“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计

1、“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计汪清六中王美竹一、教学内容解析 1“杨辉三角”的内涵实际上就是二项式系数的性质，其内容丰富，值得学生深入探讨。对于杨辉三角所蕴含的规律，学生不难发现，而难点就在于如何把学生通过观察发现的规律进行归纳，进而推理论证，揭示其数学本质。本节课利用了转化和化归的数学思想，把对观察得到的规律的证明化归为组合数性质的应用上。2本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂难记，难于上升到理性的解释。3本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。 4从知识发生发展过程的角度上看，

2、学生可以从直观上很好地观察发现杨辉三角中蕴含的数字规律，但对于高二的学生，他们思考问题的思维已经不仅仅满足于“知其然”，他们更渴望的是“知其所以然”，在老师适当的点拨下，学生能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，通过师生合作完成知识发展过程的探究，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。二、教学目标设置 新课程改革的课程目标要求，课堂教学应实现三维目标，即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。因此，本节课制定了如下教学目标及教学重难点： 教学目标：1 掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法。2通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的

3、初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析猜想证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新。通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。3鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。教学重、难点：教学重点：掌握二项展开式中二项式系数性质，探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。教学难点：如何发现、证明规律。 通过本节课的学习，学生可以深刻地感知知识的形成过程，对于规律性的结论可以做出判断，并上升到理性的思考。通过

4、小组合作学习的方式，学生更加感受到在互助中学习，在竞争中学习的重要性，达到培养学生团结协作精神的目的。 三、学生学情分析 1. 在初中甚至小学，学生都在不同程度上进行过数字规律探究方面的活动，到了高中阶段，学生已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。对于高二的学生来说，基本接触了高中阶段常见的四种数学思想方法，即函数与方程，转化和化归，分类讨论以及数形结合的思想方法。学生在数学科的学习特点是个体存在较大差距，但学习积极性都很高。另外，该班设有合作基层小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持

5、、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点证明规律，学生还需要在老师的指导下共同完成。 四、教学策略分析本节课的教材所具有的特点是所涉及的内容都是以结论的形式直接呈现，对于这些结论学生也不难理解。但是如果以讲授课的形式来学习本节课的内容，那么学生将陷入一种被动学习的局面，学生不仅难于发现课本以外的其他规律，更甚者使学生能力缺失，对学习缺乏兴趣，不能有效开展课堂教学，提高课堂教学质量。因此，这就要求我们必须从学生的认知规律出发，去暴露知识的发生、发展过程。 1根据教学内容的特点，实现情感目标，本节课先是以学生观看视频的方式，激励学生探索的欲望

6、，同时结合本节课的历史材料，对学生进行情感教育。2依据知识的发生发展过程和学生的思维规律，本节课设计了“问题串”的形式， 让不同程度的学生都有所收获，有所成功，充分体现新课程“面向全体，让不同的学生在学习上都能得到发展”的思想。通过填表的方式初步找规律，再独立思考找规律，最后进行合作交流，共同找规律并尝试证明，在知识的形成过程中去培养学生思维的逻辑性、深刻性，这体现了学生学习由具体感知到理性思考的过程，为不同认知基础的学生提供合理的学习机会。3为突出重点，本节课采取观察启发和问题解决的方式引导学生思考，使学生主动参与提出问题和探索问题的过程。同时采用学生以分组讨论的方式，通过观察分析归纳猜测推

7、理论证巩固反馈来理解和掌握内容。（1）  为突破难点，对结论的推理证明将由师生共同完成。在结论的推证过程中去培养学生思维的严谨性和演绎推理的能力以及化归的思想方法。（2）为了给学生提供学习反馈的机会，以更好地揭示学生对知识发生、发展过程的认知，本节课借助教育技术在内的教学媒体，让学生进一步交流，帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维，同时显示计算机辅助教学的优势。  五、教学过程教学内容、设计学生活动设计意图（一）创设情境 播放视频：   观看视频通过观看视频，培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学奥秘的欲望，同时为本节课探

8、究“杨辉三角”中蕴含的数字规律做铺垫，使学生有迫不及待试试身手的愿望。（二）温故知新1、  二项式定理2、  二项式系数3、  组合数的两个性质 学生回忆前面学过的相关知识，集体完成问题。通过对学生已有的相关知识的调动，对本节课的学习起到承上启下的作用。（三）探索新知【问题一】计算展开式的二项式系数并填入表格n展开式的二项式系数1       2       3    

