导数中含参数单调性及取值范围

1、应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点；利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题；利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点；将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考 压轴题求可导函数单调区间的一般步骤和方0,解得增区间，令导数小于0,解得减区一.含参数函数求单调性(法:(1)确定函数定义域；(2)求导数;(3)令导数大于 间.)2例1 (2012西2)已知函数f(x) 2ax2 ax 1(I)当a 1时，求曲线y f(x)在原点处的切线方程;(U)求f(X)的单调区间.(i)解：当a1 时，f(x)£，f (x

2、)x 12(x 1)(x 1)2 2(x 1)f (0)2,得曲线yf(x) 在原点处的切线方程是2x0 . 3分()解:f (x)2(Xa)(ax 1)当a0时，f (x)2x2xx2 1.所以f (x)在(0,)单调递增，在 (,0) 单调递减.0，f (x)(x 2a a)(x 1)a x21当a0 时，令 f (x)0, 得 x1 a , x2x(，X1)x(xm)X2(X2,)f (x)00f(x)f (Xj/f(X2)1，f(x)与 f (x) 的情况如下: a故 f(x) 的单调减区间是(,a)，(,)；单调增区间是(a, ).7分aa当a 0时，f (x)与f (x) 的情况如

3、下：X(,X2)X2区必)X1(X1,)f (X)00f(x)/f (X2)f(x)/所以f (x) 的单调增区间是(皿)解：由(:n)得，a0时不合题意.10分0时，由1 1f (x)在(0,)单调递增，在( 'a)单调递减，所以 f(x)在(0,) 上存在最大值1f()aa20 X0为 f(x) 的零点，易知x°1a22a，且x01.从而XaX。时，f (x)0 ； x X0 时，f (x)0-若 f(x)在0,) 上存在最小值，必有f(0)0，解得所以a0时，若f (x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(0,1-12分11,)；单调减区间是(,a)，(a,a

4、a'')单调递增，所以 f (x)在(0,) 上存在最小值所以a0时，若f (x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(综上,a的取值范围是1U(0,1 14分0 时，由(")得，f(x)在(0, a) 单调递减，在(a,f( a)若 f (x)在0,) 上存在最大值，必有 f(0)0 ，解得a 1,或a例2 设函数f(x)=ax (a+1)ln(x+1)，其中a -1，求f(x)的单调区间【解析】由已知得函数f (x)的定义域为(1,)，且 f'(x) J(ax 11),当1 a 0时，f (x)0,函数f(x) 在 ( 1,上单调递减,当a 0时，

5、由f'(x)0,解得x -af (x)、 f (x)随x的变化情况如下表x(1丄) a1 ad,)af'(x)0+f(x)极小值Z从上表可知当1x ( 1,-)时，f'(x)0,函数f (x)在(11 _)上单调递减.aa当/1当 x(一，)时，f'(x)0,函数f (x) 在(丄)上单调递增aa'综上所述：当1 a0时，函数f (x)在(1,)上单调递减.当a110时，函数f (x)在(1)上单调递减，函数 f(x)在(_)上单调递aa3已知函数f(x) X2a 1,其中a 0.x(I)若曲线y f(x)在(1,f(1)处的切线与直线y1平行，求a的值

6、;(II)求函数f(x)在区间1,2上的最小值c 333、2a 2(x a )解：f (x) 2x 22，x 0-2 分xx3(I)由题意可得 f (1)2(1 a )0 ，解得a 1，3分此时 f(1)4，在点 (1,f(1) 处的切线为 y 4 ，与直线y 1平行故所求a值为1.4分(II)由 f (x)0 可得 x a，a 0，5分当0 a 1时， f (x)0在(1,2 上恒成立， 所以y f(x)在1,2 上递增,.6分3 所以 f(x)在1,2 上的最小值为7分当1 a 2时，x(1,a)a(a,2)f (x)0+f(x)极小10分2由上表可得y f (x)在1,2 上的最小值为f

7、 (a) 3a 1 11分当a 2时， f (x)0 在1,2) 上恒成立,所以y f(x)在1,2 上递减12分所以 f(x)在1,2 上的最小值为 f(2)a3 513分综上讨论，可知：当0a 1时，y f (x)在1,2 上的最小值为 f (1) 2a32 ；当 1 a 2 时，y f (x)在1,2上23的最小值为 f (a) 3a 1 ；当 a 2 时，y f (x)在1,2 上的最小值为练习1已知函数f (x)alnx lx2(a R且a 0) . (2012 海淀一模)2 2(I)求f (x)的单调区间;(n)是否存在实数a，使得对任意的x 1, ，都有f(x) 0?若存在，求a

