射时刻时间，则击毁的时刻。5.4 问题四5.4.1 模型建立过程根据问题四的要求，

29、建立型导弹击毁乙机轨迹的三维空间如图2所示。建立三维坐标系，原点为，击中敌机的临界点为，敌机的初始坐标为，敌机任意时刻的坐标为，导弹的坐标为，点的坐标为。图5.8 型导弹击毁乙机的三维空间由图5.8可知导弹的的轨迹在一个平面上，也就是平面，导弹的轨迹始终在此平面上，不会离开此平面。于是，把三维空间的求解问题转化到二维平面中，建立型导弹击毁乙机轨迹的二维平面如图5.9所示。图5.9 型导弹击毁乙机的二维平面如图5.9，有三维平面转化为二维平面后，点的坐标发生相应的改变。敌机的初始位置为点，任意时刻的坐标点，导弹的坐标点，击中的临界点为。由此问题4模型的建立同问题3的建模过程相同，得到型导弹击毁乙

30、机的轨迹方程如下： （式5.38）由上式消去得到： （式5.39）令，等式两边同时对求导： 设，降解得到一阶可分离变量方程： （式5.40）定解条件为：，则计算可得： （式5.41）将带入上式有： （式5.42）5.4.2 模型求解与结果分析微分方程式5.42的定解条件为：，则可解得：（式5.43）型导弹最终命中点，则将定解条件带入式5.43得： （式5.44）解得：，因为，为大于0的数，因此取：（式5.45）由上可得出以下结论： 从基地发射的型导弹，若要保证在途中一定命中敌机，则该导弹的速度与敌机的速度比等于。六、模型优点与提高6.1 模型的优点（1）问题1中确定定位飞行物的最少雷达数目时，

31、我们通过讨论的方式论证了1个，2个及在同一条直线上的3个雷达是不满足要求的；另外在分析距离误差和雷达坐标误差与定位精度的关系时，使用了控制变量法，并且使用一阶泰勒展开式进行降次处理。（2）问题2中，推出定位误差服从正态分布，利用基于正态分布误差的最小方差无偏估计模型，得到最优的估计值，并给出其 Cramer-Rao下限；对给出的数据进行筛选处理，除去共线的坐标点的组合，使得估算的结果更加精确；提出了残差的概念，提出了最小残差非线性规划模型，定位飞行物。 （3）问题4中，将3维模型转化为2维模型，减小了计算的复杂度。6.2 模型的提高首先，为了使定位更加准备，在时间允许的条件下，有必要

32、对定位精度对雷达各坐标及距离误差的变化的灵敏度进行分析；另外还可以通过求模型一、模型二的估计结果的均方误差，来判断哪个模型更优。其次，在技术设备允许的条件下，还可以把各雷达的反应时间以及雷达所在的地表的曲率不同等因素考虑进去，从而进一步提高定位的精确度。七、参考文献1 曾文军,曾小雨,郑娟,朱金伟.多雷达定位误差简析J.高等函授学报（自然科学版）.第21 卷第5期.2008.102 S.M.Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing, vol. I. Estimation Theory. Prentice Hall,1993.3 姜启源

33、等.数学模型（第三版）M.北京：高等教育出版社，20034 杨建军.地空导弹武器系统概论.北京：国防工业出版社，20065 吴祈宗.运筹学M.北京：机械工业出版社，2002八、附件附件编号文件名程序功能说明附件一Data_zeros.m绘制原始数据的散点图附件二Aver_position.m1、平均值法求解飞机坐标的最优值2、根据求解的结果计算方差附件三fun_Location.m求解各组数据的残差最小值附件四Locus.m求解导弹击中目标的飞行轨迹附件一：%文件名：Data_zeros.m%功能：用于绘制原始数据的散点图%绘制甲组数据的散点图Read_data = xlsread('

34、附件.xlsx', 'sheet1');x = Read_data(: , 1);y = Read_data(: , 2);z = Read_data(: , 3);r = Read_data(: , 4);plot(x,y,'ro')hold on;%绘制乙组数据的散点图Read_data = xlsread('附件.xlsx', 'sheet2');x = Read_data(: , 1);y = Read_data(: , 2);z = Read_data(: , 3);r = Read_data(: , 4);pl

35、ot(x,y,'b*')hold on;%绘制丙组数据的散点图Read_data = xlsread('附件.xlsx', 'sheet3');x = Read_data(: , 1);y = Read_data(: , 2);z = Read_data(: , 3);r = Read_data(: , 4);plot(x,y,'g+')legend('甲组','乙组','丙组');附件二：%文件名：Aver_position.m%功能: 1、用于平均值法求解飞机坐标的最优值% 2、

36、根据求解的结果计算方差clear;clc;% syms x0 y0 z0 syms Aver_x Aver_y Aver_zflag=0;%条件编译标志位：为1时给定三点坐标求解飞机坐标；为0时进入条件判断求解飞机坐标的平均值counter = 0;%读取表格中的雷达坐标数据Read_data = xlsread('附件.xlsx', 'sheet1');x = Read_data(: , 1);y = Read_data(: , 2);z = Read_data(: , 3);r = Read_data(: , 4);% 读取矩阵尺寸rows, cols =

