离散时间系统状态稳定性及判别法

1、§ 5.4离散时间系统状态稳定性及判别法1.离散时间系统的平衡状态(点) 设x(k 1) Ax(k), x(0)x0, k 0, 1, 2, L ,(5.17)称AXe 0的Xe为(5.17)的平衡状态(点).当A奇异时，有无数个平衡状态.2.平衡状态(点)的稳定性(1)稳定：0,0,使当IIXo X时,有l|x(k) x|, k 0；(2)渐近稳定：0,使当|X。X时,有lkim x(k) x0；(3)全局渐近稳定：任意X。Rn,都有lim|x(k) Xe| k(4)不稳定：o 0,无论多小正数，总有匕0,使x(kj x0对定常系统，渐近稳定全局一致渐近稳定3稳定性判别对定常系统x

2、(k 1) Ax(k)若xe 0稳定(渐近稳定)，则其它xe也稳定(渐近稳定)；若xe 0渐近稳定，则xe必为一致全局渐近稳定;简单介绍xe 0稳定性条件设(5.17)的解x(k) Akx0, k 0, 1,2, L则渐近稳定pm|x(k) 0|阿|人乂|0(x°0),kkkk 1klim Ak 0 lim TJ kT 1 0 limJk0kkkA的所有特征值的模全小于15A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内其中J为A的若当形.Ji如Jk且再如1k0J1kll0100JrJrkckk 1C2 k 2Ck0kC1 k 1Ck00k17A的所有特征值的模全小于 1A的所有特征值都位于复

3、平面上的单位圆内则T,使例设A有互不相同特征值k18#Ak T 2 O T-1T#9由此可得n L 2 1 olim Ak 0.k定理5.12系统为(5.17)的稳定性判定如下：(i) Xe 0稳定 A所有特征值的模全小于1或等于1,且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的；(ii) Xe 0渐近稳定A的所有特征值模全小于1.对一般非线性系统x(k 1)F(x(k), k 0, 1, 2, L(5.18)在Xe 0(设F (0)0)的稳定性判定方法有定理5.13对(5.18),若x(k)的标量函数V(x(k),满足(i) V(x(k)为正定；(ii) V(x(k) V(x(k 1) V(x(k)

4、负定；(iii) 当|x(k)|时，有V(x(k).则xe 0全局渐近稳定的. 若无(iii),则Xe 0是渐近稳定的； 再若(ii)中V(x(k)为半负定，则Xe 0仅是稳定的. 定理用于定常系统(5.17),即得定理5.14线性定常离散(5.17)的xe 0为渐近稳定Q > 0,李雅普诺夫方程At PA Pat paQ有唯一解P 0,有唯一正定解P. 证只证充分性, 即已有对 Q > 0,TXkiPXk 1 x：PXk x：QXk,令 V(xQ x：PXk,则有V(xk) V(Xk i) V(Xk) x；(AtPA P)Xk显见V(XQ为负定,故Xe 0渐近稳定.例5.6设x(k1)a 0x(k)0 b试分析稳定的条件. 解选Q = 1,则有AtPAP I ,即a 0P11P12a0pi1pi21 00 b p21 p220b p21 p220 1整理且比较，得Pn(1 a2) 1, P12(1 ab) 0, P22CI b2) 1, 要P为正定，需满足|a| 1, |b| 1,(5.19)解出1小1p1