8、的取值范围；若不存在，请说明理由2 (2012顺义2文)(本小题共14分)已知函数 f(x) (a 1)x2 2l n X, g(x) 2ax ,其中 a 1(I)求曲线y f (x)在(1,f (1)处的切线方程；(n)设函数h(x) f (x) g(x)，求h(x)的单调区间3 (2012朝1) 18.(本题满分14分) 已知函数 f(x) ax2 1 ex, a R .(I)若函数f (x)在x 1时取得极值，求a的值；(n)当a 0时，求函数f (x)的单调区间二参数范围有单调性时分离常数法1例(东2)已知函数f(x)2x2 2x aex.(I)若a 1，求f (x)在x 1处的切线方

9、程;(n)若f (x)在R上是增函数，求实数 a的取值范围.解：1)由 a 1, f (x) x222x ex, f(1)32所以f (x)又 f (1)1e，所以所求切线方程为y(n)由已知 f(x)(f e) x2 2x2(1 e)(x 1)即 2(1 e)x 2y 10.xae，得 f (x)2xae .因为函数f (x)在 R 上是增函数,所以 f (x)0 恒成立，即不等式xx 2 ae0恒成立.令 g(x)11分xx, g (x),g(x)的变化情况如下表：x(,3)3(3,)g (x)0+3由此得a g(3) = e ，即a的取值范g(x)极小值z练习 1 (2012 怀柔 2)

10、设 a R，函数 f (x) ax3 3x2 .(i)若x 2是函数y f (x)的极值点，求实数 a的值；(n)若函数g(x) exf (x)在0,2上是单调减函数，求实数 f (x) 3ax2 6x 3x(ax 2).2是函数 yf(x) 的极值点，所以 f (2) 0，即 6(2 a1.经检验当a 1时，x 2是函数yf (x) 的极值点.1.n)由题设，g (x) ex(ax3(0,2，ax33x2 6xa 2x 3x3x 6- (xx 3x3(x2 4xa的取值范围.解：(I)因为x所以a所以， x这等价于，不等式令 h(x)2) 0,6分3x2 3ax26x)，又 ex3x23ax

11、2 6x 0,3x 6-2对x (0, 2恒成立.x2 3x(0,2)，6)(x23x)2所以 h(x) 在区间 (0,2 上是减函数，6所以 h(x) 的最小值为-5则 h (x)3(x 2)2 2(x23x)212分10 分6所以a.即实数a的取值范围为(56，6.132 (2012石景山1)已知函数f(x)2a ln x .围是e 3. 13分x(I)若函数f (x)的图象在(2, f (2)处的切线斜率为1,求实数a的值;(n)求函数f (x)的单调区间；2(川)若函数g(x) f (x)在1,2上是减函数，求实数 a的取值范围.x分类讨论求参数1例2 (2012昌平1)已知函数 f

12、(x) ln x ax ( a为实数)(l)当a 0时，求f (x)的最小值;(II )若f(x)在2,)上是单调函数，求 a的取值范围解：(I)由题意可知：x 0当a 0时f (x)当 0 x 1 时，f (x)0i分.2分当 x 1 时，f (x)0.4分(n)由(i)知 f (x)4 In x x 6x b.5分故 f(X)min f(1)111ax2 x 1(叮由 f (x) 一 a2x xx由题意可知a 0时,(x)9'在2,)时，f (x) 0符合要求.7分2当a 0时，令g(x) ax x 1故此时 f(x) 在 2,) 上只能是单调递减4a21门1f (2)0即0解得a

13、.9分44c 4a 2 1 小1当a0时，f (x)在2,)上只能是单调递增f0即0,得a44故a0-.11 分综上a(,丄0,).13分4根据性质求范围)(零点例(2012昌平2)已知函数f (x) 4lnx ax2 6x b ( a , b为常数)，且x 2为f (x)的一个极值点.(I)求a的值；(n)求函数f (x)的单调区间；(川)若函数y f (x)有3个不同的零点，求实数 b的取值范围.解：(I)函数f (x)的定义域为(0,心)i分：f x) = 2ax 62分x - f ( 2 )2 4a 60，则 a = 1. 4分2x 62x2 6x 4x2(x 2)(x 1)x由 f

