函数单调性、奇偶性总结

1、（一）函数单调性1.增函数、减函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数.注意：求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.2、增、减函数的性质：增函数： 减函数： 式子的变形： 设那么上是增函数；上是减函数.3、判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1)、取值： 设任意两个实数有， D，且；2)、作差：；3)、变形：通常方法：因式分解；配方；分母有理化；4)、定号：即判断差的正负；5)、下结论：即指

2、出函数f(x)在给定的区间D上的单调性取值作差变形定号下结论例：证明函数 在R上是增函数.一些重要函数的单调性：1、 一次函数的图象y=kx+b的单调性：（1） 当k>0时，函数在R上是增函数 （2）当k<0时，函数在R上是减函数2、反比例函数的图象的单调性：（1）当k>0时，函数在上是减函数 （2）当k<0时，函数在上是增函数3、二次函数的图象的单调性（1）当a>0时，函数在上是减函数, 在上是增函数（2）当a<0时，函数在上是增函数,在上是减函数例题：已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是: ()变式：二次函数的基本性质例1、函数在1，2上是单

3、调递增函数，则实数的取值范围是_2、 两个函数和差乘除单调性和复合函数的单调性1、 如果函数f(x)在区间D上是增（减）函数，函数g(x)在区间D上是增(减)函数；函数F(x)=f(x)+g(x)在D上为增(减)函数。归纳为：同加，单调性不变2、 对于复合函数的单调性，必须考虑和的单调性，从而得到的单调性。1） 增 增 复合函数增2） 减 减 复合函数增3） 增 减 复合函数减4） 减 增 复合函数减归纳为：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。函数的奇偶性的归纳总结一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数，如果对于函数定义域内

4、任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。注意：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、既是奇又是偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同

5、，最值相反。奇函数f(x)在区间a,b(0a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间b,a上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间a,b（0a<b）上单调递增（减），则f(x)在区间b,a上单调递减（增）若函数g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数。 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：、定义法：对于函数的定义域

6、内任意一个x，都有或或函数f（x）是偶函数； 对于函数的定义域内任意一个x，都有或或 函数f（x）是奇函数； 判断函数奇偶性的步骤：、判断定义域是否关于原点对称；、比较与的关系。、扣定义，下结论。、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。若为偶函数，则。二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1). (2) 解：(1)函数的定义域是， ， ， 为偶函数。 (2) 函数的定义域

7、为R当时，当时，当时，综上可知，对于任意的实数x，都有，所以函数为奇函数。练习题:一、选择题：1在区间(0，)上不是增函数的函数是（ ）Ay=2x1By=3x21Cy=Dy=2x2x12函数f(x)=4x2mx5在区间2，上是增函数，在区间(，2)上是减函数，则f(1)等于（ ）A7B1C17D253函数f(x)在区间(2，3)上是增函数，则y=f(x5)的递增区间是（ ）A(3，8)B(7，2)C(2，3)D(0，5)4函数f(x)=在区间(2，)上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A(0，)B( ，)C(2，)D(，1)(1，)6已知函数f(x)=82xx2，如果g(x)=f( 2x2

8、)，那么函数g(x)（ ） A在区间(1，0)上是减函数 B在区间(0，1)上是减函数 C在区间(2，0)上是增函数 D在区间(0，2)上是增函数7已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x1)|1的解集的补集是（ ） A(1，2) B(1，4) C(，1)4，） D(，1)2，）8已知定义域为R的函数f(x)在区间(，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5t)f(5t)，那么下列式子一定成立的是（ ）Af(1)f(9)f(13)Bf(13)f(9)f(1)Cf(9)f(1)f(13)Df(13)f(1)f(9)9函数的递增区间依次是（

9、）ABCD10已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）Aa3 Ba3Ca5 Da311已知f(x)在区间(，)上是增函数，a、bR且ab0，则下列不等式中正确的是（ ）Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)12定义在R上的函数y=f(x)在(，2)上是增函数，且y=f(x2)图象的对称轴是x=0，则（ ）Af(1)f(3)Bf (0)f(3) Cf (1)=f (3) Df(2)f(3)二、填空题：13函数y=(x1)-2的减区间是_ _14函数y=x22的值域为_ _15、设是上的减函

10、数，则的单调递减区间为 .16、函数f(x) = ax24(a1)x3在2，上递减，则a的取值范围是_ 三、解答题：17f(x)是定义在( 0，)上的增函数，且f() = f(x)f(y) （1）求f(1)的值 （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x3 )f() 2 18函数f(x)=x31在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论19试讨论函数f(x)=在区间1，1上的单调性20设函数f(x)=ax，(a0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，)上为单调函数21已知f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m1)f(12m)0，求实数m的

11、取值范围 22已知函数f(x)=，x1，（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x1，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，)， 14. (，3)，15.， 三、解答题：17.解析：在等式中，则f(1)=0在等式中令x=36，y=6则 故原不等式为：即fx(x3)f(36)，又f(x)在(0，)上为增函数，故不等式等价于：18.解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x1、x2(，)， x1x2 ，则f(x1)=x131， f(x2)=x231f(x1)f(x2)=x23x13=(x

12、2x1)(x12x1x2x22)=(x2x1)(x1)2x22x1x2，x2x10而(x1)2x220，f(x1)f(x2)函数f(x)=x31在(，)上是减函数19.解析： 设x1、x21，1且x1x2，即1x1x21f(x1)f(x2)=x2x10，0，当x10，x20时，x1x20，那么f(x1)f(x2)当x10，x20时，x1x20，那么f(x1)f(x2)故f(x)=在区间1，0上是增函数，f(x)=在区间0，1上是减函数20.解析：任取x1、x20，且x1x2，则f(x1)f(x2)=a(x1x2)=a(x1x2)=(x1x2)(a)(1)当a1时，1，又x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)a1时，函数f(x)在区间0，)上为减函数(2)当0a1时，在区间0，上存在x1=0，x2=，满足f(x1)=f(x2)=10a1时，f(x)在，上不是单调函数注： 判断单调性常规思路为定义法；变形过程中1利用了|x1|x1;x2；从a的范围看还须讨论0a1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现 21.解析： f(x)在(2，2)上是减函数由f(m1)f(12m)0，得f(m1)f(12m) 解得，m的取值范围是()22.解析： (1)当a=时，f(x)=x2，x1，)设x2