37、size(Read_data);%flag为1时给定三点坐标求解飞机坐标（测试用）if(flag) % size(x) % size(y) % size(z) i=1; j=2; k=7; eq1 = (x0 - x(i)2 + (y0 - y(i)2 + z02 - r(i)2; eq2 = (x0 - x(j)2 + (y0 - y(j)2 + z02 - r(j)2; eq3 = (x0 - x(k)2 + (y0 - y(k)2 + z02 - r(k)2; x0, y0, z0 = solve(eq1, eq2, eq3)end%flag为0时进入条件判断求解飞机坐标的平均值(计算坐

38、标均值)if(flag) for i=1:1:(rows-2) for j=i+1:1:(rows-1) for k=j+1:1:rows if(x(i)=x(j)&&(x(i)=x(k)&&(x(j)=x(k)|(y(i)=y(j)&&(y(i)=y(k)&&(y(j)=y(k) if(y(i)-y(j)*(x(j)-x(k)=(y(j)-y(k)*(x(i)-x(j) %打印出满足判定条件的坐标下标% sprintf('%d,%d,%d',i,j,k); counter=counter+1; end end e

39、nd end end counter l=1:1:counter;%定义变量用于存储每三个点计算出的飞机坐标值u=zeros(1,counter);v=zeros(1,counter);w=zeros(1,counter);if(flag) for i=1:1:(rows-2) for j=i+1:1:(rows-1) for k=j+1:1:rows if(x(i)=x(j)&&(x(i)=x(k)&&(x(j)=x(k)|(y(i)=y(j)&&(y(i)=y(k)&&(y(j)=y(k) if(y(i)-y(j)*(x(j)

40、-x(k)=(y(j)-y(k)*(x(i)-x(j) %求解三点确定的坐标值 syms x0 y0 z0 ; eq1 = (x0 - x(i)2 + (y0 - y(i)2 + z02 - r(i)2; eq2 = (x0 - x(j)2 + (y0 - y(j)2 + z02 - r(j)2; eq3 = (x0 - x(k)2 + (y0 - y(k)2 + z02 - r(k)2; x0,y0,z0=solve(eq1, eq2, eq3,'x0','y0','z0'); %记录三点确定的坐标值 u(l)=x0(1); v(l)=y0(1

41、); w(l)=abs(z0(1); l=l+1; end end end end end enddiary('模型二-甲组数据坐标方差计算.txt');% % 将数据写入excel文件% xlswrite('模型二-组数据坐标计算.xlsx',u,'sheet1','A1:A3836'); % A就是待写的数据% xlswrite('模型二-甲组数据坐标计算.xlsx',v,'sheet1','B1:B3836'); % A就是待写的数据% xlswrite('模型二-甲组

42、数据坐标计算.xlsx',w,'sheet1','C1:C3836'); % A就是待写的数据%计算坐标的平均值Tips=sprintf('目标最优坐标如下:n')Aver_x=mean(u)Aver_y=mean(v)Aver_z=mean(w)%方差计算相关M=Aver_x,Aver_y,Aver_z;M2=11422,964,14033;%甲组数据残差最优解% M2=88294,-1140,68289;%乙组数据残差最优解% M2=85190,100860,71060;%丙组数据残差最优解u_s2=zeros(1,counter);

43、v_s2=zeros(1,counter);w_s2=zeros(1,counter);%模型一方差计算for i=1:1:counteru_s2(i)=(u(i)-M(1)2; v_s2(i)=(v(i)-M(2)2;w_s2(i)=(w(i)-M(3)2;endTips=sprintf('模型一的方差如下:n')x_s2=mean(u_s2)y_s2=mean(v_s2)z_s2=mean(w_s2)%模型二方差计算for i=1:1:counteru_s2(i)=(u(i)-M2(1)2; v_s2(i)=(v(i)-M2(2)2;w_s2(i)=(w(i)-M2(3)2

44、;endTips=sprintf('模型二的方差如下:n')x_s2=mean(u_s2)y_s2=mean(v_s2)z_s2=mean(w_s2)diary off;%绘出给定三个雷达坐标的散点图% i=1;j=7;k=13;% Read_data = xlsread('附件.xlsx', 'sheet1');% x = Read_data(: , 1);% y = Read_data(: , 2);% z = Read_data(: , 3);% r = Read_data(: , 4);% x_x=x(i) x(j) x(k);% y_y

45、=y(i) y(j) y(k);% plot(x_x,y_y,'r*')附件三：%文件名：fun_Location.m%功能: 1、用于求解各组数据的残差最小值function f=fun_Location(k)% 定义全局变量syms x y z r sum_e = 0;%function f=fun_Coordinate(x);% sheet1, sheet2, sheet3分别对应甲乙丙的三组数据%Read_data = xlsread('Data.xlsx','sheet1','F3:I34')%在同一个sheet中读取需要的数据区域%飞机甲的数据:A3:D32;飞机乙的数据:F3:I34;飞机丙的数据:K3:N14Read_data = xlsread('附件.xlsx','sheet1&#