14、' x( > 0 可得 x >2 或 x <1，由 f 'X) < 0 可得 1< x <2.函数f ( x )的单调递增区间为 (0 , 1)和(2, + 8),单调递减区间为 (1 , 2 ).(rn)由(n)可知函数f (x)在(0, 1)单调递增，在(1, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增.且当 x =1 或 x =2 时，f ' x) = 0 .10分f (x)的极大值为f (1) 4ln1 1 6 bf (x)的极小值为f (2)4ln 24 12 b4ln 28b12分f (1)b 50由题意可知则5 b84ln2

15、 14分f(2)4l n28 b 011分最值例(2012海2)已知函数f(x)x2x 3a(I)求函数f (x)的单调区间;(n)当a 1时，若对任意x-i,x23,)，有 f(xjf(X2) m成立，求实数 m的最小值解f'(x)(x a)(x 3a)2(x23a令 f '(x)0，解得x a或3a -(i)当 a 0时，f '(x) , f(x) 随着x的变化如下表x(,3aa(3a,a)a(af '(x)00f(x：极小值/极大值函数 f(x) 的单调递增区间是 (3a,a) ,函数 f(x) 的单调递减区间是 (,3a) ,(a,)G 4分当 a 0

16、时，f '(x), f (x) 随着x的变化如下表,a)又当x 1时，f (x)x 1x2 30.所以f (x)在3,)上的最小值为 f( 3)，最大值为 f (1)610分所以对任意X1,X23,所以对任意X1,X23,)，f(X1) f(X2)f(1) f( 3) I)，使 f(X1)f (X2)m恒成立的实数2m的最小值为一313分X(,a)a(a, 3a)3a(3a,f'(X)00f (X)极小值/极大值函数 f(x) 的单调递增区间是 (a,3a),函数 f(x) 的单调递减区间是(3a,(“)当a 1时，由(I)得 f (x) 是 (3,1) 上的增函数，是 (1,

17、) 上的减函数(I)若m 1，求曲线y f (x)在点(2, f(2)处的切线方程；1不等式例 3 (2012 房山)设函数 f (x)- x3 2ax2 3a2x a(a R).3(I)当a 1时，求曲线y f(x)在点3, f (3)处的切线方程；(n)求函数f (x)的单调区间和极值；(川)若对于任意的x (3a,a)，都有f(x) a 1，求a的取值范围 极值例4 (2012丰台1)已知函数f (x)1x3 ax21 (a R).3(I)若曲线y=f(x)在(1, f(1)处的切线与直线 x+yH=0平行，求a的值； (n)若a>0，函数y=f(x)在区间(a, a 2-3)上存

18、在极值，求a的取值范围； (川)若a>2，求证：函数 y=f(x)在(0, 2)上恰有一个零点.(单调性)已知函数f(x) x3 mx2 3m2x 1 (m 0).(n)若函数f(x)在区间(2m 1,m 1)上单调递增，求实数 m的取值范围.5解：(i)当 m 1 时，f (x)1323X X 3X 1f(2)f'(x) x2 2x 3，f'(2)44 355所以所求切线方程为 y 35(x 2)即 15x 3y 250单调区间(2012门头沟2)已知函数f (x) X3 ax2 bx 1在X 1处有极值 1 .2 2 f '(x) x 2mx 3m .令 f

19、'(x) 0，得 x3m或x m. 7分要使 f(x) 在区间 (2 m 1,m1)上单调递增,由于 m 0, f (x), f(x) 的变化情况如下表:X(,3m)3m(3m, m)m(m,)f'(x)+00+f(x)单调增极大值单调减极小值单调增所以函数 f(x) 的单调递增区间是 (3m)和(m, ). 9分应有m仁3m或2m 1 > m ,11分12分2m 1即实数m的取值范围m 1 m 213分基本性质(2012 朝 2)设函数 f(x) aln x0).(1)已知曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线l的斜率为2 3a，求实数a的值;(n)讨论函数 f (x)的单调性；(川)在(I)的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f(x) 3 x .(I)求实数a, b的值；(II)求函数g(x) ax In x的单调区间(2012东1)已知x 1是函数f(x) (ax 2)ex的一个极值点.(I)求实数a的值；(n)当 x