9、0;  4       5       6       通过填表，你发现了什么规律？       学生独立完成问题一，主动发表自己的见解。 从学生已有的关于二项式定理的知识及二项式系数的运算出发，让学生通过填表的形式发现二项式系数具有一定的规律。同时也让学生发现，这样的表格不利于发现二项式系数的其它

10、性质，由此引发思考：如何对表格进一步整理，得到更方便观察二项式系数的数字规律的表格，由此可以自然引出“杨辉三角”。 经过对表格中的数据整理后，我们得到一张形如三角形的非常优美的表。这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就出现了，我们把它叫做“杨辉三角”。   通过对杨辉的介绍，让学生了解中国古代数学的伟大成就，增强学生的爱国情感。【问题二】观察“杨辉三角”，你能得到哪些数字规律？（填到课前发的习题纸上，见附件1）（教师应充分引导学生从不同的角度观察，如整体看、局部看；横看、斜看。还可以计算每一横行或斜行中各数字的和，看结果是否

11、有规律。）  学生观察表中数字，独立思考，初步形成自己的看法，并在习题纸中做好记录。通过引导学生从不同的角度观察“杨辉三角”，让学生感受对待同一事物“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的妙处。通过独立思考，为下一环节的小组合作交流提供素材。【问题三】   请与同组的其它同学交流你的想法，并试着证明你们的猜想。  学生分小组合作交流，集思广益。通过小组合作交流的形式，让学生的不同想法产生碰撞，产生智慧的火花。【问题四】   请各小组派代表发表你们的看法。各小组派代表发言，并投影他们的讨论成果。经过独立思考与合作交流以后

12、，各小组得到的规律已初具规模。通过派代表发言的形式，使各组可以一起分享讨论成果。同时对一些教材上没有又较难证明的规律，可以在这一环节共同解决。（对学生看法的预设：）见附件2 教师在这个环节中应做好充分的准备，对学生有可能找到的规律做出预设，切不可因为自己准备不足而扼杀了学生的创新精神。 （四）练习反馈例：将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到一个0-1三角数表。从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第3次全行的数都为1的是第7行，第4次全行的数都为1的是第15行，第n次全行的数都为1的是第2n-1行，通过设计有针对性和有效性的练习，

13、使学生能巩固知识、训练技能，又帮助学生领悟数学基本思想，积累数学活动经验，发展数学能力。（五）评价反思从本节课的探索过程中你收获了什么？学生举手发言，谈谈自己的收获。让学生回味这节课，总结自己的收获，表达自己在课堂上收获的知识与培养的情感，同时教师可以在这一环节检查自己的预设目标是否达到，以便做好课后反思。 （六）课后延伸杨辉三角奥秘无穷，只要大家从不同角度运用合情推理，一定会发现更多的规律。 激励学生课后继续探索杨辉三角，使学生意识到应该把探究愿望贯穿在课堂内外。（七）板书设计     有趣的杨辉三角 附件一探索杨辉三角中

14、蕴含的数字排列规律【活动一】：计算展开式的二项式系数并填入表格    n展开式的二项式系数1        2        3        4        5       &

15、#160;6         通过填表，你发现了什么规律【活动二】上表经过整理得到如下形式：观察上表，你能得到表中蕴含的哪些数字规律？请把最后一行空缺的数据补充完整。【活动三】从不同的方向观察杨辉三角，你能发现什么数字规律？观察的方向猜想规律试试证明你的猜想    同一行横向看            相邻两行一起看   

16、;斜向看     附件二探索杨辉三角中蕴含的数字排列规律【活动一】：计算展开式的二项式系数并填入表格    n展开式的二项式系数11 1     21 21    31 331   41 4641  51 5101051 61 615201561 通过填表，你发现了什么规律？【活动二】上表经过整理得到如下形式：观察上表，你能得到表中蕴含的哪些数字规律？请把最后一行空缺的数据补充完整。【活动三】从不同的方向观察杨辉三角，你能发现什么数字规律？观察的方向猜想规律试试证明你的猜想    同一行横向看对称性：与首末两端等距离的两项相等。增减性：当n为偶数时，二项式系数有最大项为，当n为奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。 作商比较：时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分逐渐减小，且在中间取得最大值。各二项式系数的和为，即：在二项式定理中令即可奇数项的二项式系数的